Betonbalk berekenen

Over de berekening van betonbalk

De online calculator voor het berekenen van een gewapende betonbalk berekent de wapening, sterkte en draagkracht van een rechthoekige betonbalk met eenvoudige oplegging of als uitkragende balk. Op basis van de opgegeven belasting, overspanning, afmetingen van de doorsnede, betonklasse en wapeningsparameters bepaalt de calculator het buigend moment, de dwarskracht, de vereiste doorsnede van de wapening, de geschikte staafdiameter en de benuttingsgraad van de draagkracht. Deze waarden behoren tot de belangrijkste parameters voor het beoordelen van de sterkte en doorbuiging van een gewapende betonbalk.

De berekening wordt stapsgewijs uitgevoerd. Eerst wordt de opgegeven belasting gecombineerd met het eigengewicht van de balk, waarna de inwendige krachten, effectieve hoogte en vereiste wapeningsoppervlakte worden bepaald. Na de keuze van een standaard staafdiameter controleert de calculator opnieuw de geometrie van de doorsnede, of de wapeningsstaven in de balk passen en de weerstand tegen buiging en dwarskracht.

Richtwaarden en aanbevelingen

Berekeningsvolgorde

Belastingen en eenheden. De afmetingen van de doorsnede en de lengte van de balk worden ingevoerd in millimeters. Voor de constructieve berekening wordt de lengte omgerekend naar meters. Een verdeelde belasting wordt gebruikt in kN/m en een puntbelasting in kN. Als de belasting wordt ingevoerd in kg/m of kg, zet de calculator deze om in kracht met een zwaartekrachtsversnelling van 9.81 m/s2.

q = qkg · 9.81 / 1000

P = Pkg · 9.81 / 1000

Eigengewicht. Het eigengewicht wordt automatisch berekend uit de werkelijke afmetingen van de doorsnede. Voor gewapend beton wordt een dichtheid van 2500 kg/m3 aangenomen.

g = b · h · 2500 · 9.81 / 109

In deze formule worden b en h ingevoerd in mm en wordt de resulterende waarde g verkregen in kN/m. Bij een verdeelde belasting wordt het eigengewicht bij de externe belasting opgeteld.

Buigend moment en dwarskracht

Eenvoudig opgelegde balk. Bij een gelijkmatig verdeelde belasting over de volledige overspanning worden de gebruikelijke formules voor het maximale buigende moment in het midden van de overspanning en de oplegreactie gebruikt.

MEd = (q + g) · L2 / 8

VEd = (q + g) · L / 2

Uitkragende balk. Bij een gelijkmatig verdeelde belasting treden de grootste inwendige krachten op bij de inklemming.

MEd = (q + g) · L2 / 2

VEd = (q + g) · L

Puntbelasting. Bij een eenvoudig opgelegde balk wordt aangenomen dat de puntbelasting in het midden van de overspanning aangrijpt. Bij een uitkragende balk wordt aangenomen dat deze aan het vrije uiteinde aangrijpt. Het eigengewicht van de balk blijft een gelijkmatig verdeelde belasting.

MEd = g · L2 / 8 + P · L / 4

MEd,c = g · L2 / 2 + P · L

Belastingsfactoren. De calculator past de partiële factoren γG en γQ niet aanvullend toe op de ingevoerde externe belasting. Als een ontwerpbelastingcombinatie nodig is, moet deze worden samengesteld voordat de belasting in de calculator wordt ingevoerd.

Beton en wapeningsstaal

Normatieve basis. De berekeningsrelaties volgen de uitgangspunten van EN 1992-1-1, Eurocode 2: Ontwerp en berekening van betonconstructies. Deel 1-1: Algemene regels en regels voor gebouwen. Gerelateerde documenten voor belastingen zijn EN 1990, Eurocode: Grondslagen van het constructief ontwerp, en EN 1991-1-1, Eurocode 1: Belastingen op constructies. Deel 1-1: Algemene belastingen, volumieke gewichten, eigengewicht en opgelegde belastingen voor gebouwen. De milieuklassen van beton houden verband met EN 206, Beton: Specificatie, eigenschappen, vervaardiging en conformiteit.

