Calcul poutre en flexion

Méthode de calcul de la poutre en flexion

Le calculateur détermine la flèche et vérifie la résistance en flexion d’une poutre soumise à une charge uniformément répartie (kg/m ou kN/m) ou à une charge concentrée (kg ou kN). Le calcul s’appuie sur les formules classiques de résistance des matériaux pour le schéma d’appui choisi et la géométrie de la section.

Le poids propre de la poutre est également pris en compte. Le résultat inclut la flèche calculée d (mm), la flèche admissible d_lim (mm) et des vérifications de contraintes (normale et de cisaillement). Pour certaines sections à parois minces, des vérifications simplifiées de l’âme et de la semelle sont aussi fournies.

Repères et recommandations

Référence normative suit la logique de calcul utilisée dans les Eurocodes. La flèche et les efforts internes sont obtenus par une analyse élastique linéaire. Les repères matériaux et les vérifications s’alignent sur EN 1990 (bases), EN 1991 (actions), EN 1993-1-1 (acier), EN 1995-1-1 (bois).

Unités et conversion des charges utilisent l’accélération de la pesanteur g = 9.80665. Les conversions suivantes sont appliquées :

1 kN = 1000 N

1 kg ≈ 9.80665 N

Donc, pour convertir kg/m → kN/m, on utilise le facteur 9.80665 / 1000. Pour la conversion inverse, on utilise 1000 / 9.80665.

Matériau définit le module d’élasticité E, la densité pour le poids propre et les valeurs de résistance utilisées dans les vérifications.

• Acier (EN 1993-1-1). Module d’élasticité : E = 200000 MPa. Densité : 7850 kg/m³. Résistance utilisée comme limite dans ce calculateur : S235 → 197 MPa, S275 → 231 MPa, S355 → 298 MPa, S420 → 353 MPa. Coefficient de cisaillement : k_v = 0.58.
• Bois (EN 1995-1-1). Module d’élasticité : E = 10000 MPa. Densité pour le poids propre : 700 kg/m³. Résistance utilisée comme limite : C16 → 8.62 MPa, C24 → 12.92 MPa, C30 → 16.15 MPa. Coefficient de cisaillement : k_v = 0.10.

Poids propre de la poutre est ajouté à la charge extérieure. La charge linéique due au poids propre est obtenue à partir de l’aire de section A et de la densité ρ :

G = ρ · A · g

où G est la charge répartie due au poids propre (N/m), ρ la densité (kg/m³), A l’aire (mm², convertie en m²) et g = 9.80665. Ensuite, G est convertie en kN/m ou kg/m selon les unités de sortie.

Caractéristiques de la section sont calculées à partir des dimensions saisies. Le calcul utilise :

• A aire (mm²).
• I moment d’inertie par rapport à l’axe de flexion (mm⁴).
• W module de section (mm³), généralement W = I / y, où y est la distance entre l’axe neutre et la fibre extrême (mm).

Schéma d’appuis influence le moment fléchissant maximal et la flèche via des coefficients. Pour une charge répartie q, les coefficients numériques suivants sont utilisés :

• Articulé-articulé : coefficient de flèche k_f = 0.0130208333 (soit 5/384). Coefficient de moment k_M = 0.125001 (≈ 1/8).
• Encastrement-articulation : k_f = 0.0054054054 (soit 1/185). k_M = 0.125 (soit 1/8).
• Encastrement-encastrement : k_f = 0.0026041667 (soit 1/384). k_M = 0.08333333 (soit 1/12).
• Console : k_f = 0.125 (soit 1/8). k_M = 0.5 (soit 1/2).

Efforts pour une charge répartie sont calculés ainsi :

Mmax = kM · q · L²

où q est la charge linéique totale (kN/m ou N/m) et L est la portée (m ou mm, convertie en unités cohérentes).

Flèche pour une charge répartie est calculée ainsi :

d = kf · q · L⁴ / (E · I)

où E est le module d’élasticité (MPa), I le moment d’inertie (mm⁴) et d est obtenu en mm après conversion des unités.

Charge concentrée est calculée avec les formules usuelles pour une force appliquée au milieu. Pour la flèche, on utilise le coefficient k_p (au lieu de k_f), selon le schéma d’appuis :

• Articulé-articulé : k_p = 0.020833 (soit 1/48).
• Encastrement-articulation : k_p = 0.00912.
• Encastrement-encastrement : k_p = 0.0052.
• Console : k_p = 0.3333333 (soit 1/3).

