Traagheidsmoment berekenen

Over de berekening van traagheidsmoment

De calculator bepaalt de geometrische eigenschappen van een doorsnede: oppervlakte A, traagheidsmomenten I, weerstandsmomenten W en traagheidsstralen i. Deze waarden worden gebruikt bij sterkte- en doorbuigingscontroles van balken, kolommen en vergelijkbare elementen en voor het kiezen of vergelijken van doorsnedevormen.

De berekening wordt uitgevoerd voor gangbare doorsnedevormen die met lineaire afmetingen worden gedefinieerd. De resultaten hebben betrekking op assen die door het zwaartepunt van de doorsnede lopen, tenzij anders vermeld.

Richtlijnen en aanbevelingen

Wat wordt berekend en in welke eenheden

Doorsnede-oppervlakte A wordt uit de lineaire afmetingen berekend en geeft de hoeveelheid materiaal in de doorsnede weer. Eenheden: mm² (of gelijkwaardig na conversie).

Tweede momenten van oppervlakte I_x en I_y beschrijven hoe het oppervlak over de x- en y-as is verdeeld en worden gebruikt in berekeningen van doorbuiging en knik. Eenheden: mm⁴.

Weerstandsmomenten W_x en W_y worden gebruikt om het buigend moment te koppelen aan de maximale buigspanning. Eenheden: mm³.

Traagheidsstralen i_x en i_y worden gebruikt bij stabiliteitscontroles van staven, bijvoorbeeld voor slankheid. Eenheden: mm.

Basisrelaties die in de berekening worden gebruikt

Van tweede moment van oppervlakte naar traagheidsstraal gebruikt de calculator de definitie van de traagheidsstraal.

ix = √( Ix / A ), iy = √( Iy / A )

Weerstandsmoment wordt berekend als de verhouding van het tweede moment van oppervlakte tot de afstand van de neutrale as tot de meest afgelegen vezel.

Wx = Ix / ymax, Wy = Iy / xmax

Hier zijn y_max en x_max de maximale afstanden van de as tot de uiterste punten van de doorsnede in de betreffende richting. Voor symmetrische vormen is dit meestal de halve hoogte of breedte. Voor niet-symmetrische vormen kunnen de afstanden tot de boven- en onderrand verschillen en worden de overeenkomstige uiterste afstanden gebruikt.

Hoe tweede momenten van oppervlakte voor samengestelde doorsneden worden berekend

Samengestelde doorsnede (bijvoorbeeld een I-profiel, U-profiel, hoekprofiel of hol profiel) wordt voorgesteld als som en verschil van eenvoudige vormen. Voor elk deel bepaalt de calculator eerst het oppervlak A_k, de ligging van het zwaartepunt en de eigen tweede momenten van oppervlakte ten opzichte van assen door het zwaartepunt van dat deel.

Overdracht naar de gemeenschappelijke assen gebeurt met de parallelle-asstelling.

Ix = Σ( Ix,k + Ak·Δyk2 ), Iy = Σ( Iy,k + Ak·Δxk2 )

Hier zijn Δx_k en Δy_k de verschuivingen van het zwaartepunt van het deel ten opzichte van het totale zwaartepunt van de doorsnede. Gaten en uitsparingen worden als “negatieve” delen behandeld, wat betekent dat hun oppervlakken en momenten worden afgetrokken.

Typische formules voor basisvormen

Rechthoek (breedte b, hoogte h) wordt berekend met standaarduitdrukkingen rond de zwaartepuntassen.

A = b·h, Ix = b·h3/12, Iy = h·b3/12

Cirkel (diameter d) wordt berekend met standaarduitdrukkingen rond elke diameter door het middelpunt.

A = π·d2/4, Ix = Iy = π·d4/64

Ronde holle doorsnede (buitendiameter D, wanddikte t) wordt berekend als het verschil van twee cirkels. De binnendiameter d wordt genomen als d = D − 2t (mits D > 2t).

