Méthode de calcul des fermes de toiture
Ce calculateur permet de modéliser et d'effectuer le calcul des fermes de toiture et d'auvent en bois ou en métal, notamment les charges et la résistance. À partir de la géométrie et de la charge indiquées, il détermine les efforts internes axiaux dans les barres, sélectionne les sections dans les séries de dimensions intégrées, vérifie la traction, la compression et la stabilité, tient compte du poids propre et évalue la flèche de la ferme. Les éléments en acier et en bois sont calculés séparément en fonction des propriétés du matériau choisi, de la longueur des barres et du contreventement hors plan des membrures.
Repères et recommandations
Modèle de calcul et répartition des charges
Modèle de ferme. La ferme est considérée comme un système plan de barres articulées. Chaque barre travaille en traction ou en compression axiale, et sa longueur géométrique correspond à la distance entre les centres de deux nœuds adjacents. L'appui gauche bloque les déplacements horizontal et vertical, tandis que l'appui droit bloque le déplacement vertical et autorise le déplacement horizontal.
Charges nodales. La charge verticale est appliquée aux nœuds de la membrure supérieure. Chaque nœud intérieur chargé reçoit la charge nodale complète P, tandis que les deux nœuds d'extrémité de la membrure supérieure reçoivent chacun P / 2. Cette répartition permet à la charge totale appliquée de correspondre à la charge agissant sur toute la portée de la ferme.
Charge surfacique. Si la charge d'entrée est définie par q en kN/m2 ou kg/m2, la charge totale reprise par une ferme est d'abord calculée :
Q = q · L · s
Ici, L est la portée de la ferme en mètres et s l'espacement entre les fermes adjacentes en mètres. Si la membrure supérieure est divisée en n panneaux, la charge nodale complète appliquée aux nœuds intérieurs est :
P = Q / n
Les nœuds d'extrémité reçoivent chacun P / 2. Lorsque les charges sont saisies en kilogrammes-force, la conversion 1 kN = 101,9716 kgf est utilisée ; les calculs internes des efforts sont effectués en kN.
Réactions d'appui, efforts dans les barres et poids propre
Équilibre de la ferme. Des équations d'équilibre sont établies pour chaque nœud dans les directions horizontale et verticale. La résolution du système complet fournit les réactions d'appui et l'effort axial N dans chaque barre. Un effort positif est considéré comme une traction et un effort négatif comme une compression.
Poids propre. Après une première sélection des sections, la masse de chaque barre est calculée à partir de son aire de section, de sa longueur réelle et de la masse volumique du matériau. Le poids est converti en force avec g = 9,80665 m/s2 et réparti à parts égales entre les deux nœuds de la barre. Les efforts et les sections sont ensuite recalculés, de sorte que l'augmentation du poids des sections plus importantes soit prise en compte au cycle de calcul suivant.
Sélection des sections. Pour chaque barre chargée, le calculateur vérifie par ordre croissant les dimensions disponibles du type de section choisi et retient la première section satisfaisant les conditions de résistance et, pour les barres comprimées, de stabilité. Une barre dont l'effort calculé est pratiquement nul reçoit une section au moins égale à la plus petite section utilisée pour les barres chargées du groupe et du matériau correspondants.
Réserve de résistance. Après la vérification, le taux d'utilisation η est calculé, avec η = 1 correspondant à la limite de calcul. La réserve en pourcentage est calculée par :
Réserve = (1 / η - 1) · 100%
Par exemple, η = 0,80 correspond à une réserve de 25 %. Aucune réserve numérique n'est affichée pour les barres non chargées.
Calcul des éléments en acier
Module d'élasticité. Les déformations de l'acier sont calculées avec E = 210000 MPa. Pour les nuances S235, S275, S355 et S420, la limite d'élasticité utilisée dans le calcul dépend de l'épaisseur de la paroi ou de l'aile du profilé.
- pour une épaisseur inférieure ou égale à 16 mm : S235 - 235 MPa, S275 - 275 MPa, S355 - 355 MPa, S420 - 420 MPa ;
- pour une épaisseur supérieure à 16 mm et jusqu'à 40 mm : respectivement 225, 265, 345 et 400 MPa ;
- pour une épaisseur supérieure à 40 mm : respectivement 215, 255, 335 et 390 MPa.
Traction. Pour une barre tendue, le taux d'utilisation est calculé à partir de l'effort axial et de la résistance de la section complète :
η = N / (A · fy)
Ici, N est exprimé en N, A est l'aire de la section en mm2 et fy est la limite d'élasticité en MPa. La condition est satisfaite lorsque η ≤ 1.