Rekenwaarde van de betonsterkte. Voor alle betonklassen wordt een materiaalfactor van γc=1.5 gebruikt. De basisrekenwaarde van de druksterkte wordt verkregen door de karakteristieke sterkte fck te delen door 1.5. Voor klassen tot en met C50/60 wordt bovendien αc=1.00 gebruikt; voor klassen C55/67 en hoger wordt αc=0.95 gebruikt.

fcd = fck / 1.5

Parameters van het betonspanningsblok. Voor de klassen C8/10-C50/60 gebruikt de berekening εcu=3.5‰, ω=0.810 en k2=0.416. Voor beton met een hogere sterkte worden deze parameters verlaagd:

• C55/67: εcu=3.2‰, ω=0.754, k2=0.403.
• C60/75: εcu=3.0‰, ω=0.694, k2=0.380.
• C70/85: εcu=2.8‰, ω=0.642, k2=0.371.
• C80/95: εcu=2.8‰, ω=0.605, k2=0.366.
• C90/105: εcu=2.8‰, ω=0.590, k2=0.366.

Treksterkte van beton. Voor de berekening van de minimale wapening worden waarden van fctm gebruikt die afhankelijk zijn van de betonklasse. Voor C8/10-C25/30 zijn de waarden respectievelijk 1.2, 1.6, 1.9, 2.2 en 2.6 MPa; voor C30/37-C50/60 zijn dit 2.9, 3.2, 3.5, 3.8 en 4.1 MPa; en voor C55/67-C90/105 zijn dit 4.2, 4.4, 4.6, 4.8 en 5.0 MPa.

Wapeningsstaal. Voor B500A, B500B en B500C wordt de karakteristieke vloeigrens genomen als fyk=500 MPa, de materiaalfactor als γs=1.15 en de elasticiteitsmodulus als Es=200000 MPa. De resulterende rekenwaarde van de vloeigrens bedraagt daarom fyd=434.783 MPa.

Betondekking en effectieve hoogte

Betondekking. Bij de vereenvoudigde keuze op basis van de blootstellingsomstandigheden gebruikt de calculator 20 mm voor een binnenomgeving met normale luchtvochtigheid, 25 mm voor een binnenomgeving met verhoogde luchtvochtigheid, 30 mm voor buitenblootstelling en 40 mm bij contact met grond.

Milieuklassen. De calculator gebruikt de volgende vaste waarden: X0 = 20 mm; XC1 = 30 mm; XC2, XC3, XC4 = 35 mm; XD1, XD2, XD3 = 50 mm; XA1 = 25 mm; XA2 = 30 mm; XA3 = 40 mm; XF = 40 mm; XS = 50 mm.

Effectieve hoogte. De berekening wordt uitgevoerd tot het hart van de langswapening. Nadat de staafdiameter is bepaald, wordt de effectieve hoogte daarom verkregen door van de totale hoogte de betondekking en de halve staafdiameter af te trekken.

d = h - z1 - φ1/2

Voor de tweede wapeningslaag wordt de positie van het hart van de staven op dezelfde manier bepaald:

d2 = z2 + φ2/2

Iteratieve herberekening. De staafdiameter beïnvloedt de effectieve hoogte, terwijl de effectieve hoogte de vereiste wapeningsoppervlakte beïnvloedt. De berekening begint daarom met een aangenomen diameter van 12 mm, selecteert vervolgens een diameter, berekent de effectieve hoogte opnieuw en herhaalt het proces. Er worden maximaal 12 iteraties uitgevoerd.

Vereiste oppervlakte van de hoofdwapening

Genormaliseerd buigend moment. Nadat het ontwerpmoment is bepaald, wordt een dimensieloze parameter berekend die de benutting van de betondoorsnede beschrijft:

αm = MEd / (αc · fcd · b · d2)

De interne berekening wordt alleen voortgezet zolang de waarde binnen het geldige bereik van het toegepaste model blijft. De grensvoorwaarde is αm / (ω/k2) ≤ 0.25.

