Dieser Rechner führt eine lineare Interpolation zwischen zwei bekannten Punkten durch und bestimmt den Zwischenwert von Y für ein gegebenes X. Diese Art der Berechnung wird verwendet, wenn die Wertepaaren (X1, Y1) und (X2, Y2) bekannt sind und ein Schätzwert zwischen ihnen unter der Annahme eines linearen Zusammenhangs benötigt wird.
Die Methode wird bei technischen Tabellen, Diagrammen, Referenzdaten für Materialien, Temperaturabhängigkeiten, Lasten, Durchflussraten, Koeffizienten und anderen Größen verwendet, bei denen über den gewählten Bereich eine Annäherung durch eine Gerade zulässig ist. Der Rechner zeigt das Ergebnis auch in einem Diagramm an, damit die Lage des Zielpunkts relativ zu den Ausgangsdaten sichtbar wird.
Grundlage der Methode ist die Annahme, dass sich die Größe zwischen zwei bekannten Punkten linear verändert. Das bedeutet, dass sich bei gleichen Schritten von X auch der Wert von Y über den gewählten Bereich gleichmäßig ändert.
Y = Y1 + (X - X1) / (X2 - X1) × (Y2 - Y1)
Bedeutung der Formel ist wie folgt. Zuerst bestimmt die Methode, welchen Anteil der Strecke auf der X-Achse der Punkt X zwischen X1 und X2 einnimmt. Anschließend wird derselbe Anteil auf die Differenz Y2 - Y1 angewendet. Danach wird der erhaltene Zuwachs zum Ausgangswert Y1 addiert.
Schritt 1 - die Eingabedaten liefern zwei Koordinaten auf der X-Achse und zwei zugehörige Werte auf der Y-Achse. Die Einheiten können beliebig sein, sie müssen jedoch auf jeder Achse konsistent sein. Wenn X zum Beispiel in °C angegeben wird, müssen auch X1 und X2 in °C angegeben werden. Dasselbe Prinzip gilt für Y.
Schritt 2 - der Rechner bestimmt die Differenz X - X1 und das gesamte Intervall X2 - X1. Das Verhältnis dieser Werte zeigt die relative Lage des Zielpunkts auf der X-Achse.
Schritt 3 - die Änderung auf der Y-Achse wird als Y2 - Y1 berechnet. Diese Differenz wird anschließend mit dem zuvor ermittelten Anteil des Intervalls auf der X-Achse multipliziert.
Schritt 4 - der resultierende Zuwachs wird zu Y1 addiert. Das Ergebnis ist der berechnete Wert von Y in derselben Einheit wie Y1 und Y2.
Interpolation ist gültig, wenn der gesuchte Wert X zwischen X1 und X2 liegt. In diesem Fall ist das Ergebnis ein Zwischenwert auf dem Abschnitt zwischen den beiden bekannten Punkten.
Extrapolation tritt auf, wenn X kleiner als X1 oder größer als X2 ist. Mathematisch bleibt die Formel gleich, aber das Ergebnis liegt außerhalb des ursprünglichen Intervalls. In der Praxis ist eine solche Schätzung weniger zuverlässig, weil der reale Zusammenhang außerhalb des bekannten Bereichs nicht mehr linear sein muss.
Grenzfall mit X1 = X2 ist nicht zulässig, weil der Nenner X2 - X1 dann zu 0 wird. In diesem Fall kann die Formel nicht verwendet werden.
Genauigkeit der Methode hängt nicht von der Anzahl der Dezimalstellen ab, sondern davon, wie nahe der reale Zusammenhang im gewählten Intervall einer Geraden folgt. Je kürzer das Intervall zwischen X1 und X2 ist, desto häufiger liefert die lineare Interpolation ein stabiles Ergebnis.
Übliche Vorgehensweise ist die Anwendung der Methode auf tabellierte Daten, bei denen benachbarte Punkte bereits ausreichend nahe beieinander liegen. Wenn der Schritt zwischen den Ausgangswerten groß ist und der Zusammenhang eindeutig nichtlinear ist, kann das Ergebnis nur eine Näherung sein.
Plausibilitätsprüfung ist einfach. Wenn X genau in der Mitte zwischen X1 und X2 liegt, sollte bei einem linearen Zusammenhang auch der Wert von Y genau in der Mitte zwischen Y1 und Y2 liegen. Das ist eine schnelle Möglichkeit, die Berechnung visuell zu überprüfen.
Symbole und Formelschreibweise in technischen Berechnungen werden üblicherweise im Einklang mit ISO 80000-2:2019 "Größen und Einheiten - Teil 2: Mathematik" dargestellt. Diese Norm legt allgemeine Regeln für mathematische Symbole und die Schreibweise von Ausdrücken fest.
Technische Anwendung der Methode tritt bei der Arbeit mit tabellierten und grafischen Daten in Berechnungen nach den Eurocodes auf. Insbesondere liefert EN 1990 "Eurocode - Grundlagen der Tragwerksplanung und geotechnischen Bemessung" den allgemeinen Berechnungsrahmen für technische Nachweise, und die lineare Interpolation wird in solchen Aufgaben als unterstützendes numerisches Verfahren zur Abschätzung von Zwischenwerten zwischen bekannten Punkten verwendet.
Sie funktioniert am besten dort, wo der Zusammenhang zwischen zwei benachbarten Punkten einer Geraden nahekommt. Bei technischen Tabellen und Referenzdiagrammen ist dies in der Regel über kurze Intervalle akzeptabel, in denen sich der Parameter gleichmäßig verändert.
Mathematisch berechnet die Formel weiterhin ein Ergebnis, aber es handelt sich dann nicht mehr um Interpolation. Es wird zur linearen Extrapolation. Für praktische Aufgaben sollte ein solches Ergebnis mit Vorsicht behandelt werden, weil sich die reale Kurve außerhalb des bekannten Bereichs anders verhalten kann.
Der Grund ist, dass die Formel eine Division durch X2 - X1 enthält. Wenn diese Differenz null ist, lässt sich die relative Lage des Punktes auf der X-Achse nicht bestimmen, und die Berechnung verliert ihren Sinn.
Ja. Innerhalb jeder Achse müssen die Einheiten konsistent sein. Die Werte X, X1 und X2 müssen in einer gemeinsamen Einheit eingegeben werden, während Y, Y1 und Y2 in einer einheitlichen Einheit für diese Größe eingegeben werden müssen.
Die lineare Interpolation rekonstruiert nicht das ursprüngliche Gesetz der Größenänderung. Sie nähert diesen Zusammenhang durch eine Gerade zwischen zwei bekannten Punkten an. Deshalb ist sie kein universeller Ersatz für eine analytische Formel, sondern eine praktische Methode, um schnell einen Zwischenwert aus einer Tabelle oder einem Diagramm zu erhalten.