Compression et stabilité globale. L'élancement est d'abord calculé dans les deux directions principales :
λ = Leff / i
Pour chaque direction, l'élancement relatif est ensuite calculé par :
λrel = λ / π · √(fy / E)
Le facteur d'imperfection est pris égal à α = 0,49 pour les profils creux carrés et rectangulaires ainsi que pour les tubes circulaires, et à α = 0,76 pour les cornières simples et les profilés en U. Le coefficient de réduction de stabilité est calculé comme suit :
Φ = 0,5 · [1 + α · (λrel - 0,2) + λrel2]
χ = min(1; 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)])
Le calcul est effectué dans les deux directions et la plus petite valeur de χ est retenue. La vérification en compression est :
η = N / (χ · A · fy) ≤ 1
Stabilité locale des sections en acier. Avant la vérification du flambement global, les rapports largeur-épaisseur ou diamètre-épaisseur sont contrôlés pour les barres comprimées. Le calcul utilise ε = √(235 / fy). Pour les profils creux carrés et rectangulaires, la condition est (max(h,b) - 2t) / t ≤ 42ε ; pour les tubes circulaires, D / t ≤ 90ε2 ; et pour les cornières, a / t ≤ 14ε. Pour les profilés en U, l'âme est vérifiée par rapport à 42ε et la partie en porte-à-faux de l'aile par rapport à 14ε.
Calcul des éléments en bois
Propriétés de calcul du bois. Le calculateur utilise les classes de résistance C16, C24 et C30. Les valeurs suivantes de résistance à la traction, résistance à la compression, module d'élasticité et masse volumique moyenne sont utilisées :
- C16 : ft = 10 MPa, fc = 17 MPa, E0,05 = 5400 MPa, Emean = 8000 MPa, masse volumique 370 kg/m3 ;
- C24 : ft = 14,5 MPa, fc = 21 MPa, E0,05 = 7400 MPa, Emean = 11000 MPa, masse volumique 420 kg/m3 ;
- C30 : ft = 18 MPa, fc = 23 MPa, E0,05 = 8000 MPa, Emean = 12000 MPa, masse volumique 460 kg/m3.
Coefficients pour le bois. La vérification de résistance utilise le coefficient de modification kmod = 0,60 et le coefficient de matériau γM = 1,30. La résistance de calcul de base est donc obtenue en multipliant la résistance caractéristique par 0,60 / 1,30.
Traction du bois. Pour les éléments dont la plus grande dimension de section h est inférieure à 150 mm, un coefficient de dimension supplémentaire est utilisé :
kh = min[(150 / h)0,2; 1,30]
Pour h supérieur ou égal à 150 mm, kh = 1 est utilisé. La vérification en traction est :
η = N / [A · ft · kmod · kh / γM]
Compression du bois. Pour chaque direction, l'élancement géométrique λ est d'abord calculé, puis l'élancement relatif :
λrel = λ / π · √(fc / E0,05)
Lorsque λrel ≤ 0,30, kc = 1 est utilisé. Pour un élancement plus élevé :
Φ = 0,5 · [1 + 0,20 · (λrel - 0,30) + λrel2]
kc = min(1; 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)])
La plus petite valeur de kc obtenue dans les deux directions est utilisée. La vérification finale d'une barre en bois comprimée est :
η = N / [kc · A · fc · kmod / γM] ≤ 1
Contreventement et longueur efficace
Dans le plan de la ferme. La longueur efficace utilisée pour l'élancement est prise égale à la longueur géométrique complète de la barre entre deux nœuds adjacents. La division d'une membrure par les nœuds de la ferme la divise donc également en barres de calcul distinctes dans le plan de la ferme.
Hors du plan de la ferme. Pour les membrures supérieure et inférieure, la longueur efficace est déterminée par le contreventement. Lorsqu'un espacement de contreventement est indiqué, la valeur saisie en millimètres est utilisée directement comme Ly,eff. Lorsque des nœuds contreventés individuels sont sélectionnés, le calculateur détermine la plus grande distance entre deux points adjacents de maintien latéral de la membrure concernée. Pour les barres d'âme, la longueur efficace hors plan est prise égale à la longueur totale de la barre.
Orientation des sections rectangulaires. Pour les profils creux rectangulaires et les éléments rectangulaires en bois, la plus grande dimension de la section est supposée se trouver dans le plan de la ferme et la plus petite hors de ce plan. La stabilité hors plan peut donc être déterminante même lorsque l'élancement dans le plan est relativement faible.
Repère pratique. Un point de contreventement ne doit être considéré comme efficace que si l'élément ou le nœud raccordé empêche réellement le déplacement latéral de la membrure. La membrure supérieure est souvent maintenue par des pannes, des liteaux ou un système de contreventement, tandis que la membrure inférieure peut être maintenue par des contreventements entre fermes ou par d'autres éléments assurant un appui latéral réel.
Calcul de la flèche et sélection des sections selon la rigidité
Flèche élastique. Après la sélection des sections, le calculateur forme la matrice de rigidité de l'ensemble de la ferme. La rigidité axiale de chaque barre est déterminée par E · A / L. Les déplacements horizontaux et verticaux de tous les nœuds sont calculés, et le plus grand déplacement vertical en valeur absolue est retenu comme flèche calculée de la ferme.
Module d'élasticité. La flèche de l'acier est calculée avec E = 210000 MPa. Pour le bois, les modules d'élasticité moyens Emean sont utilisés : 8000 MPa pour C16, 11000 MPa pour C24 et 12000 MPa pour C30.