Inwendige hefboomarm. Voor een geldige doorsnede wordt de coëfficiënt ζ bepaald:

ζ = 0.5 + √(0.25 - αm / (ω/k2))

De berekende oppervlakte van de trekwapening wordt vervolgens bepaald uit het evenwicht van het buigend moment:

As,calc = MEd / (fyd · ζ · d)

Minimale wapening. Tegelijkertijd wordt de minimale oppervlakte van de langswapening berekend. De grootste van de twee normgerelateerde uitdrukkingen wordt gebruikt:

As,min = max(0.26 · fctm/fyk; 0.0013) · b · d

Uiteindelijke eis. De hoofdwapening moet zowel aan de berekening voor buiging als aan de eis voor minimale wapening voldoen.

As,req = max(As,calc; As,min)

Wanneer de tweede wapeningslaag wordt berekend

Grens van enkelvoudig gewapend gedrag. Als de extra wapeningslaag is ingeschakeld, bepaalt de calculator de grens waarboven een deel van de belastingwerking aan de tweede groep staven wordt toegewezen. Voor B500-staal bedraagt de rekenrek bij vloeien ongeveer 2.174‰.

ξlim = εcu / (εcu + 2.174)

αm,lim = ω · ξlim · (1 - k2 · ξlim)

Als αm ≤ αm,lim, is geen aanvullende berekende wapening nodig. Als de grens wordt overschreden en de tweede laag is ingeschakeld, wordt de vereiste oppervlakte ervan berekend.

Coëfficiënt van de tweede laag. Voor deze berekeningstak wordt een getabelleerde relatie tussen de coëfficiënt ξ en αm gebruikt. De waarde wordt geïnterpoleerd binnen het bereik van 0.04 tot 0.40. De verhouding d2/d wordt beperkt tot het bereik 0.04-0.16.

Een aanvullende coëfficiënt hangt af van de staalklasse: voor B500A wordt 3 gebruikt, voor B500B 5 en voor B500C 10. De resulterende waarde wordt begrensd op maximaal 1.

ks = min((ξ - d2/d) · kclass; 1)

Oppervlakte van de aanvullende wapening. De tweede wapeningslaag neemt het deel van het moment boven de grens voor enkelvoudige wapening op. De oppervlakte ervan mag eveneens niet kleiner zijn dan de berekende As,min.

As2 = max(As,min; (MEd - Mlim) / (ks · fyd · (d-d2)))

Bij een eenvoudig opgelegde balk onder de hier beschouwde belastingen bevindt de hoofdtrekwapening zich onder in de doorsnede. Bij een uitkragende balk bevindt de hoofdwapening zich bovenin.

Selectie van de diameter van de wapeningsstaven

Standaardreeks van diameters. Nadat de vereiste wapeningsoppervlakte is bepaald, geeft de calculator geen willekeurige staafdiameter terug. De volgende diameters worden achtereenvolgens gecontroleerd: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 32, 36 en 40 mm.

Voor elke diameter wordt de totale doorsnede van het opgegeven aantal staven berekend:

As,prov = n · π · φ2 / 4

Selectieprincipe. De eerste diameter in de reeks waarvoor de aanwezige wapeningsoppervlakte niet kleiner is dan de vereiste oppervlakte wordt geselecteerd. Het resultaat wordt daarom altijd naar boven afgerond naar de eerstvolgende beschikbare diameter. Als zelfs staven van 40 mm met het gekozen aantal staven onvoldoende oppervlakte leveren, geeft de calculator aan dat het aantal staven moet worden verhoogd.

Plaatsing van de wapening in de doorsnede

Minimale vrije afstand. Nadat de diameter is geselecteerd, controleert de calculator of alle staven binnen de breedte van de balk passen. De vrije afstand tussen aangrenzende staven wordt genomen als minimaal 20 mm en tegelijkertijd minimaal gelijk aan de staafdiameter.

aclear = max(20 mm; φ)

Vereiste breedte. Bij de controle wordt rekening gehouden met de betondekking aan beide zijden, de diameters van alle staven en de vrije ruimten ertussen.

breq = 2z + nφ + (n-1) · aclear

De wapening wordt alleen geacht te passen wanneer breq ≤ b. De hoofdwapening en aanvullende wapeningslaag worden afzonderlijk gecontroleerd.

Maximale wapening. Voor elke geselecteerde groep staven wordt een bovengrens gebruikt die gelijk is aan 4% van de volledige betondoorsnede.

