Cette calculatrice effectue une interpolation linéaire entre deux points connus et détermine la valeur intermédiaire de Y pour une valeur donnée de X. Ce type de calcul est utilisé lorsque les couples de valeurs (X1, Y1) et (X2, Y2) sont connus et qu’une valeur estimée est nécessaire entre eux selon une relation en ligne droite.
La méthode est utilisée avec des tableaux techniques, des graphiques, des données de référence sur les matériaux, des relations de température, des charges, des débits, des coefficients et d’autres grandeurs pour lesquelles une approximation linéaire est acceptable sur l’intervalle sélectionné. La calculatrice affiche aussi le résultat sur un graphique afin de visualiser la position du point recherché par rapport aux données d’origine.
Base de la méthode est que la grandeur est supposée varier linéairement entre deux points connus. Cela signifie que lorsque X varie par pas égaux, la valeur de Y varie de manière uniforme sur l’intervalle sélectionné.
Y = Y1 + (X - X1) / (X2 - X1) × (Y2 - Y1)
Signification de la formule est la suivante. La méthode détermine d’abord quelle fraction de la distance sur l’axe X le point X occupe entre X1 et X2. Ensuite, cette même fraction est appliquée à la différence Y2 - Y1. Enfin, l’incrément obtenu est ajouté à la valeur initiale Y1.
Étape 1 - les données d’entrée fournissent deux coordonnées sur l’axe X et deux valeurs correspondantes sur l’axe Y. Les unités peuvent être quelconques, mais elles doivent être cohérentes sur chaque axe. Par exemple, si X est exprimé en °C, alors X1 et X2 doivent aussi être exprimés en °C. Le même principe s’applique à Y.
Étape 2 - la calculatrice détermine la différence X - X1 et l’intervalle total X2 - X1. Le rapport de ces valeurs montre la position relative du point recherché sur l’axe X.
Étape 3 - la variation sur l’axe Y est calculée comme Y2 - Y1. Cette différence est ensuite multipliée par la fraction de l’intervalle sur X trouvée précédemment.
Étape 4 - l’incrément obtenu est ajouté à Y1. Le résultat est la valeur calculée de Y dans la même unité que Y1 et Y2.
Interpolation est valide lorsque la valeur recherchée X se situe entre X1 et X2. Dans ce cas, le résultat est une valeur intermédiaire sur le segment entre les deux points connus.
Extrapolation se produit si X est inférieur à X1 ou supérieur à X2. Mathématiquement, la formule reste la même, mais le résultat se situe en dehors de l’intervalle d’origine. En pratique, cette estimation est moins fiable, car la relation réelle hors de la plage connue peut ne plus être linéaire.
Cas limite avec X1 = X2 n’est pas autorisé, car le dénominateur X2 - X1 devient 0. Dans ce cas, la formule ne peut pas être utilisée.
Précision de la méthode ne dépend pas du nombre de décimales, mais du degré de proximité entre la relation réelle et une droite sur l’intervalle sélectionné. Plus l’intervalle entre X1 et X2 est court, plus l’interpolation linéaire fournit souvent un résultat stable.
Approche courante consiste à appliquer la méthode à des données tabulées lorsque les points voisins sont déjà suffisamment proches les uns des autres. Si l’écart entre les valeurs d’origine est important et que la relation est clairement non linéaire, le résultat peut n’être qu’une approximation.
Vérification de la logique est simple. Si X se trouve exactement à mi-distance entre X1 et X2, alors, dans une relation linéaire, la valeur de Y doit aussi se situer exactement à mi-distance entre Y1 et Y2. C’est un moyen rapide de vérifier visuellement le calcul.
Symboles et notation des formules dans les calculs d’ingénierie sont généralement présentés conformément à ISO 80000-2:2019 "Grandeurs et unités - Partie 2: Mathématiques", qui établit des règles générales pour les symboles mathématiques et la notation des expressions.
Utilisation en ingénierie de cette méthode apparaît lors du travail avec des données tabulées et graphiques dans les calculs selon les Eurocodes. En particulier, EN 1990 "Eurocode - Bases du calcul des structures et du calcul géotechnique" fournit le cadre général de calcul pour la vérification d’ingénierie, et l’interpolation linéaire est utilisée dans ce type de tâche comme méthode numérique auxiliaire pour estimer des valeurs intermédiaires entre des points connus.
Elle fonctionne le mieux lorsque la relation entre deux points voisins est proche d’une droite. Pour les tableaux techniques et les graphiques de référence, cela est généralement acceptable sur de courts intervalles où le paramètre évolue de manière progressive.
Mathématiquement, la formule donnera toujours un résultat, mais il ne s’agira plus d’une interpolation. Cela devient une extrapolation linéaire. Pour les applications pratiques, ce résultat doit être interprété avec prudence, car la courbe réelle en dehors de la plage connue peut se comporter différemment.
Cela s’explique par le fait que la formule contient une division par X2 - X1. Si cette différence est égale à zéro, il est impossible de déterminer la position relative du point sur l’axe X, et le calcul perd son sens.
Oui. Sur chaque axe, les unités doivent être cohérentes. Les valeurs X, X1 et X2 doivent être saisies dans une unité commune, tandis que Y, Y1 et Y2 doivent être saisies dans une unité cohérente pour cette grandeur.
L’interpolation linéaire ne reconstruit pas la loi originale de variation de la grandeur. Elle approxime cette relation par une droite entre deux points connus. Pour cette raison, elle ne constitue pas un remplacement universel d’une formule analytique, mais une manière pratique d’obtenir rapidement une valeur intermédiaire à partir d’un tableau ou d’un graphique.