Calcul de l'armature d'une poutre en béton armé

Méthode de calcul de l'armature d'une poutre en béton armé

Le calculateur d'armature d'une poutre en béton armé détermine l'armature, la résistance et la capacité portante d'une poutre rectangulaire en béton avec appuis simples ou en porte-à-faux. Pour des charges, une portée, des dimensions de section, une classe de béton et des paramètres d'armature donnés, il calcule le moment fléchissant, l'effort tranchant, la section d'armature nécessaire, le diamètre approprié des barres et le taux d'utilisation de la résistance. Ces valeurs permettent d'évaluer la résistance et le comportement en flèche d'une poutre en béton armé selon les charges, les dimensions et le type d'appui.

Le calcul est effectué étape par étape. La charge appliquée est d'abord combinée avec le poids propre de la poutre, puis les efforts internes, la hauteur utile et la section d'armature nécessaire sont déterminés. Après sélection d'un diamètre de barre normalisé, le calculateur vérifie de nouveau la géométrie de la section, contrôle que les barres peuvent être disposées dans la poutre et évalue la résistance à la flexion et à l'effort tranchant.

Valeurs indicatives et recommandations

Déroulement du calcul

Charges et unités. Les dimensions de la section et la longueur de la poutre sont saisies en millimètres. Avant le calcul structurel, la longueur est convertie en mètres. Une charge répartie est utilisée en kN/m et une charge ponctuelle en kN. Si la charge est saisie en kg/m ou en kg, le calculateur la convertit en force à l'aide d'une accélération gravitationnelle de 9.81 m/s2.

q = qkg · 9.81 / 1000

P = Pkg · 9.81 / 1000

Poids propre. Le poids propre est calculé automatiquement à partir des dimensions réelles de la section. La masse volumique du béton armé est prise égale à 2500 kg/m3.

g = b · h · 2500 · 9.81 / 109

Dans cette formule, b et h sont exprimés en mm et la valeur g obtenue est en kN/m. Pour une charge répartie, le poids propre est ajouté à la charge extérieure.

Moment fléchissant et effort tranchant

Poutre simplement appuyée. Pour une charge uniformément répartie sur toute la portée, les expressions usuelles du moment fléchissant maximal à mi-portée et de la réaction d'appui sont utilisées.

MEd = (q + g) · L2 / 8

VEd = (q + g) · L / 2

Poutre en porte-à-faux. Pour une charge uniformément répartie, les efforts internes maximaux se produisent au niveau de l'encastrement.

MEd = (q + g) · L2 / 2

VEd = (q + g) · L

Charge ponctuelle. Pour une poutre simplement appuyée, la charge ponctuelle est supposée agir au milieu de la portée. Pour un porte-à-faux, elle est supposée agir à l'extrémité libre. Le poids propre de la poutre reste une charge uniformément répartie.

MEd = g · L2 / 8 + P · L / 4

MEd,c = g · L2 / 2 + P · L

Coefficients de charge. Le calculateur n'applique pas en plus les coefficients partiels γG et γQ à la charge extérieure saisie. Si une combinaison de charges de calcul est nécessaire, elle doit être établie avant la saisie de la charge dans le calculateur.

Béton et acier d'armature

Base normative. Les relations de calcul suivent les approches de l'EN 1992-1-1, Eurocode 2 : Calcul des structures en béton. Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments. Les documents associés pour les actions sont l'EN 1990, Eurocodes structuraux : Bases de calcul des structures, et l'EN 1991-1-1, Eurocode 1 : Actions sur les structures. Partie 1-1 : Actions générales, poids volumiques, poids propres et charges d'exploitation des bâtiments. Les classes d'exposition du béton sont liées à l'EN 206, Béton : Spécification, performances, production et conformité.

Résistance de calcul du béton. Un coefficient partiel de matériau de γc=1.5 est utilisé pour toutes les classes de béton. La résistance de calcul de base en compression est obtenue en divisant la résistance caractéristique fck par 1.5. Pour les classes jusqu'à C50/60, un coefficient supplémentaire αc=1.00 est utilisé ; pour les classes C55/67 et supérieures, αc=0.95 est utilisé.

fcd = fck / 1.5

Paramètres du bloc de contraintes du béton. Pour les classes C8/10-C50/60, le calcul utilise εcu=3.5‰, ω=0.810 et k2=0.416. Pour les bétons de résistance supérieure, ces paramètres sont réduits :

• C55/67: εcu=3.2‰, ω=0.754, k2=0.403.
• C60/75: εcu=3.0‰, ω=0.694, k2=0.380.
• C70/85: εcu=2.8‰, ω=0.642, k2=0.371.
• C80/95: εcu=2.8‰, ω=0.605, k2=0.366.
• C90/105: εcu=2.8‰, ω=0.590, k2=0.366.

Résistance du béton en traction. Le calcul de l'armature minimale utilise des valeurs de fctm dépendant de la classe de béton. Pour C8/10-C25/30, les valeurs sont respectivement 1.2, 1.6, 1.9, 2.2 et 2.6 MPa ; pour C30/37-C50/60, elles sont 2.9, 3.2, 3.5, 3.8 et 4.1 MPa ; et pour C55/67-C90/105, elles sont 4.2, 4.4, 4.6, 4.8 et 5.0 MPa.

