Ten kalkulator wykonuje interpolację liniową między dwoma znanymi punktami i wyznacza wartość pośrednią Y dla podanego X. Ten typ obliczeń stosuje się wtedy, gdy znane są pary wartości (X1, Y1) oraz (X2, Y2), a potrzebna jest wartość szacunkowa między nimi przy założeniu zależności liniowej.
Metoda jest stosowana w tabelach technicznych, na wykresach, w danych referencyjnych materiałów, zależnościach temperaturowych, obciążeniach, przepływach, współczynnikach oraz innych wielkościach, dla których w wybranym przedziale dopuszczalne jest przybliżenie linią prostą. Kalkulator pokazuje także wynik na wykresie, aby można było zobaczyć położenie punktu docelowego względem danych wyjściowych.
Podstawą metody jest założenie, że wielkość zmienia się liniowo między dwoma znanymi punktami. Oznacza to, że gdy X zmienia się o jednakowe kroki, wartość Y zmienia się równomiernie w wybranym przedziale.
Y = Y1 + (X - X1) / (X2 - X1) × (Y2 - Y1)
Znaczenie wzoru jest następujące. Najpierw metoda określa, jaką część odległości na osi X zajmuje punkt X między X1 a X2. Następnie tę samą część stosuje się do różnicy Y2 - Y1. Po tym uzyskany przyrost dodaje się do wartości początkowej Y1.
Krok 1 - dane wejściowe dostarczają dwóch współrzędnych na osi X i dwóch odpowiadających im wartości na osi Y. Jednostki mogą być dowolne, ale muszą być spójne na każdej osi. Na przykład, jeśli X podano w °C, to X1 i X2 również muszą być podane w °C. Ta sama zasada dotyczy Y.
Krok 2 - kalkulator wyznacza różnicę X - X1 oraz całkowity przedział X2 - X1. Stosunek tych wartości pokazuje względne położenie punktu docelowego na osi X.
Krok 3 - zmiana na osi Y jest obliczana jako Y2 - Y1. Następnie tę różnicę mnoży się przez wcześniej wyznaczony udział przedziału na osi X.
Krok 4 - otrzymany przyrost dodaje się do Y1. Wynikiem jest obliczona wartość Y w tej samej jednostce co Y1 i Y2.
Interpolacja jest prawidłowa wtedy, gdy szukana wartość X znajduje się między X1 a X2. W takim przypadku wynik jest wartością pośrednią na odcinku między dwoma znanymi punktami.
Ekstrapolacja występuje wtedy, gdy X jest mniejsze niż X1 lub większe niż X2. Matematycznie wzór pozostaje taki sam, ale wynik wychodzi poza pierwotny przedział. W praktyce taki szacunek jest mniej wiarygodny, ponieważ rzeczywista zależność poza znanym zakresem może przestać być liniowa.
Przypadek graniczny przy X1 = X2 jest niedopuszczalny, ponieważ mianownik X2 - X1 staje się równy 0. W takim przypadku wzoru nie można zastosować.
Dokładność metody nie zależy od liczby miejsc po przecinku, ale od tego, jak blisko rzeczywista zależność przebiega wzdłuż linii prostej w wybranym przedziale. Im krótszy jest przedział między X1 a X2, tym częściej interpolacja liniowa daje stabilny wynik.
Powszechne podejście polega na stosowaniu metody do danych tabelarycznych, w których sąsiednie punkty są już wystarczająco blisko siebie. Jeśli krok między wartościami wyjściowymi jest duży, a zależność jest wyraźnie nieliniowa, wynik może być jedynie przybliżeniem.
Kontrola logiki jest prosta. Jeśli X leży dokładnie w połowie między X1 a X2, to przy zależności liniowej wartość Y również powinna znajdować się dokładnie w połowie między Y1 a Y2. To szybki sposób na wizualne sprawdzenie obliczeń.
Symbole i zapis wzorów w obliczeniach inżynierskich są zwykle przedstawiane zgodnie z ISO 80000-2:2019 "Wielkości i jednostki - Część 2: Matematyka", która określa ogólne zasady stosowania symboli matematycznych i zapisu wyrażeń.
Zastosowanie inżynierskie tej metody występuje podczas pracy z danymi tabelarycznymi i graficznymi w obliczeniach według Eurokodów. W szczególności EN 1990 "Eurokod - Podstawy projektowania konstrukcji i projektowania geotechnicznego" zapewnia ogólne ramy obliczeniowe do weryfikacji inżynierskiej, a interpolacja liniowa w takich zadaniach jest używana jako pomocnicza metoda numeryczna do szacowania wartości pośrednich między znanymi punktami.
Działa najlepiej wtedy, gdy zależność między dwoma sąsiednimi punktami jest zbliżona do linii prostej. W tabelach technicznych i na wykresach referencyjnych jest to zwykle akceptowalne na krótkich odcinkach, gdzie parametr zmienia się płynnie.
Matematycznie wzór nadal obliczy wynik, ale nie będzie to już interpolacja. Będzie to ekstrapolacja liniowa. W zastosowaniach praktycznych taki wynik należy traktować ostrożnie, ponieważ rzeczywista krzywa poza znanym zakresem może zachowywać się inaczej.
Wynika to z tego, że wzór zawiera dzielenie przez X2 - X1. Jeśli ta różnica jest równa zero, nie da się określić względnego położenia punktu na osi X, a obliczenie traci sens.
Tak. W obrębie każdej osi jednostki muszą być spójne. Wartości X, X1 i X2 należy wprowadzać w jednej wspólnej jednostce, natomiast Y, Y1 i Y2 należy wprowadzać w jednej spójnej jednostce dla tej wielkości.
Interpolacja liniowa nie odtwarza pierwotnego prawa zmiany wielkości. Przybliża tę zależność linią prostą między dwoma znanymi punktami. Z tego powodu nie jest uniwersalnym zamiennikiem wzoru analitycznego, lecz praktycznym sposobem szybkiego uzyskania wartości pośredniej z tabeli lub wykresu.