La flèche due à une force P (N ou kN) est alors calculée ainsi :

d = kp · P · L³ / (E · I)

où L est la longueur effective pour le schéma choisi. Pour une console, la vérification de la flèche admissible utilise une longueur majorée : L_eff = 2 · L.

Flèche admissible est définie par le diviseur n dans la règle d_lim = L_eff / n. Le diviseur n est choisi automatiquement selon la longueur (mm) :

• L_eff ≤ 1000 : n = 120.
• 1000 < L_eff ≤ 3000 : n linéaire de 120 à 150.
• 3000 < L_eff ≤ 6000 : n linéaire de 150 à 200.
• 6000 < L_eff ≤ 24000 : n linéaire de 200 à 250.
• 24000 < L_eff ≤ 36000 : n linéaire de 250 à 300.
• L_eff > 36000 : n = 300.

Ce choix correspond aux pratiques courantes d’aptitude au service. Pour les planchers résidentiels et publics, on rencontre souvent la plage L/200…L/300. Pour les consoles, les limites sont généralement plus strictes, d’où l’utilisation de L_eff = 2·L.

Vérification de contrainte normale compare la contrainte calculée à la valeur admissible du matériau et de la classe sélectionnés :

σ = Mmax / W

où σ est la contrainte normale (MPa). Critère : σ ≤ v, où v est la valeur de résistance sélectionnée (MPa). La réserve est affichée en pourcentage sous la forme v/σ − 1.

Vérification de contrainte de cisaillement compare la contrainte τ au seuil v · k_v :

τ ≤ v · kv

où pour l’acier k_v = 0.58 et pour le bois k_v = 0.10. Cela fournit un seuil numérique clair sans complexité inutile.

Effet combiné des contraintes est, pour certaines sections, estimé par une contrainte équivalente et comparé au seuil 0.87 · v :

σeq ≤ 0.87 · v

Ce critère sert de vérification d’ingénierie lorsque contraintes normales et de cisaillement agissent simultanément.

Vérifications simplifiées de l’âme et de la semelle pour les éléments à parois minces utilisent des critères sans dimension. Pour l’âme, la limite est : λ ≤ 2.5. Pour la semelle, le rapport réel est comparé à la limite :

w = 0.5 · √(206000 / v)

Si les conditions ne sont pas respectées, la recommandation pratique est d’augmenter l’épaisseur ou de prévoir des raidisseurs.

FAQs

Pourquoi la flèche et la flèche admissible sont-elles basées sur des longueurs différentes pour une console ?

Pour une poutre en console, les déformations sont plus visibles et les critères d’aptitude au service sont souvent plus stricts. C’est pourquoi la vérification de la flèche admissible utilise L_eff = 2·L au lieu de la seule longueur géométrique. Le critère devient ainsi plus conservateur pour la même portée.

Que comprend la charge linéique totale ?

La charge linéique totale q est la somme de la charge extérieure et du poids propre de la poutre. Le poids propre est calculé à partir de la densité du matériau et de l’aire de section avec g = 9.80665. Ainsi, la flèche et les contraintes changent même à charge extérieure identique si le matériau ou la géométrie change.

Quelles valeurs de résistance sont utilisées pour l’acier et le bois ?

Pour l’acier, le calculateur utilise des niveaux fixes (MPa) : S235 → 197, S275 → 231, S355 → 298, S420 → 353. Pour le bois : C16 → 8.62, C24 → 12.92, C30 → 16.15. Ces valeurs sont utilisées comme limites dans la vérification de contrainte normale.

Pourquoi une vérification au cisaillement est-elle nécessaire si une vérification en flexion est déjà faite ?

La flexion gouverne les contraintes aux fibres extrêmes, mais le cisaillement peut être déterminant près des appuis et dans les âmes minces. La vérification τ ≤ v·k_v ajoute donc un contrôle du comportement de l’âme et des zones à efforts tranchants élevés. Pour l’acier, on utilise k_v = 0.58. Pour le bois, on utilise k_v = 0.10.

Quelles limites de flèche sont couramment utilisées en pratique ?

On utilise souvent la plage L/200…L/300 selon l’usage et la sensibilité des finitions. Dans ce calculateur, le diviseur n varie de 120 à 300 avec la longueur de la poutre, ce qui couvre des objectifs courants. Si un contrôle plus strict est requis, utilisez la partie haute de la plage et appliquez les limites pour console.