Über die Berechnung der Längenausdehnung
Mit diesem Rechner lässt sich die thermische Längenausdehnung bzw. Verkürzung und die daraus resultierende Längenänderung eines Bauteils bei einer Temperaturänderung berechnen. Die Berechnung der Längenausdehnung erfolgt aus Ausgangslänge, Anfangs- und Endtemperatur sowie dem Ausdehnungskoeffizienten des Werkstoffs und eignet sich für Stahl, Aluminium, Messing, Beton, Kunststoffe und weitere Werkstoffe.
Das Ergebnis zeigt die Längenänderung ΔL in Millimetern und die Bauteillänge L2 bei der Endtemperatur. Ein positives ΔL bedeutet eine Verlängerung, ein negatives ΔL eine Verkürzung.
Orientierungswerte und Empfehlungen
Berechnungsablauf
Temperaturdifferenz. Zuerst wird die Temperaturänderung zwischen End- und Anfangszustand berechnet:
ΔT = T2 - T1
Die Temperaturen T1 und T2 werden in °C eingegeben. Liegt die Endtemperatur über der Anfangstemperatur, ist ΔT positiv. Beim Abkühlen ist ΔT negativ. Temperaturen unter -273.15 °C gelten als ungültig.
Längenänderung. Die lineare thermische Verformung wird aus der Ausgangslänge L1, der Temperaturdifferenz ΔT und dem linearen Ausdehnungskoeffizienten α berechnet:
ΔL = α · L1 · ΔT / 106
Im Rechner wird die Länge L1 in Millimetern eingegeben, während der Koeffizient α in 10-6 1/°C angegeben wird. Durch die Division durch 106 wird der Tabellenwert des Koeffizienten in seine übliche Form umgerechnet und ΔL direkt in Millimetern erhalten.
Endlänge. Nach der Berechnung der thermischen Längenänderung wird die Bauteillänge bei der Endtemperatur bestimmt:
L2 = L1 + ΔL
Beim Erwärmen vergrößert ein positives ΔL die Ausgangslänge. Beim Abkühlen verkleinert ein negatives ΔL sie automatisch.
Lineare Ausdehnungskoeffizienten
Ausdehnungskoeffizient α. Er gibt an, wie stark sich die relative Länge eines Werkstoffs bei einer Temperaturänderung um 1 °C verändert. Je größer α ist, desto größer fällt die thermische Längenänderung bei gleichen Werten von L1 und ΔT aus.
Der Rechner verwendet folgende Werte für α in 10-6 1/°C:
- Kohlenstoffstahl -
11.7, Edelstahl -16, Eisen -12.2, Grauguss -10; - Aluminium -
23.8, Bronze -17.5, Messing -18.4, Kupfer -16.5, Zinn -26.7, Zink -29; - Gold -
14.2, Silber -19.5, Platin -9, Titan -9; - Beton -
12, Stahlbeton -12, Leichtbetonsteine -10, Porenbetonsteine -8; - Klinker -
3.5, Kalksandstein -8, Zementmörtel -10, Kalkmörtel -9; - Holz parallel zur Faser -
5, Glas -8.1, Glasfaserbewehrung -10, Kohlefaserverbund -0.5; - Polyamid -
110, Polyvinylchlorid -80, Polystyrol -75, Polyethylen -200.
Tabellenwert. Der Ausdehnungskoeffizient für den gewählten Werkstoff wird automatisch eingesetzt, kann aber manuell geändert werden. Das ist sinnvoll, wenn für eine bestimmte Güte, Legierung, Zusammensetzung oder einen bestimmten Temperaturbereich ein genauerer Wert aus technischen Unterlagen bekannt ist.
Werkstoffabhängigkeit. Die angegebenen Koeffizienten sind typische Rechenwerte. Der tatsächliche Wert von α kann von chemischer Zusammensetzung, Werkstoffstruktur, Faser- oder Bewehrungsrichtung sowie vom Temperaturbereich abhängen. Für genaue Berechnungen sollte daher möglichst ein Wert für den konkreten Werkstoff verwendet werden.
Wahl des Temperaturbereichs
Anfangstemperatur. Als Anfangstemperatur wird üblicherweise die Temperatur des Bauteils im Ausgangszustand angesetzt, zum Beispiel bei Montage, Herstellung oder Messung der Ausgangslänge.
Endtemperatur. Zur Beurteilung der maximalen Bewegung werden häufig mehrere Temperaturszenarien getrennt betrachtet. Zum Beispiel kann für die höchste und niedrigste zu erwartende Temperatur gerechnet und anschließend der Betrag von |ΔL| verglichen werden.
