Калькулятор выполняет линейную интерполяцию по двум известным точкам и определяет промежуточное значение Y для заданного X. Такой расчет применяют, когда известны пары значений (X1, Y1) и (X2, Y2), а нужно получить оценку между ними по прямолинейной зависимости.
Метод используют в инженерных таблицах, графиках, справочных данных по материалам, температурным зависимостям, нагрузкам, расходам, коэффициентам и другим величинам, где на рассматриваемом участке допустимо приближение прямой линией. Калькулятор также показывает результат на графике, чтобы было видно положение искомой точки относительно исходных данных.
Основа метода состоит в том, что между двумя известными точками принимается линейное изменение величины. Это означает, что при изменении X на одинаковые шаги значение Y на выбранном участке изменяется равномерно.
Y = Y1 + (X - X1) / (X2 - X1) × (Y2 - Y1)
Смысл формулы такой: сначала определяется, какую долю расстояния по оси X занимает точка X между X1 и X2, затем эта же доля переносится на разницу Y2 - Y1. После этого полученное приращение прибавляется к начальному значению Y1.
Шаг 1 - из входных данных берутся две координаты по оси X и два соответствующих им значения по оси Y. Единицы измерения могут быть любыми, но для каждой оси они должны быть согласованными. Например, если X задан в °C, то и X1, и X2 тоже должны быть в °C. Аналогично для Y.
Шаг 2 - вычисляется разность X - X1 и общий интервал X2 - X1. Отношение этих величин показывает относительное положение искомой точки по оси X.
Шаг 3 - вычисляется изменение по оси Y как Y2 - Y1. Затем эта разность умножается на найденную долю интервала по X.
Шаг 4 - полученное приращение добавляется к Y1. Итогом становится расчетное значение Y в той же единице измерения, что и Y1 и Y2.
Интерполяция выполняется корректно, когда искомое значение X находится между X1 и X2. В этом случае результат является промежуточным значением на отрезке между двумя известными точками.
Экстраполяция возникает, если X меньше X1 или больше X2. Математически формула остается той же, но результат уже выходит за пределы исходного интервала. На практике такая оценка менее надежна, потому что реальная зависимость вне известного диапазона может перестать быть линейной.
Граничный случай при X1 = X2 недопустим, потому что знаменатель X2 - X1 становится равным 0. В таком случае расчет по формуле невозможен.
Точность метода зависит не от количества знаков после запятой, а от того, насколько реальная зависимость близка к прямой на выбранном участке. Чем короче интервал между X1 и X2, тем чаще линейная интерполяция дает более устойчивый результат.
Распространенный подход - применять метод к табличным данным, где соседние точки уже достаточно близки друг к другу. Если между исходными значениями большой шаг, а сама зависимость явно нелинейна, результат может быть только приближением.
Проверка логики простая: если X расположен ровно посередине между X1 и X2, то при линейной зависимости значение Y тоже должно оказаться ровно посередине между Y1 и Y2. Это быстрый способ визуально проверить расчет.
Обозначения и запись формул в инженерных расчетах обычно оформляют в логике стандарта ISO 80000-2:2019 «Величины и единицы. Часть 2. Математика», где задаются общие правила применения математических символов и записи выражений.
Инженерное применение метода встречается при работе с табличными и графическими данными в расчетах по Еврокодам. В частности, EN 1990 «Еврокод. Основы расчета конструкций и геотехнического проектирования» задает общую расчетную рамку для инженерной проверки, а линейная интерполяция в таких задачах используется как вспомогательный численный прием для оценки промежуточных значений между известными точками.
Она работает лучше всего там, где зависимость между двумя соседними точками близка к прямой. Для инженерных таблиц и справочных графиков это обычно приемлемо на коротких интервалах, где изменение параметра идет плавно.
Математически формула все равно рассчитает результат, но это уже будет не интерполяция, а линейная экстраполяция. Для практических задач такой ответ требует осторожности, потому что вне известного диапазона реальная кривая может вести себя иначе.
Потому что формула содержит деление на X2 - X1. Если эта разность равна нулю, вычислить долю положения точки по оси X невозможно, и расчет теряет смысл.
Да, внутри каждой оси единицы должны быть едиными. Значения X, X1 и X2 задают в одной единице, а Y, Y1 и Y2 - в другой согласованной единице той же величины.
Линейная интерполяция не восстанавливает исходный закон изменения величины, а приближает его прямой линией между двумя известными точками. Поэтому это не универсальная замена аналитической формулы, а удобный способ быстро получить промежуточное значение из таблицы или графика.