Acier d'armature. Pour B500A, B500B et B500C, la limite d'élasticité caractéristique est prise égale à fyk=500 MPa, le coefficient partiel à γs=1.15 et le module d'élasticité à Es=200000 MPa. La limite d'élasticité de calcul obtenue est donc fyd=434.783 MPa.

Enrobage du béton et hauteur utile

Enrobage du béton. Dans la sélection simplifiée selon les conditions d'exposition, le calculateur utilise 20 mm pour un environnement intérieur avec humidité normale, 25 mm pour un environnement intérieur avec humidité accrue, 30 mm pour une exposition extérieure et 40 mm pour un contact avec le sol.

Classes d'exposition. Le calculateur utilise les valeurs fixes suivantes : X0 = 20 mm ; XC1 = 30 mm ; XC2, XC3, XC4 = 35 mm ; XD1, XD2, XD3 = 50 mm ; XA1 = 25 mm ; XA2 = 30 mm ; XA3 = 40 mm ; XF = 40 mm ; XS = 50 mm.

Hauteur utile. Le calcul est effectué jusqu'au centre de la barre d'armature longitudinale. Une fois le diamètre de la barre déterminé, la hauteur utile est donc obtenue en retranchant de la hauteur totale l'enrobage du béton et la moitié du diamètre de la barre.

d = h - z1 - φ1/2

Pour la seconde nappe d'armature, la position du centre des barres est déterminée de la même manière :

d2 = z2 + φ2/2

Recalcul itératif. Le diamètre de la barre influence la hauteur utile, tandis que la hauteur utile influence la section d'armature nécessaire. Le calcul commence donc avec un diamètre supposé de 12 mm, sélectionne ensuite un diamètre, recalcule la hauteur utile et répète le processus. Jusqu'à 12 itérations sont effectuées.

Section nécessaire de l'armature principale

Moment fléchissant normalisé. Après détermination du moment de calcul, un paramètre sans dimension décrivant le niveau de sollicitation de la section en béton est calculé :

αm = MEd / (αc · fcd · b · d2)

Le calcul interne se poursuit uniquement tant que la valeur reste dans le domaine de validité du modèle adopté. La condition limite est αm / (ω/k2) ≤ 0.25.

Bras de levier interne. Pour une section admissible, le coefficient ζ est déterminé :

ζ = 0.5 + √(0.25 - αm / (ω/k2))

La section calculée de l'armature tendue est ensuite déterminée à partir de l'équilibre du moment fléchissant :

As,calc = MEd / (fyd · ζ · d)

Armature minimale. En parallèle, la section minimale d'armature longitudinale est calculée. La plus grande des deux expressions normatives est retenue :

As,min = max(0.26 · fctm/fyk; 0.0013) · b · d

Exigence finale. L'armature principale doit satisfaire à la fois le calcul en flexion et l'exigence d'armature minimale.

As,req = max(As,calc; As,min)

Quand la seconde nappe d'armature est calculée

Limite du comportement simplement armé. Si la nappe d'armature supplémentaire est activée, le calculateur détermine la limite au-delà de laquelle une partie de la sollicitation est reprise par le second groupe de barres. Pour l'acier B500, la déformation de calcul à la limite d'élasticité est d'environ 2.174‰.

ξlim = εcu / (εcu + 2.174)

αm,lim = ω · ξlim · (1 - k2 · ξlim)

Si αm ≤ αm,lim, aucune armature supplémentaire calculée n'est nécessaire. Si la limite est dépassée et que la seconde nappe est activée, sa section nécessaire est calculée.

Coefficient de la seconde nappe. Pour cette branche du calcul, une relation tabulée entre le coefficient ξ et αm est utilisée. La valeur est interpolée dans l'intervalle de 0.04 à 0.40. Le rapport d2/d est limité à l'intervalle 0.04-0.16.

Un coefficient supplémentaire dépend de la classe d'acier : 3 est utilisé pour B500A, 5 pour B500B et 10 pour B500C. La valeur obtenue est limitée à un maximum de 1.

ks = min((ξ - d2/d) · kclass; 1)

Section d'armature supplémentaire. La seconde nappe d'armature reprend la partie du moment située au-dessus de la limite de l'armature simple. Sa section ne peut pas non plus être inférieure à la valeur calculée As,min.

As2 = max(As,min; (MEd - Mlim) / (ks · fyd · (d-d2)))

Pour une poutre simplement appuyée soumise aux charges considérées ici, l'armature principale tendue se situe dans la partie inférieure de la section. Pour une poutre en porte-à-faux, l'armature principale se situe dans la partie supérieure.

Sélection du diamètre des barres d'armature

Série normalisée de diamètres. Après détermination de la section d'armature nécessaire, le calculateur ne renvoie pas un diamètre arbitraire. Il vérifie successivement les diamètres 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 32, 36 et 40 mm.

