Calcul de poutre en bois

Méthode de calcul de la poutre en bois

Ce calculateur de poutre en bois permet d’effectuer le calcul d’une poutre rectangulaire afin de déterminer sa flèche, sa résistance en flexion et sa résistance au cisaillement. Le calcul de poutre en bois tient compte des dimensions de la section, de la portée, de la classe de résistance du bois, du type d’appui, d’une charge uniformément répartie ou concentrée ainsi que du poids propre de la poutre.

Les résultats comprennent la flèche de la poutre, la flèche admissible, les contraintes normales et de cisaillement, ainsi que l’aire de la section, le moment d’inertie, le module de résistance, la masse de la poutre, la charge due au poids propre, le moment fléchissant maximal et l’effort tranchant maximal.

Valeurs indicatives et recommandations

Normes et propriétés du bois

Normes européennes. Les propriétés du bois de structure sont basées sur les classes de résistance définies dans l’EN 338 « Bois de structure — Classes de résistance ». L’approche générale de vérification des éléments en bois suit les principes de l’EN 1995-1-1 « Eurocode 5 : Conception et calcul des structures en bois — Partie 1-1 : Généralités — Règles communes et règles pour les bâtiments ». Les normes associées concernant les actions et le calcul aux états limites sont l’EN 1991 « Eurocode 1 : Actions sur les structures » et l’EN 1990 « Eurocode : Bases de calcul des structures ».

Propriétés des classes de résistance du bois. Chaque classe de résistance utilise son propre module d’élasticité moyen, sa masse volumique moyenne, sa résistance caractéristique en flexion et sa résistance caractéristique au cisaillement :

• C16 : E0,mean = 8000 MPa, ρ = 370 kg/m3, fm,k = 16 MPa, fv,k = 3.2 MPa.
• C24 : E0,mean = 11000 MPa, ρ = 420 kg/m3, fm,k = 24 MPa, fv,k = 4.0 MPa.
• C30 : E0,mean = 12000 MPa, ρ = 460 kg/m3, fm,k = 30 MPa, fv,k = 4.0 MPa.

Résistance de calcul. La résistance caractéristique est convertie en résistance de calcul selon la relation générale de l’Eurocode 5 :

fd = kmod·fk/γM

Le calculateur utilise les valeurs fixes kmod = 0.7 et γM = 1.3. On obtient ainsi des résistances de calcul en flexion de 8.62 MPa pour C16, 12.92 MPa pour C24 et 16.15 MPa pour C30. Les résistances de calcul au cisaillement correspondantes sont de 1.72 MPa, 2.15 MPa et 2.15 MPa.

Coefficient de modification kmod. Dans l’EN 1995-1-1, ce coefficient dépend de la classe de durée de chargement et des conditions de service du bois. Le calculateur ne modifie pas automatiquement ce coefficient et utilise la valeur fixe 0.7, ce qui constitue l’une des principales hypothèses du calcul.

Charge appliquée. Le calculateur considère la charge saisie par l’utilisateur comme une action de calcul déjà définie. Les coefficients de combinaison des charges de l’EN 1990 et de l’EN 1991 ne sont pas appliqués automatiquement à la valeur saisie.

Caractéristiques de la section de la poutre

Aire de la section. Pour une poutre rectangulaire de largeur t et de hauteur h, l’aire est calculée comme suit :

A = t·h

Lorsque les dimensions sont saisies en millimètres, l’aire est obtenue en mm². Elle est utilisée pour déterminer la masse de la poutre, son poids propre et la contrainte de cisaillement.

Moment d’inertie. La rigidité en flexion de la section rectangulaire est caractérisée par :

I = t·h3/12

La valeur de I est exprimée en mm⁴ et influence directement la flèche de la poutre. Une augmentation de la hauteur de la poutre a donc un effet beaucoup plus important sur la rigidité qu’une même augmentation relative de la largeur.

Module de résistance. Le module de résistance utilisé pour la vérification de la contrainte de flexion est :

W = t·h2/6

Le module de résistance est exprimé en mm³ et relie le moment fléchissant maximal à la contrainte dans les fibres extrêmes du bois.