Bemessungsbewegung. Werden für eine Konstruktion mehrere mögliche Temperaturzustände betrachtet, wird üblicherweise der größte Betrag von ΔL aus den untersuchten Szenarien als maßgebende thermische Bewegung angesetzt.
Annahmen der Berechnung
Linearer Zusammenhang. Die Berechnung setzt voraus, dass der Koeffizient α im angegebenen Temperaturbereich konstant bleibt und die Längenänderung proportional zu ΔT ist.
Gleichmäßige Temperatur. Es wird angenommen, dass das gesamte Bauteil dieselbe Temperatur besitzt. Lokale Temperaturunterschiede entlang der Länge oder über den Querschnitt werden in der Formel nicht berücksichtigt.
Ausgangslänge. In der Formel wird die Bauteillänge bei der Temperatur T1 verwendet. Besteht ein Bauteil aus Abschnitten mit unterschiedlichen Werkstoffen oder Ausdehnungskoeffizienten, wird jeder gleichartige Abschnitt separat berechnet und die resultierenden Längenänderungen werden unter Berücksichtigung ihres Vorzeichens addiert.
Berechnungsgenauigkeit. Zwischenwerte werden ohne erzwungene Rundung berechnet. Die wichtigsten Ergebnisse in Millimetern werden mit drei Nachkommastellen angezeigt, sehr kleine von null verschiedene Änderungen unter 0.001 mm können mit höherer Genauigkeit ausgegeben werden.
Zugehörige europäische Normen
EN 1991-1-5, Eurocode 1 „Einwirkungen auf Tragwerke. Teil 1-5: Temperatureinwirkungen“. Diese Norm wird zur Bestimmung von Temperatureinwirkungen auf Bauwerke und zur Festlegung von Bemessungstemperaturen verwendet.
EN 1990, Eurocode „Grundlagen der Tragwerksplanung“. Sie legt allgemeine Bemessungsgrundsätze, Kombinationen von Einwirkungen und Anforderungen an die Zuverlässigkeit von Tragwerken fest.
EN 1992-1-1, Eurocode 2 „Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau“. Sie enthält Regelungen für Beton- und Stahlbetontragwerke einschließlich Werkstoffeigenschaften, die bei der Berücksichtigung thermischer Verformungen verwendet werden.
EN 1993-1-1, Eurocode 3 „Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten. Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau“. Sie wird für die Bemessung von Stahlkonstruktionen verwendet und enthält Werkstoffeigenschaften von Stahl, die für Temperatureinwirkungen relevant sind.
EN 1995-1-1, Eurocode 5 „Bemessung und Konstruktion von Holzbauten. Allgemeines. Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau“. Sie wird für die Bemessung von Holzelementen und zur Bestimmung relevanter Werkstoffeigenschaften verwendet.
FAQs
Wie wähle ich den linearen Ausdehnungskoeffizienten für einen bestimmten Werkstoff?
Für eine überschlägige Berechnung kann der im Rechner hinterlegte Tabellenwert verwendet werden. Ist die genaue Stahlsorte, Legierung, Kunststoffart oder ein anderer Werkstoff bekannt, sollte möglichst der Wert α aus der technischen Dokumentation des Herstellers verwendet und manuell eingegeben werden.
Warum ergibt dieselbe Temperaturdifferenz eine unterschiedliche Längenänderung?
Die thermische Längenausdehnung ist sowohl zur Ausgangslänge als auch zum Ausdehnungskoeffizienten α proportional. Daher zeigt ein längeres Bauteil oder ein Werkstoff mit höherem Koeffizienten bei gleichem ΔT eine größere Längenänderung.
Wie wird die Längenänderung beim Abkühlen berechnet?
Die Endtemperatur T2 wird niedriger als die Anfangstemperatur T1 eingegeben. In diesem Fall werden sowohl ΔT als auch ΔL negativ, was einer Verkürzung des Bauteils entspricht.
Wie sollte der Temperaturbereich für ein außenliegendes Bauteil gewählt werden?
Üblicherweise werden die Temperatur des Ausgangszustands und die zu erwartenden extremen Betriebstemperaturen betrachtet. Die Berechnungen für maximale Erwärmung und maximale Abkühlung werden getrennt durchgeführt und die daraus resultierenden Längenänderungen anschließend verglichen.
Warum kann ein tabellierter Ausdehnungskoeffizient von einem Nachschlagewert abweichen?
Der lineare Ausdehnungskoeffizient hängt von der genauen Zusammensetzung und dem Zustand des Werkstoffs ab und kann sich außerdem mit der Temperatur ändern. Daher können verschiedene Quellen leicht unterschiedliche Werte angeben. Für eine genauere Berechnung sollte der Koeffizient für die konkrete Werkstoffgüte und den jeweiligen Temperaturbereich verwendet werden.