Plášť kužele
O výpočtu pláště kužele
Kalkulačka pro plášť kužele a jeho rozvinutí vypočítává geometrické rozměry rovinného střihu přímého kruhového a komolého kužele. Určuje poloměry rozvinutí, středové úhly, délku tvořící přímky, tětivu vnějšího oblouku a obsah pláště.
Výsledné rozměry lze použít při výrobě dílů z plechu, plastu, kartonu a dalších materiálů. Podle nich lze sestrojit kruhovou výseč nebo mezikruhovou výseč, která po stočení vytvoří kužel požadovaných rozměrů.
Podklady a doporučení
Geometrický základ výpočtu
Princip rozvinutí. Po rozvinutí pláště přímého kruhového kužele do roviny vznikne kruhová výseč. U komolého kužele vznikne mezikruhová výseč ohraničená dvěma soustřednými oblouky. Délka každého oblouku se musí rovnat obvodu příslušné podstavy.
Vstupní rozměry. Výpočet vychází z výšky kužele a průměrů jeho podstav. Všechny délkové rozměry se zadávají v milimetrech. U komolého kužele je větší průměr označen d1 a menší d2. Musí platit podmínka d1 > d2.
Rozvinutí přímého kruhového kužele
Délka tvořící přímky L. Jde o vzdálenost od vrcholu kužele k okraji podstavy po jeho plášti. Vypočítá se pomocí Pythagorovy věty z výšky h a poloměru podstavy d / 2:
L = √(h2 + (d / 2)2)
Výsledná hodnota L v milimetrech je současně poloměrem kruhové výseče rozvinutí.
Úhel rozvinutí b. Středový úhel výseče se určí tak, aby délka jejího oblouku odpovídala obvodu podstavy, tedy π × d. Protože obvod celé kružnice o poloměru L je 2 × π × L, úhel se vypočítá takto:
b = 180° × d / L
Úhel a. Je to úhel zbývající části celého kruhu, která do rozvinutí nepatří. Doplňuje úhel b do 360°:
a = 360° - b
Pro sestrojení rovinného střihu přímého kužele jsou potřebné poloměr L a úhel výseče b. Úhel a určuje velikost části, která se z celého kruhu vynechá.
Rozvinutí komolého kužele
Délka tvořící přímky L. Nejprve se určí vzdálenost mezi horní a dolní kružnicí podél šikmého pláště. Použije se výška h a polovina rozdílu průměrů podstav:
L = √(h2 + ((d1 - d2) / 2)2)
Vnější poloměr R2. Komolý kužel se myšleně prodlouží až k vrcholu celého kužele. Z podobnosti trojúhelníků se určí vzdálenost od tohoto vrcholu k okraji větší podstavy:
R2 = L × d1 / (d1 - d2)
Vnitřní poloměr R1. Stejným postupem se určí vzdálenost od vrcholu celého kužele k okraji menší podstavy:
R1 = L × d2 / (d1 - d2)
Rozdíl mezi vnějším a vnitřním poloměrem se rovná délce tvořící přímky komolého kužele:
R2 - R1 = L
Úhel rozvinutí b. Oba oblouky mezikruhové výseče mají stejný středový úhel. Vypočítá se z rozdílu průměrů a délky tvořící přímky:
b = 180° × (d1 - d2) / L
Při tomto úhlu je délka vnějšího oblouku π × d1 a délka vnitřního oblouku π × d2. Oba okraje rozvinutí tak odpovídají obvodům podstav komolého kužele.
Úhel vynechané výseče se vypočítá stejně jako u přímého kužele:
a = 360° - b
Tětiva vnějšího oblouku
Tětiva C. Je to přímá vzdálenost mezi koncovými body vnějšího oblouku rozvinutí. Slouží ke kontrole geometrie rovinného střihu a polohy jeho krajních bodů při rýsování.
Délka tětivy se vypočítá z poloměru vnějšího oblouku a poloviny středového úhlu b:
C = 2 × R2 × sin(b / 2)
U přímého kruhového kužele se místo R2 používá délka tvořící přímky L. Úhel b je v tomto vzorci vyjádřen ve stupních.
