Over de berekening van doorbuiging van balk
De resultaten zijn benaderend. Controleer de berekeningen vóór gebruik aan de hand van de geldende normen en raadpleeg een specialist. De ontwikkelaar is niet verantwoordelijk voor de gevolgen van gebruik zonder projectverificatie.
De calculator voor doorbuiging en balksterkte berekent de doorbuiging en sterkte van een stalen balk onder een statische gelijkmatig verdeelde belasting of puntbelasting. Op basis van de afmetingen van de doorsnede bepaalt de calculator eerst de geometrische doorsnede-eigenschappen, waarna het eigengewicht van de balk wordt meegenomen en het maximale buigmoment, de dwarskracht, de doorbuiging, de normaalspanning en de schuifspanning worden berekend.
De berekening geldt voor rechte stalen balken met een constante doorsnede, kleine vervormingen en lineair-elastisch materiaalgedrag. Bij een puntbelasting wordt de kracht bij balken die aan beide uiteinden zijn opgelegd in het midden van de overspanning aangebracht en bij een uitkragende balk aan het vrije uiteinde.
Richtwaarden en aanbevelingen
Rekenmodel
Doorbuiging van de balk. De berekening is gebaseerd op de klassieke balkbuigtheorie. Er wordt gerekend met een elasticiteitsmodulus van staal van E = 210000 MPa en het oppervlaktetraagheidsmoment I. Hoe groter het oppervlaktetraagheidsmoment, hoe kleiner de doorbuiging bij dezelfde overspanning en belasting.
Geometrie van de doorsnede. Uit de ingevoerde afmetingen worden het oppervlak van de doorsnede A in mm2, het oppervlaktetraagheidsmoment I in mm4, het elastisch weerstandsmoment W in mm3 en het statisch moment Q in mm3 berekend. De doorsnede wordt beschouwd als een geïdealiseerde geometrische vorm zonder afrondingsstralen of flenshellingen.
Het elastisch weerstandsmoment wordt bepaald uit de afstand tussen de neutrale as en het verst verwijderde punt van de doorsnede:
W = I / ymax
Bij een doorsnede die niet symmetrisch is ten opzichte van de buigas wordt eerst de positie van het zwaartepunt berekend. Voor een hoekprofiel gaat de berekening uit van buiging in het vlak dat overeenkomt met de in de calculator weergegeven oriëntatie.
Materiaal en staaleigenschappen
Elasticiteitsmodulus. Voor alle staalsoorten wordt E = 210000 MPa gebruikt. Deze waarde wordt toegepast bij de berekening van de doorbuiging van de balk en geeft de stijfheid van staal in het elastische gebied weer.
Dichtheid. Voor de berekening van de massa en het eigengewicht van de balk gebruikt de calculator een staaldichtheid van ρ = 7850 kg/m3 en een zwaartekrachtsversnelling van g = 9.80665 m/s2.
Vloeigrens. Voor staalsoorten S235, S275, S355 en S420 gebruikt de calculator respectievelijk fy = 235, 275, 355 en 420 MPa. Deze waarden worden gebruikt voor de spanningscontroles. Voor een specifiek staalproduct kan de werkelijke waarde van fy afhangen van de productdikte en de toepasselijke productnorm.
Belastingseenheden en eigengewicht
Verdeelde belasting. Deze kan worden ingevoerd in kg/m of kN/m. Een waarde in kg/m wordt behandeld als kgf/m en naar krachteenheden omgerekend met g = 9.80665 m/s2:
1 kgf/m = 0.00980665 kN/m
Puntbelasting. Deze kan worden ingevoerd in kg of kN. Een waarde in kilogram wordt behandeld als kilogramkracht:
1 kgf = 9.80665 N
Eigengewicht. Eerst wordt uit de ingevoerde afmetingen het doorsnedeoppervlak A berekend, daarna wordt de massa van de balk bepaald uit het volume en de staaldichtheid. Het eigengewicht wordt omgerekend naar een gelijkmatig verdeelde belasting over de volledige lengte van de balk:
qself = ρ · A · g
Bij een externe verdeelde belasting is de totale verdeelde belasting:
q = qext + qself
Wanneer een externe puntbelasting P werkt, blijft het eigengewicht van de balk als verdeelde belasting qself aanwezig. Het eigengewicht van de balk wordt daarom bij elke combinatie van oplegging en belasting meegenomen.
Buigmoment en dwarskracht
Inwendige krachten. Nadat de totale belasting is bepaald, berekent de calculator het maximale absolute buigmoment M en de maximale dwarskracht V. De formules zijn afhankelijk van de opleggingsconditie.