Pour chaque diamètre, la section transversale totale du nombre de barres indiqué est calculée :

As,prov = n · π · φ2 / 4

Principe de sélection. Le premier diamètre de la série pour lequel la section d'armature fournie n'est pas inférieure à la section nécessaire est retenu. Le résultat est donc toujours arrondi au diamètre disponible immédiatement supérieur. Si même des barres de 40 mm ne fournissent pas la section nécessaire avec le nombre de barres sélectionné, le calculateur indique que le nombre de barres doit être augmenté.

Disposition de l'armature dans la section

Espacement libre minimal. Après sélection du diamètre, le calculateur vérifie que toutes les barres peuvent être placées dans la largeur de la poutre. L'espacement libre entre deux barres adjacentes est pris au moins égal à 20 mm et, simultanément, au moins égal au diamètre de la barre.

aclear = max(20 mm; φ)

Largeur nécessaire. La vérification tient compte de l'enrobage du béton des deux côtés, du diamètre de toutes les barres et des espaces libres entre elles.

breq = 2z + nφ + (n-1) · aclear

L'armature est considérée comme correctement disposée uniquement lorsque breq ≤ b. Les nappes d'armature principale et supplémentaire sont vérifiées séparément.

Armature maximale. Pour chaque groupe de barres sélectionné, une limite supérieure égale à 4 % de la section totale de béton est utilisée.

As,max = 0.04 · b · h

Résistance à la flexion

Armature réellement fournie. Après sélection du diamètre des barres, le calcul est répété en utilisant la section réelle d'armature fournie. Le calculateur détermine le plus grand moment fléchissant MRd que cette armature peut reprendre dans le cadre du modèle de calcul adopté.

Recherche numérique. La valeur de MRd est déterminée par divisions successives de l'intervalle de recherche par deux. Jusqu'à 80 itérations sont effectuées, de sorte que le résultat est pratiquement indépendant de tout pas de recherche manuel.

Taux d'utilisation de la résistance. Le pourcentage final est le rapport entre le moment fléchissant de calcul et la résistance à la flexion calculée.

ηM = MEd / MRd · 100%

Une valeur jusqu'à 100 % signifie que l'armature longitudinale sélectionnée satisfait à la vérification en flexion. Une valeur supérieure à 100 % signifie que la résistance à la flexion calculée est dépassée.

Vérification à l'effort tranchant

Taux d'armature longitudinale. La vérification à l'effort tranchant utilise la section réelle de l'armature longitudinale principale. Le taux d'armature est limité à une valeur maximale de 0.02.

ρl = min(0.02; Asl / (b · d))

Facteur de taille. La hauteur utile d est utilisée en millimètres :

k = min(2; 1 + √(200/d))

Résistance du béton à l'effort tranchant. Un coefficient CRd,c=0.12 est utilisé. Le calculateur détermine la valeur principale de résistance et la valeur minimale, puis retient la plus grande des deux.

vRd,c,1 = 0.12 · k · (100 · ρl · fck)1/3

vmin = 0.035 · k3/2 · √fck

VRd,c = max(vRd,c,1; vmin) · b · d

La contribution de la contrainte longitudinale de compression est prise égale à zéro dans cette vérification. Le taux d'utilisation à l'effort tranchant est évalué indépendamment de la résistance à la flexion.

ηV = VEd / VRd,c · 100%

FAQs

Pourquoi le poids propre de la poutre influence-t-il le résultat même si la charge extérieure ne change pas ?

Le poids propre de la poutre est calculé à partir de la largeur et de la hauteur de la section et est automatiquement ajouté à la charge appliquée. L'augmentation des dimensions de la poutre peut donc accroître sa résistance tout en augmentant également la charge répartie qui agit sur elle.

Pourquoi le calculateur sélectionne-t-il un autre diamètre de barre lorsque le nombre de barres change ?

La section d'armature nécessaire est répartie entre le nombre de barres indiqué. Un plus grand nombre de barres peut fournir la section requise avec un diamètre plus faible, mais le calculateur vérifie également que l'ensemble du groupe peut être placé dans la largeur de la poutre avec les espacements libres requis.

Pourquoi l'activation d'une armature supplémentaire ne conduit-elle pas toujours à une seconde nappe d'armature ?

La seconde nappe d'armature n'est utilisée que lorsque la limite calculée du comportement simplement armé est dépassée. Si l'armature principale peut fournir la résistance requise dans le cadre du modèle adopté, la section d'armature supplémentaire nécessaire reste nulle.

Que signifie un taux d'utilisation de la résistance de 70 % ou de 110 % ?

Le pourcentage représente le rapport entre la sollicitation de calcul et la résistance calculée. Par exemple, 70 % signifie qu'environ sept dixièmes de la résistance disponible sont utilisés, tandis que 110 % signifie que la résistance calculée est dépassée d'environ un dixième.

Pourquoi la vérification en flexion peut-elle être satisfaite alors que la vérification à l'effort tranchant ne l'est pas ?

Il s'agit de vérifications indépendantes. La résistance à la flexion est évaluée à partir du moment fléchissant et de l'armature longitudinale, tandis que la résistance à l'effort tranchant dépend du béton, de la hauteur utile et du taux d'armature longitudinale ; les pourcentages d'utilisation peuvent donc être sensiblement différents.