A = π·(D2 − d2)/4, Ix = Iy = π·(D4 − d4)/64

Hoe de eindwaarde wordt gekozen wanneer er meerdere assen en uiterste afstanden zijn

Afzonderlijke assen worden afzonderlijk beoordeeld: I_x, W_x, i_x horen bij buiging en stabiliteit om de x-as, en I_y, W_y, i_y bij de y-as.

Minimumwaarden kunnen als “ongunstigste geval” voor stabiliteit worden getoond, vooral bij niet-symmetrische doorsneden. Een gebruikelijke aanpak is i_min = min(i_x, i_y) en I_min = min(I_x, I_y).

Praktische richtlijnen voor het gebruik van de resultaten

Buiging en spanning worden vaak beoordeeld met het weerstandsmoment. Bij hetzelfde buigend moment geeft een groter W lagere buigspanningen.

Doorbuiging is gevoelig voor het tweede moment van oppervlakte. Bij hetzelfde materiaal en dezelfde overspanningscondities is de doorbuiging omgekeerd evenredig met I. Het vergroten van de hoogte van de doorsnede vergroot I_x meestal veel sterker dan het vergroten van de breedte.

Stabiliteit van staven wordt vaak gekoppeld aan traagheidsstraal en slankheid. Een veelgebruikte relatie gebruikt de verhouding L/i, waarbij een kleinere i een kritischer geval geeft.

Verwijzing naar EU-normen

EN 1993-1-1 (Eurocode 3) gebruikt geometrische eigenschappen (oppervlakte, tweede momenten van oppervlakte, traagheidsstralen, weerstandsmomenten) bij het ontwerp van stalen elementen.

EN 1995-1-1 (Eurocode 5) gebruikt dezelfde eigenschappen voor houten elementen in sterkte- en bruikbaarheidscontroles.

EN 1999-1-1 (Eurocode 9) gebruikt op vergelijkbare wijze doorsnede-eigenschappen voor aluminium constructies.

In deze documenten worden de geometrische formules doorgaans als standaardachtergrond beschouwd en worden de berekende eigenschappen vervolgens gebruikt in sterkte- en stabiliteitscontroles.

FAQs

Wat is het verschil tussen het tweede moment van oppervlakte en het weerstandsmoment

Het tweede moment van oppervlakte I beschrijft de verdeling van het oppervlak en beïnvloedt rechtstreeks stijfheid en doorbuiging. Het weerstandsmoment W houdt ook rekening met de afstand tot de uiterste vezels en is daarom handig om buigspanning te schatten. Bij een niet-symmetrische doorsnede kan W voor verschillende zijden verschillen.

Waarom heeft één doorsnede verschillende waarden om de x- en y-as

Een doorsnede kan in de ene richting stijf zijn en in de andere richting flexibel. Een hoge smalle vorm heeft bijvoorbeeld meestal een groot I_x en een klein I_y. Daarom worden buig- en knikcontroles afzonderlijk voor elke as uitgevoerd.

Hoe worden holtes in een hol profiel of gaten in een doorsnede verwerkt

Een holte wordt verwerkt door de binnenvorm van de buitenvorm af te trekken. Het binnenoppervlak en de tweede momenten van oppervlakte worden met een negatief teken genomen, omdat daar geen materiaal is. Voor een ronde holle doorsnede moet aan de voorwaarde D > 2t worden voldaan.

Kun je verschillende doorsnedevormen alleen op basis van het oppervlak vergelijken

Het oppervlak geeft de massa aan bij dezelfde materiaaldichtheid, maar het geeft geen stijfheid of buigweerstand weer. Twee doorsneden met hetzelfde oppervlak kunnen heel verschillende waarden van I en W hebben. Voor balken in buiging is het gebruikelijk om W voor spanning en I voor doorbuiging te vergelijken.

Welke resultaten worden het vaakst gebruikt voor de stabiliteit van kolommen

Vaak kijkt men naar de traagheidsstralen en neemt men de kleinste i, omdat die de meest kritische slankheid geeft. Dit is vooral belangrijk bij samengestelde en niet-symmetrische doorsneden. De ontwerpcontrole houdt vervolgens rekening met effectieve lengte, opleggingen en de toepasselijke Eurocode-regels.