- Vrij opgelegd:
M = qL2/8 + PL/4, V = qL/2 + P/2.
- Ingeklemd-scharnierend:
M = qL2/8 + 3PL/16, V = 5qL/8 + 11P/16.
- Dubbel ingeklemd:
M = qL2/12 + PL/8, V = qL/2 + P/2.
- Uitkraging:
M = qL2/2 + PL, V = qL + P.
Hier is L de overspanning van de balk, q de totale gelijkmatig verdeelde belasting inclusief eigengewicht en P de externe puntbelasting. Bij een externe verdeelde belasting geldt P = 0.
Maximale doorbuiging van de balk
Vrij opgelegde balk. De maximale doorbuiging door een verdeelde belasting en een puntbelasting in het midden van de overspanning wordt met superpositie berekend:
d = 5qL4/(384EI) + PL3/(48EI)
Dubbel ingeklemde balk. Het inklemmen van beide uiteinden vermindert de doorbuiging aanzienlijk:
d = qL4/(384EI) + PL3/(192EI)
Uitkragende balk. De maximale doorbuiging treedt op aan het vrije uiteinde:
d = qL4/(8EI) + PL3/(3EI)
Ingeklemd-scharnierend opgelegde balk. De positie van de maximale doorbuiging hangt af van de verhouding tussen de verdeelde belasting en de puntbelasting. Bij uitsluitend een verdeelde belasting:
d = (39 + 55√33)qL4/(65536EI)
Bij uitsluitend een puntbelasting in het midden van de overspanning:
d = √5 · PL3/(240EI)
Wanneer een puntbelasting en het verdeelde eigengewicht gelijktijdig werken, worden hun doorbuigingslijnen bij elkaar opgeteld. Vervolgens wordt de maximale waarde langs de lengte van de balk bepaald, omdat de positie daarvan niet noodzakelijk in het midden van de overspanning ligt.
Hoe de doorbuigingsgrens wordt bepaald
Doorbuigingsgrens. De berekende doorbuiging van de balk wordt vergeleken met een grens uitgedrukt als L/n. Hoe groter de coëfficiënt n, hoe kleiner de toegestane doorbuiging:
dlim = L / n
Als de gebruiker geen eigen waarde voor n opgeeft, gebruikt de calculator een ingebouwde praktische richtwaarde op basis van de overspanning:
- voor L ≤ 1000 mm: n = 120;
- voor 1000 < L ≤ 3000 mm: n neemt lineair toe van 120 tot 150;
- voor 3000 < L ≤ 6000 mm: n neemt lineair toe van 150 tot 200;
- voor 6000 < L ≤ 24000 mm: n neemt lineair toe van 200 tot 250;
- voor 24000 < L ≤ 36000 mm: n neemt lineair toe van 250 tot 300;
- voor L > 36000 mm: n = 300.
Binnen elk tussenliggend bereik verandert n niet sprongsgewijs, maar wordt de waarde lineair geïnterpoleerd tussen de aangegeven grenswaarden. Bij een overspanning van 4000 mm is bijvoorbeeld n ≈ 166.7 en bedraagt de doorbuigingsgrens ongeveer 24 mm. Als de gebruiker een eigen L/n-waarde opgeeft, vervangt deze de automatische richtwaarde.
Sterktecontrole
Normaalspanning. De maximale buigspanning wordt berekend uit het maximale buigmoment en het elastisch weerstandsmoment:
σ = M / W
De sterktevoorwaarde is:
σ ≤ fy / γM0
De calculator gebruikt γM0 = 1.0. Voor staalsoort S235 wordt de berekende normaalspanning bijvoorbeeld vergeleken met 235 MPa.
Schuifspanning. Deze wordt berekend uit de maximale dwarskracht V, het statisch moment Q, het oppervlaktetraagheidsmoment I en de relevante materiaalbreedte b:
τ = V · Q / (I · b)
De bijbehorende grenswaarde is:
τlim = fy / (√3 · γM0)
Bij γM0 = 1.0 komt dit overeen met ongeveer 135.7 MPa voor S235, 158.8 MPa voor S275, 205.0 MPa voor S355 en 242.5 MPa voor S420. Normaalspanning en schuifspanning worden afzonderlijk aan hun respectieve grenswaarden getoetst.
Hoe het resultaat moet worden geïnterpreteerd
Stijfheid. De berekende doorbuiging van de balk wordt vergeleken met dlim. Als d ≤ dlim, voldoet de gekozen balk aan het gehanteerde doorbuigingscriterium. Als de berekende doorbuiging de grens overschrijdt, is een stijvere combinatie van overspanning en doorsnede nodig of moet een andere voorgeschreven L/n-waarde worden toegepast.