Moment statique de l’aire. Pour déterminer la contrainte de cisaillement maximale dans une section rectangulaire, le calculateur utilise :

Q = t·h2/8

Unités de charge et poids propre

Conversion des charges. L’accélération de la pesanteur g = 9.80665 m/s2 est utilisée pour convertir les valeurs exprimées en kilogrammes en forces. Une charge répartie en kg/m est convertie en force par unité de longueur, tandis qu’une charge concentrée en kg est convertie en newtons. Les valeurs saisies directement en kN/m ou en kN sont traitées comme des forces.

Poids propre. La masse par mètre est déterminée à partir de l’aire de la section et de la masse volumique moyenne de la classe de résistance du bois sélectionnée. La charge répartie due au poids propre est calculée comme suit :

qsw = ρ·A·g·10-9

Avec A en mm², qsw est obtenu en kN/m. Le poids propre est toujours pris en compte comme une charge uniformément répartie, y compris lorsque la charge extérieure principale est concentrée.

Masse de la poutre. Pour une longueur de poutre L exprimée en millimètres, la masse est calculée comme suit :

m = ρ·A·L·10-9

Le résultat est exprimé en kilogrammes.

Moment fléchissant et effort tranchant

Charge répartie totale. Pour une charge extérieure répartie, les efforts sont calculés avec q = qext + qsw. Pour une force extérieure concentrée P, la composante répartie q correspond au poids propre de la poutre.

Efforts de calcul. Dans les formules ci-dessous, q est exprimé en kN/m, P en kN et L en mètres. Le moment fléchissant maximal est obtenu en kN·m et l’effort tranchant maximal en kN :

• Appui simple-appui simple : Mmax = q·L2/8 + P·L/4, Vmax = q·L/2 + P/2.
• Encastrement-appui simple : Mmax = q·L2/8 + 3·P·L/16, Vmax = 5·q·L/8 + 11·P/16.
• Encastrement-encastrement : Mmax = q·L2/12 + P·L/8, Vmax = q·L/2 + P/2.
• Console : Mmax = q·L2/2 + P·L, Vmax = q·L + P.

Pour les poutres supportées aux deux extrémités, la force concentrée est appliquée dans la partie centrale de la portée conformément au schéma de calcul sélectionné. Pour une console, la force est appliquée à l’extrémité libre. Le poids propre de la poutre agit sur toute sa longueur.

Calcul de la flèche de la poutre

Rigidité en flexion. La flèche dépend du produit E·I : plus le module d’élasticité du bois ou le moment d’inertie de la section est élevé, plus la déformation est faible. Dans les formules de flèche, le calculateur utilise q en N/mm, P en N, L en mm, E en MPa et I en mm⁴, de sorte que le résultat est obtenu directement en millimètres.

Poutre simplement appuyée. La flèche due à la charge répartie et à la charge concentrée est calculée selon le principe de superposition :

f = 5·q·L4/(384·E·I) + P·L3/(48·E·I)

Poutre encastrée aux deux extrémités. Pour une poutre encastrée aux deux extrémités :

f = q·L4/(384·E·I) + P·L3/(192·E·I)

Poutre en console. Pour une charge répartie agissant sur toute la longueur et une force appliquée à l’extrémité libre :

f = q·L4/(8·E·I) + P·L3/(3·E·I)

Poutre encastrée-appuyée. Pour une charge répartie agissant seule, le coefficient de flèche maximale est 0.00541612 :

fq = 0.00541612·q·L4/(E·I)

Pour une force concentrée agissant seule, le coefficient est √5/240 ≈ 0.00931695 :

fP = 0.00931695·P·L3/(E·I)

Lorsque le poids propre et une force concentrée agissent simultanément, la position de la flèche maximale ne coïncide pas nécessairement avec le milieu de la portée. Pour le schéma encastrement-appui simple, le calculateur combine donc les courbes élastiques produites par les deux charges et détermine la valeur absolue maximale de la flèche sur toute la longueur de la poutre.