Prise en compte de la souplesse réelle de la structure. Un modèle de ferme purement articulé ne tient compte que des déformations axiales des barres et donne généralement une flèche inférieure à celle de la structure réelle. La flèche élastique calculée est donc multipliée par un coefficient de correction interne de 1,15 pour une ferme en acier et de 1,50 pour une ferme en bois. Il s'agit d'hypothèses conservatrices utilisées par le calculateur et non de coefficients de calcul de l'Eurocode.
Limite de flèche. Le niveau de rigidité choisi fixe la flèche maximale admissible :
flim = L / 200, L / 250 ou L / 300
Plus le dénominateur est grand, plus la flèche admissible est faible. Dans le calculateur, L/200 correspond au niveau de rigidité normal, L/250 à un niveau renforcé et L/300 à l'option la plus rigide.
Augmentation automatique des sections. Si la flèche dépasse la limite choisie après les vérifications de résistance et de stabilité, le calculateur augmente l'aire cible des sections des barres chargées. À chaque cycle, le coefficient suivant est utilisé :
kA = min[2,50; max(1,05; 1,02 · f / flim)]
Après l'augmentation des sections, le poids propre, les efforts internes, la résistance, la stabilité et la flèche sont recalculés. Jusqu'à 12 cycles sont effectués. Lors du choix de la section suivante, celle-ci doit également satisfaire les vérifications de résistance et de stabilité.
Masse et base normative européenne
Masse de la ferme. La masse de chaque barre est calculée avec m = A · L · ρ, où A est convertie en m2, L est la longueur de la barre en mètres et ρ la masse volumique en kg/m3. Une masse volumique de 7850 kg/m3 est utilisée pour l'acier. Pour le bois, les valeurs utilisées sont respectivement 370, 420 ou 460 kg/m3 pour les classes C16, C24 et C30. La masse totale de la ferme est la somme des masses de toutes les barres calculées.
Normes européennes. La logique de calcul suit les principes associés à l'EN 1990 « Eurocode - Bases de calcul des structures » et à l'EN 1991 « Eurocode 1 - Actions sur les structures ». Les vérifications des éléments en acier utilisent des approches de l'EN 1993-1-1 « Eurocode 3 - Calcul des structures en acier - Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments ». Les vérifications des éléments en bois utilisent des approches de l'EN 1995-1-1 « Eurocode 5 - Conception et calcul des structures en bois - Partie 1-1 : Généralités - Règles communes et règles pour les bâtiments », tandis que les classes de résistance C16, C24 et C30 suivent l'EN 338 « Bois de structure - Classes de résistance ».
FAQs
Pourquoi la réduction de l'espacement du contreventement peut-elle réduire sensiblement la section nécessaire ?
L'espacement du contreventement détermine la longueur efficace de la membrure hors du plan de la ferme. Une longueur efficace plus courte réduit l'élancement, augmente le coefficient de stabilité et peut permettre de reprendre le même effort de compression avec une section plus petite. Cet effet est particulièrement marqué pour les sections rectangulaires présentant une rigidité relativement faible autour de l'axe faible.
Pourquoi certaines barres affichent-elles un tiret dans la colonne « Stabilité » ?
La stabilité au flambement est vérifiée pour les barres comprimées. Une barre tendue est contrôlée en traction sur la section complète, c'est pourquoi un tiret est affiché pour la stabilité. Pour une barre comprimée, OK signifie que la vérification de stabilité retenue est satisfaite, tandis que NO signifie qu'elle ne l'est pas.
Pourquoi une classe de résistance supérieure de l'acier ou du bois ne réduit-elle pas toujours sensiblement la section ?
La section nécessaire ne dépend pas uniquement de la résistance du matériau. Pour les barres comprimées, l'élancement et la stabilité peuvent être déterminants, tandis que la flèche peut également gouverner le dimensionnement de l'ensemble de la ferme. Une résistance plus élevée du matériau ne permet donc pas toujours d'utiliser la dimension de section immédiatement inférieure.
Quelle est la différence entre la réserve de résistance affichée et un coefficient de sécurité ?
Le pourcentage affiché est calculé à partir du taux d'utilisation réel de la section sélectionnée. Par exemple, une utilisation de 80 % donne une réserve de 25 % selon la vérification appliquée. Il s'agit de la capacité calculée restante de l'élément sélectionné et non d'un coefficient de sécurité fixe ajouté à la charge au préalable.
Pourquoi la flèche calculée d'une ferme peut-elle être nettement inférieure à L/250 ?
Une ferme reprend principalement les charges par traction et compression axiales de ses barres, de sorte qu'une structure de hauteur suffisante peut présenter une flèche élastique relativement faible. Le calculateur multiplie en outre la flèche idéalisée par 1,15 pour l'acier et par 1,50 pour le bois et, si la limite de flèche choisie est dépassée, il augmente automatiquement les sections des barres et recalcule la ferme.