Balksterkte. Normaalspanning en schuifspanning worden afzonderlijk aan hun grenswaarden getoetst. Wanneer aan een voorwaarde wordt voldaan, toont de calculator ook de reserve in procenten, berekend uit de verhouding tussen de grensspanning en de berekende spanning:
reserve = (σlim/σ - 1) · 100%
Voor schuifspanning wordt hetzelfde principe toegepast met τ en τlim.
Gerelateerde Europese normen
EN 1990 "Eurocode - Grondslagen van het constructief ontwerp". Deze norm legt de algemene uitgangspunten voor constructief ontwerp vast, waaronder controles van de uiterste grenstoestand en de bruikbaarheidsgrenstoestand. De toegestane doorbuiging hangt af van het beoogde gebruik van de constructie en de toepasselijke bruikbaarheidscriteria, daarom gebruikt de calculator de ingebouwde L/n-schaal als praktische richtwaarde.
EN 1991 "Eurocode 1 - Belastingen op constructies". Deze reeks normen beschrijft de uitgangspunten voor het bepalen van belastingen en andere invloeden op constructies. De belasting die bij de berekening van de balk wordt gebruikt, moet overeenkomen met de relevante belastingssituatie.
EN 1993-1-1 "Eurocode 3 - Ontwerp en berekening van staalconstructies - Deel 1-1: Algemene regels en regels voor gebouwen". Deze norm heeft betrekking op de staaleigenschappen die bij de sterktecontroles worden gebruikt, de weerstand van de doorsnede en de factor γM0. De calculator gebruikt γM0 = 1.0.
EN 10025-2 "Warmgewalste producten van constructiestaal - Deel 2: Technische leveringsvoorwaarden voor ongelegeerd constructiestaal". Deze norm specificeert de mechanische eigenschappen van veelgebruikte constructiestalen. De nominale waarden van fy die de calculator gebruikt voor S235, S275, S355 en S420 moeten worden beoordeeld in combinatie met de werkelijke dikte en het type staalproduct.
FAQs
Waarom kan een balk wel voldoen aan de sterktecontrole maar niet aan de doorbuigingscontrole?
Sterkte en stijfheid zijn verschillende criteria. De buigspanning hangt voornamelijk af van de verhouding M/W, terwijl de doorbuiging van een balk daarnaast zeer gevoelig is voor de overspanning en het oppervlaktetraagheidsmoment I. Een stalen balk kan daarom voldoende sterk zijn en toch meer doorbuigen dan de gehanteerde grens.
Waarom heeft de hoogte van de doorsnede zo veel invloed op de doorbuiging van de balk?
Voor een rechthoekige doorsnede geldt I = bh3/12, waardoor de hoogte van de doorsnede tot de derde macht in de formule voorkomt. Zelfs een beperkte toename van de hoogte kan de stijfheid aanzienlijk vergroten en de doorbuiging verminderen. De breedte heeft eveneens invloed op het resultaat, maar voor deze doorsnedevorm is die invloed lineair.
Waarom wordt het eigengewicht meegenomen als de externe belasting veel groter is?
Het eigengewicht werkt continu over de volledige lengte van de balk en veroorzaakt extra buigmoment en doorbuiging. Bij een zware doorsnede of een grote overspanning kan deze bijdrage aanzienlijk worden. De calculator bepaalt het eigengewicht automatisch uit het doorsnedeoppervlak, de staaldichtheid van 7850 kg/m3 en de lengte van de balk.
Hoe kies ik de doorbuigingsgrens L/n?
Als geen afzonderlijk criterium is voorgeschreven, kan de automatische waarde van de calculator voor doorbuiging en balksterkte als praktische richtwaarde worden gebruikt. Deze varieert geleidelijk van ongeveer L/120 voor korte balken tot L/300 voor grote overspanningen. Als voor de constructie een specifieke grens zoals L/250 of L/300 is vastgesteld, voer dan de bijbehorende waarde van n in. Hoe groter n, hoe strenger de doorbuigingsgrens.
Waarom kunnen berekende doorsnede-eigenschappen enigszins afwijken van tabellen voor staalprofielen?
De calculator bepaalt A, I en W rechtstreeks uit de ingevoerde afmetingen van een geïdealiseerde doorsnede. Werkelijke gewalste profielen kunnen afrondingsstralen, vormdetails en productiematen bevatten die in de getabelleerde doorsnede-eigenschappen zijn verwerkt. Daardoor kan ook bij dezelfde hoofdafmetingen een kleine afwijking ten opzichte van cataloguswaarden optreden.