As,max = 0.04 · b · h

Buigweerstand

Aanwezige wapening. Nadat de staafdiameter is geselecteerd, wordt de berekening herhaald met de werkelijk aanwezige wapeningsoppervlakte. De calculator bepaalt het grootste buigende moment MRd dat deze wapening binnen het toegepaste rekenmodel kan weerstaan.

Numerieke zoekmethode. De waarde van MRd wordt gevonden door het zoekinterval herhaaldelijk te halveren. Er worden maximaal 80 iteraties uitgevoerd, zodat het resultaat praktisch onafhankelijk is van een handmatig gekozen zoekstap.

Benuttingsgraad. Het uiteindelijke percentage is de verhouding tussen het ontwerpbuigend moment en de berekende buigweerstand.

ηM = MEd / MRd · 100%

Een waarde tot 100% betekent dat de gekozen langswapening aan de buigcontrole voldoet. Een waarde boven 100% betekent dat de berekende buigweerstand wordt overschreden.

Dwarskrachtcontrole

Langswapeningsverhouding. Voor de dwarskrachtcontrole wordt de werkelijk aanwezige oppervlakte van de hoofdlangswapening gebruikt. De wapeningsverhouding wordt begrensd op een maximale waarde van 0.02.

ρl = min(0.02; Asl / (b · d))

Schaalfactor. De effectieve hoogte d wordt gebruikt in millimeters:

k = min(2; 1 + √(200/d))

Dwarskrachtweerstand van het beton. Er wordt een coëfficiënt van CRd,c=0.12 gebruikt. De calculator bepaalt de hoofdwaarde van de weerstand en de minimale grenswaarde en gebruikt vervolgens de grootste van beide.

vRd,c,1 = 0.12 · k · (100 · ρl · fck)1/3

vmin = 0.035 · k3/2 · √fck

VRd,c = max(vRd,c,1; vmin) · b · d

De bijdrage van de longitudinale drukspanning wordt bij deze controle gelijk aan nul genomen. De benutting van de dwarskrachtweerstand wordt afzonderlijk van de buigweerstand beoordeeld.

ηV = VEd / VRd,c · 100%

Veelgestelde vragen

Waarom beïnvloedt het eigengewicht van de balk het resultaat, ook als de externe belasting niet verandert?

Het eigengewicht van de balk wordt berekend uit de breedte en hoogte van de doorsnede en automatisch bij de aangebrachte belasting opgeteld. Grotere balkafmetingen kunnen daarom de draagkracht verhogen, maar verhogen tegelijkertijd ook de verdeelde belasting die op de balk werkt.

Waarom kiest de calculator een andere staafdiameter wanneer het aantal wapeningsstaven verandert?

De vereiste wapeningsoppervlakte wordt verdeeld over het opgegeven aantal staven. Met meer staven kan de vereiste oppervlakte soms met een kleinere diameter worden bereikt, maar de calculator controleert ook of de volledige groep binnen de balkbreedte past met de vereiste vrije afstanden.

Waarom leidt het inschakelen van aanvullende wapening niet altijd tot een tweede wapeningslaag?

De tweede wapeningslaag wordt alleen gebruikt wanneer de berekende grens voor enkelvoudig gewapend gedrag wordt overschreden. Als de hoofdwapening binnen het toegepaste model de vereiste weerstand kan leveren, blijft de vereiste aanvullende wapeningsoppervlakte nul.

Wat betekent een benuttingsgraad van 70% of 110%?

Het percentage is de verhouding tussen de ontwerpbelastingwerking en de berekende weerstand. Zo betekent 70% dat ongeveer zeven tiende van de beschikbare weerstand wordt benut, terwijl 110% betekent dat de berekende weerstand met ongeveer een tiende wordt overschreden.

Waarom kan de buigcontrole voldoen terwijl de dwarskrachtcontrole niet voldoet?

Dit zijn onafhankelijke controles. De buigweerstand wordt beoordeeld aan de hand van het buigende moment en de langswapening, terwijl de dwarskrachtweerstand afhankelijk is van het beton, de effectieve hoogte en de langswapeningsverhouding. Daardoor kunnen de benuttingspercentages aanzienlijk verschillen.