Tětiva je vždy přímá úsečka. Její délka se liší od délky příslušného zakřiveného oblouku.
Plocha rozvinutí
Obsah S. Plocha rovinného rozvinutí se rovná obsahu pláště původního kužele. U přímého kruhového kužele se vypočítá z průměru podstavy a délky tvořící přímky:
S = π × d × L / 2
U komolého kužele se používá součet průměrů obou podstav:
S = π × (d1 + d2) × L / 2
Oba vzorce nejprve udávají plochu v mm2. Pro převod výsledku na m2 se hodnota vydělí číslem 1 000 000.
Předpoklady a přesnost
Geometrický model. Výpočet vychází z ideálního přímého kruhového kužele. U komolého kužele se předpokládá, že podstavy jsou rovnoběžné a souosé a jejich středy leží na jedné přímce.
Korekční součinitele. Nepoužívají se žádné přídavné součinitele rezervy ani technologické přídavky. Výpočet vychází ze zadaných geometrických rozměrů bez korekcí na tloušťku materiálu, šířku řezu nebo spojovací šev.
Přesnost výsledků. Délkové rozměry v milimetrech a úhly ve stupních se zobrazují s přesností na 0,1 bez nadbytečných koncových nul. Plochy od 0,01 m2 se zaokrouhlují na dvě desetinná místa, menší hodnoty na čtyři. Mezivýpočty se předem nezaokrouhlují.
Evropské normy pro technické výkresy
EN ISO 129-1 - Technická dokumentace produktu. Kótování rozměrů a tolerancí. Část 1: Obecné zásady. Norma stanovuje pravidla pro uvádění rozměrů a tolerancí na technických výkresech. Uplatňuje se při znázornění poloměrů, průměrů, úhlů a dalších rozměrů rozvinutí.
EN ISO 128-2 - Technická dokumentace produktu. Obecná pravidla zobrazování. Část 2: Základní pravidla pro čáry. Norma určuje typy čar a jejich použití na technických výkresech včetně kótovacích a vynášecích čar.
Tyto normy se týkají zpracování technické dokumentace. Geometrické rozměry rozvinutí se určují matematickými vzorci a nezávisí na použité normě pro kreslení výkresů.
FAQs
Proč se při výpočtu rozvinutí kužele zobrazují dva úhly?
Úhel b vymezuje výseč, ze které vzniká plášť kužele. Úhel a odpovídá zbývající části celého kruhu. Jejich součet je vždy 360°, takže rozvinutí lze narýsovat pomocí úhlu b nebo vyznačit úhel a jako vynechanou výseč.
Proč jsou poloměry rozvinutí komolého kužele někdy velmi velké?
Když jsou průměry podstav téměř stejné, plášť komolého kužele se tvarem přibližuje válci. Poloměry R1 a R2 se v takovém případě zvětšují, zatímco středový úhel b se zmenšuje. Jde o běžnou geometrickou vlastnost rozvinutí, nikoli chybu výpočtu.
Lze podle vypočítaných rozměrů narýsovat rozvinutí kužele ručně?
Ano. U přímého kužele stačí narýsovat výseč s poloměrem L a úhlem b. U komolého kužele se narýsují dva soustředné oblouky s poloměry R1 a R2, ohraničené stejným středovým úhlem b. Tětiva C umožňuje dodatečně ověřit přímou vzdálenost mezi konci vnějšího oblouku.
Proč je tětiva kratší než oblouk rozvinutí?
Tětiva spojuje dva body kružnice přímou úsečkou, zatímco oblouk mezi nimi vede po zakřivené dráze. Tětiva proto nemůže být delší než oblouk se stejnými koncovými body. Při výrobě kužele je rozhodující délka oblouku, která musí odpovídat obvodu podstavy.
Jak určit plochu plechu potřebného k výrobě kužele?
Vypočítaná plocha rozvinutí udává obsah pláště kužele v m2. Odpovídá geometrické ploše kruhové nebo mezikruhové výseče. Při výběru plechu je třeba zohlednit také jeho celkové rozměry a rozmístění střihu, protože plocha obdélníkového plechu může být větší než samotné rozvinutí.