Calcolo momento d'inerzia

Metodo di calcolo del momento d'inerzia

Il calcolatore determina le proprietà geometriche di una sezione: area A, momenti d’inerzia della sezione I, moduli di resistenza W e raggi d’inerzia i. Questi valori si usano nelle verifiche di resistenza e di freccia di travi, colonne e elementi simili, e per scegliere o confrontare forme di sezione.

Il calcolo è eseguito per forme tipiche definite da dimensioni lineari. I risultati si riferiscono ad assi passanti per il baricentro della sezione, salvo diversa indicazione.

Indicazioni e raccomandazioni

Cosa viene calcolato e in quali unità

Area della sezione A viene calcolata dalle dimensioni lineari e rappresenta la quantità di materiale nella sezione. Unità: mm² (o equivalente dopo conversione).

Momenti d’inerzia I_x e I_y descrivono come l’area è distribuita rispetto agli assi x e y e si usano nei calcoli di freccia e di instabilità. Unità: mm⁴.

Moduli di resistenza W_x e W_y servono a collegare il momento flettente alla tensione massima a flessione. Unità: mm³.

Raggi d’inerzia i_x e i_y si usano nelle verifiche di stabilità degli elementi, per esempio per la snellezza. Unità: mm.

Relazioni di base utilizzate nel calcolo

Dal momento d’inerzia al raggio d’inerzia il calcolatore usa la definizione di raggio d’inerzia.

ix = √( Ix / A ), iy = √( Iy / A )

Modulo di resistenza è calcolato come rapporto tra momento d’inerzia e distanza dall’asse neutro alla fibra più lontana.

Wx = Ix / ymax, Wy = Iy / xmax

Qui y_max e x_max sono le distanze massime dall’asse ai punti estremi della sezione nella direzione corrispondente. Per forme simmetriche è tipicamente metà altezza o metà larghezza. Per forme non simmetriche le distanze al bordo superiore e inferiore possono essere diverse e si usano le distanze estreme corrispondenti.

Come si calcolano i momenti d’inerzia per sezioni composte

Sezione composta (per esempio un profilo a I, a U, un angolare o una sezione cava) è rappresentata come somma e differenza di forme semplici. Per ogni parte il calcolatore determina prima la sua area A_k, la posizione del suo baricentro e i suoi momenti d’inerzia propri rispetto ad assi passanti per il baricentro della parte.

Trasferimento agli assi comuni avviene usando il teorema degli assi paralleli.

Ix = Σ( Ix,k + Ak·Δyk2 ), Iy = Σ( Iy,k + Ak·Δxk2 )

Qui Δx_k e Δy_k sono gli scostamenti del baricentro della parte rispetto al baricentro globale della sezione. Fori e scassi sono trattati come parti “negative”, cioè le loro aree e i loro momenti vengono sottratti.

Formule tipiche per forme base

Rettangolo (larghezza b, altezza h) è calcolato con espressioni standard rispetto agli assi baricentrici.

A = b·h, Ix = b·h3/12, Iy = h·b3/12

Cerchio (diametro d) è calcolato con espressioni standard rispetto a qualsiasi diametro passante per il centro.

A = π·d2/4, Ix = Iy = π·d4/64

Sezione circolare cava (diametro esterno D, spessore t) è calcolata come differenza di due cerchi. Il diametro interno d è assunto come d = D − 2t (a condizione che D > 2t).

A = π·(D2 − d2)/4, Ix = Iy = π·(D4 − d4)/64

Come si sceglie il valore finale quando ci sono più assi e distanze estreme

Assi separati sono valutati separatamente: I_x, W_x, i_x riguardano flessione e stabilità attorno all’asse x, e I_y, W_y, i_y attorno all’asse y.

Valori minimi possono essere mostrati come “caso più sfavorevole” per la stabilità, soprattutto per sezioni non simmetriche. Una pratica comune è usare i_min = min(i_x, i_y) e I_min = min(I_x, I_y).

Indicazioni pratiche per usare i risultati

Flessione e tensioni sono spesso valutate tramite il modulo di resistenza. A parità di momento flettente, un W maggiore porta a tensioni di flessione più basse.

Freccia è sensibile al momento d’inerzia. A parità di materiale e condizioni di luce, la freccia è inversamente proporzionale a I. Aumentare l’altezza della sezione in genere aumenta I_x molto più che aumentare la larghezza.

Stabilità degli elementi è spesso collegata al raggio d’inerzia e alla snellezza. Una relazione comune usa il rapporto L/i, dove un i più piccolo dà il caso più critico.

Riferimento alle norme UE

EN 1993-1-1 (Eurocodice 3) usa le proprietà geometriche (area, momenti d’inerzia, raggi d’inerzia, moduli di resistenza) nel dimensionamento degli elementi in acciaio.

EN 1995-1-1 (Eurocodice 5) usa le stesse proprietà per elementi in legno nelle verifiche di resistenza e di esercizio.

EN 1999-1-1 (Eurocodice 9) usa in modo analogo le proprietà di sezione per strutture in alluminio.

In questi documenti le formule geometriche sono generalmente considerate una base standard e le proprietà calcolate vengono poi usate nelle verifiche di resistenza e stabilità.

FAQs

Qual è la differenza tra momento d’inerzia e modulo di resistenza

Il momento d’inerzia I descrive la distribuzione dell’area e influisce direttamente su rigidezza e freccia. Il modulo di resistenza W considera anche la distanza dalle fibre estreme, quindi è pratico per stimare la tensione di flessione. Per una sezione non simmetrica, W può essere diverso per lati diversi.

Perché una stessa sezione ha valori diversi rispetto agli assi x e y

Una sezione può essere rigida in una direzione e più flessibile nell’altra. Per esempio, una forma alta e stretta ha spesso un I_x grande e un I_y piccolo. Per questo le verifiche di flessione e instabilità si eseguono separatamente per ciascun asse.

Come vengono considerati i vuoti in una sezione cava o i fori in una sezione

Un vuoto viene considerato sottraendo la forma interna da quella esterna. L’area interna e i momenti d’inerzia sono presi con segno negativo, perché lì non c’è materiale. Per una sezione circolare cava, deve essere soddisfatta la condizione D > 2t.

Si possono confrontare sezioni diverse usando solo l’area

L’area indica la massa a parità di densità del materiale, ma non rappresenta rigidezza o resistenza a flessione. Due sezioni con la stessa area possono avere valori molto diversi di I e W. Per travi in flessione è comune confrontare W per le tensioni e I per la freccia.

Quali risultati si usano più spesso per la stabilità delle colonne

È comune considerare i raggi d’inerzia e prendere il minimo i, perché produce la snellezza più critica. Questo è particolarmente importante per sezioni composte e non simmetriche. La verifica di progetto considera poi la lunghezza efficace, i vincoli e le regole dell’Eurocodice applicabili.