Flèche admissible

Critère de flèche. La valeur admissible est définie comme la longueur de la portée divisée par un coefficient n :

flim = L/n

Lorsque le coefficient est sélectionné automatiquement, il varie progressivement avec la longueur de la portée :

• jusqu’à 1000 mm — n = 120 ;
• de 1000 à 3000 mm — linéairement de 120 à 150 ;
• de 3000 à 6000 mm — linéairement de 150 à 200 ;
• de 6000 à 24000 mm — linéairement de 200 à 250 ;
• de 24000 à 36000 mm — linéairement de 250 à 300 ;
• au-delà de 36000 mm — n = 300.

La valeur sélectionnée automatiquement sert de valeur indicative pratique pour l’aptitude au service et non de limite normative universelle pour toutes les structures. Si une exigence particulière du projet est connue, il est possible de saisir un rapport personnalisé L/n ; l’augmentation de n réduit la flèche admissible et rend la vérification plus stricte.

Vérifications de résistance et évaluation du résultat

Contrainte normale. La contrainte maximale de flexion est calculée à partir du module de résistance :

σm = Mmax/W

La condition de résistance en flexion est satisfaite lorsque :

σm ≤ fm,d

Contrainte de cisaillement. La contrainte maximale de cisaillement est déterminée à partir de l’effort tranchant maximal :

τ = Vmax·Q/(I·t)

Pour une section rectangulaire, cette relation est équivalente à τ = 1.5·Vmax/A. La vérification de la résistance au cisaillement est satisfaite lorsque :

τ ≤ fv,d

Marge de résistance. Lorsqu’une vérification de résistance est satisfaite, la marge affichée indique le rapport relatif entre la résistance de calcul et la contrainte calculée :

Marge = (fd/σ - 1)·100%

Pour la vérification au cisaillement, τ est utilisé à la place de σ et fv,d à la place de fd. La flèche, la flexion et le cisaillement sont vérifiés indépendamment : satisfaire une condition ne compense pas le dépassement d’une autre.

FAQs

Pourquoi une même poutre en bois C24 fléchit-elle moins qu’une poutre C16 ?

La classe de résistance du bois influence non seulement la contrainte admissible, mais aussi la rigidité du matériau. Le calculateur utilise E = 8000 MPa pour C16 et 11000 MPa pour C24 ; à section, portée et charge identiques, la flèche calculée d’une poutre en bois C24 est donc plus faible.

Pourquoi une poutre en bois peut-elle satisfaire la vérification de résistance mais pas celle de la flèche ?

La résistance et la rigidité décrivent des aspects différents du comportement de la poutre. La contrainte de flexion peut rester largement inférieure à la résistance de calcul du bois, tandis qu’une faible rigidité E·I sur une grande portée peut tout de même provoquer une flèche excessive. Pour les poutres en bois, la flèche peut donc devenir le critère déterminant même lorsque la capacité portante est suffisante.

Pourquoi le poids propre est-il pris en compte lorsque la charge principale est concentrée ?

Une force concentrée décrit uniquement une action extérieure appliquée en un point. La poutre en bois possède elle-même une masse sur toute sa longueur ; son poids propre agit donc simultanément comme une charge uniformément répartie qsw et contribue à la flèche, au moment fléchissant et à l’effort tranchant.

Que signifie la marge de résistance affichée dans le résultat ?

La marge indique de combien la résistance de calcul de la classe de bois sélectionnée dépasse, en valeur relative, la contrainte calculée. Par exemple, une marge de 20% représente le rapport entre la limite de calcul et la contrainte actuelle ; elle ne signifie pas automatiquement que la charge extérieure peut être augmentée exactement de 20%, car le poids propre de la poutre est également inclus dans le calcul.

Comment choisir la flèche admissible L/n ?

Si aucune exigence particulière n’est connue, le calculateur de poutre en bois utilise une valeur indicative automatique basée sur la portée. Si une spécification de projet, une exigence de calcul ou une règle applicable impose une limite précise, il convient d’utiliser une valeur personnalisée de L/n. Plus le dénominateur n est élevé, plus l’exigence concernant la flèche est stricte.