Цей калькулятор виконує лінійну інтерполяцію між двома відомими точками та визначає проміжне значення Y для заданого X. Такий тип розрахунку застосовують, коли відомі пари значень (X1, Y1) і (X2, Y2), а між ними потрібно отримати оціночне значення за умови лінійної залежності.
Метод використовують для технічних таблиць, графіків, довідкових даних щодо матеріалів, температурних залежностей, навантажень, витрат, коефіцієнтів та інших величин, для яких лінійне наближення є прийнятним у межах вибраного інтервалу. Калькулятор також показує результат на графіку, щоб можна було побачити положення шуканої точки відносно вихідних даних.
Основа методу полягає в тому, що величина вважається такою, що змінюється лінійно між двома відомими точками. Це означає, що коли X змінюється однаковими кроками, значення Y змінюється рівномірно в межах вибраного інтервалу.
Y = Y1 + (X - X1) / (X2 - X1) × (Y2 - Y1)
Зміст формули такий. Спочатку метод визначає, яку частку відстані по осі X займає точка X між X1 та X2. Потім ця сама частка застосовується до різниці Y2 - Y1. Після цього отриманий приріст додається до початкового значення Y1.
Крок 1 - вхідні дані задають дві координати на осі X і два відповідні значення на осі Y. Одиниці вимірювання можуть бути будь-якими, але на кожній осі вони мають бути узгодженими. Наприклад, якщо X задано в °C, тоді і X1, і X2 також мають бути задані в °C. Такий самий принцип застосовується до Y.
Крок 2 - калькулятор визначає різницю X - X1 і загальний інтервал X2 - X1. Відношення цих величин показує відносне положення шуканої точки на осі X.
Крок 3 - зміна по осі Y обчислюється як Y2 - Y1. Потім цю різницю множать на раніше знайдену частку інтервалу по осі X.
Крок 4 - отриманий приріст додається до Y1. Результатом є обчислене значення Y в тій самій одиниці вимірювання, що й Y1 та Y2.
Інтерполяція є коректною, коли шукане значення X лежить між X1 та X2. У такому випадку результат є проміжним значенням на відрізку між двома відомими точками.
Екстраполяція виникає, якщо X менше за X1 або більше за X2. Математично формула залишається тією самою, але результат виходить за межі початкового інтервалу. На практиці така оцінка є менш надійною, оскільки реальна залежність поза відомим діапазоном може вже не бути лінійною.
Граничний випадок при X1 = X2 не допускається, оскільки знаменник X2 - X1 стає рівним 0. У такому разі формулу неможливо застосувати.
Точність методу залежить не від кількості знаків після коми, а від того, наскільки близько реальна залежність відповідає прямій лінії в межах вибраного інтервалу. Чим коротший інтервал між X1 та X2, тим частіше лінійна інтерполяція дає стабільний результат.
Поширений підхід полягає в застосуванні методу до табличних даних, де сусідні точки вже розташовані достатньо близько одна до одної. Якщо крок між вихідними значеннями великий, а залежність явно нелінійна, результат може бути лише наближенням.
Перевірка логіки є простою. Якщо X розташоване точно посередині між X1 та X2, то за лінійної залежності значення Y також має бути точно посередині між Y1 та Y2. Це швидкий спосіб візуально перевірити розрахунок.
Символи та запис формул в інженерних розрахунках зазвичай подають відповідно до ISO 80000-2:2019 "Величини та одиниці - Частина 2: Математика", який встановлює загальні правила для математичних символів і запису виразів.
Інженерне застосування методу трапляється під час роботи з табличними та графічними даними в розрахунках за Єврокодами. Зокрема, EN 1990 "Єврокод - Основи проєктування конструкцій і геотехнічного проєктування" задає загальну розрахункову основу для інженерної перевірки, а лінійна інтерполяція в таких завданнях використовується як допоміжний числовий метод для оцінювання проміжних значень між відомими точками.
Вона працює найкраще там, де залежність між двома сусідніми точками близька до прямої лінії. Для технічних таблиць і довідкових графіків це зазвичай прийнятно на коротких інтервалах, де параметр змінюється плавно.
Математично формула все одно обчислить результат, але це вже не буде інтерполяцією. Це буде лінійна екстраполяція. Для практичних завдань такий результат слід розглядати обережно, оскільки реальна крива поза межами відомого діапазону може поводитися інакше.
Це пов'язано з тим, що формула містить ділення на X2 - X1. Якщо ця різниця дорівнює нулю, неможливо визначити відносне положення точки на осі X, і розрахунок втрачає зміст.
Так. У межах кожної осі одиниці мають бути узгодженими. Значення X, X1 та X2 потрібно вводити в одній спільній одиниці, тоді як Y, Y1 та Y2 потрібно вводити в одній узгодженій одиниці для цієї величини.
Лінійна інтерполяція не відтворює початковий закон зміни величини. Вона наближує цю залежність прямою лінією між двома відомими точками. Тому це не універсальна заміна аналітичної формули, а практичний спосіб швидко отримати проміжне значення з таблиці або графіка.