Beregning av armering betong bjelke

Om beregning av armering for betongbjelke

Den nettbaserte kalkulatoren for armeringsberegning av betongbjelke beregner armering, styrke og bæreevne for en rektangulær armert betongbjelke med enkle opplager eller som utkraget bjelke. Basert på angitt belastning, spenn, tverrsnittsdimensjoner, betongklasse og armeringsparametere bestemmer kalkulatoren bøyemoment, tverrkraft, nødvendig armeringsareal, passende stangdiameter og utnyttelsesgrad. Disse verdiene er sentrale ved vurdering av styrke, defleksjon og nedbøyning for en armert betongbjelke.

Beregningen utføres trinnvis. Først kombineres den påførte belastningen med bjelkens egenvekt, deretter bestemmes indre krefter, effektiv høyde og nødvendig armeringsareal. Etter at en standard stangdiameter er valgt, kontrollerer kalkulatoren tverrsnittsgeometrien på nytt, verifiserer at armeringsstengene får plass i bjelken og vurderer kapasiteten for bøyning og tverrkraft.

Veiledende verdier og anbefalinger

Beregningsrekkefølge

Belastninger og enheter. Tverrsnittsdimensjonene og bjelkelengden angis i millimeter. Før den konstruktive beregningen omregnes lengden til meter. En fordelt belastning brukes i kN/m og en punktlast i kN. Hvis belastningen angis i kg/m eller kg, omregner kalkulatoren den til kraft ved hjelp av tyngdeakselerasjonen 9.81 m/s2.

q = qkg · 9.81 / 1000

P = Pkg · 9.81 / 1000

Egenvekt. Egenvekten beregnes automatisk ut fra de faktiske tverrsnittsdimensjonene. Tettheten for armert betong settes til 2500 kg/m3.

g = b · h · 2500 · 9.81 / 109

I denne formelen angis b og h i mm, og resultatet g fås i kN/m. Ved fordelt belastning legges egenvekten til den ytre belastningen.

Bøyemoment og tverrkraft

Fritt opplagt bjelke. For en jevnt fordelt belastning over hele spennet brukes standarduttrykkene for maksimalt bøyemoment midt i spennet og opplagerreaksjonen.

MEd = (q + g) · L2 / 8

VEd = (q + g) · L / 2

Utkraget bjelke. For en jevnt fordelt belastning opptrer de største indre kreftene ved innspenningen.

MEd = (q + g) · L2 / 2

VEd = (q + g) · L

Punktlast. For en fritt opplagt bjelke antas punktlasten å virke midt i spennet. For en utkraget bjelke antas den å virke ved den frie enden. Bjelkens egenvekt forblir en jevnt fordelt belastning.

MEd = g · L2 / 8 + P · L / 4

MEd,c = g · L2 / 2 + P · L

Lastfaktorer. Kalkulatoren bruker ikke de partielle faktorene γG og γQ i tillegg på den angitte ytre belastningen. Hvis det er nødvendig med en dimensjonerende lastkombinasjon, må denne fastsettes før belastningen legges inn i kalkulatoren.

Betong og armeringsstål

Normgrunnlag. Beregningsrelasjonene følger prinsippene i EN 1992-1-1, Eurokode 2: Prosjektering av betongkonstruksjoner. Del 1-1: Allmenne regler og regler for bygninger. Relaterte dokumenter for laster er EN 1990, Eurokode: Grunnlag for prosjektering av konstruksjoner, og EN 1991-1-1, Eurokode 1: Laster på konstruksjoner. Del 1-1: Allmenne laster, tettheter, egenvekt og nyttelaster for bygninger. Eksponeringsklassene for betong er knyttet til EN 206, Betong: Spesifikasjon, egenskaper, framstilling og samsvar.

Dimensjonerende betongfasthet. For alle betongklasser brukes en materialfaktor på γc=1.5. Den grunnleggende dimensjonerende trykkfastheten fås ved å dele den karakteristiske fastheten fck på 1.5. For klasser til og med C50/60 brukes i tillegg αc=1.00; for C55/67 og høyere brukes αc=0.95.

fcd = fck / 1.5

Parametere for betongens spenningsblokk. For klassene C8/10-C50/60 bruker beregningen εcu=3.5‰, ω=0.810 og k2=0.416. For betong med høyere fasthet reduseres disse parameterne:

• C55/67: εcu=3.2‰, ω=0.754, k2=0.403.
• C60/75: εcu=3.0‰, ω=0.694, k2=0.380.
• C70/85: εcu=2.8‰, ω=0.642, k2=0.371.
• C80/95: εcu=2.8‰, ω=0.605, k2=0.366.
• C90/105: εcu=2.8‰, ω=0.590, k2=0.366.

Betongens strekkfasthet. Beregningen av minimumsarmering bruker verdier for fctm som avhenger av betongklassen. For C8/10-C25/30 er verdiene henholdsvis 1.2, 1.6, 1.9, 2.2 og 2.6 MPa; for C30/37-C50/60 er de 2.9, 3.2, 3.5, 3.8 og 4.1 MPa; og for C55/67-C90/105 er de 4.2, 4.4, 4.6, 4.8 og 5.0 MPa.

Armeringsstål. For B500A, B500B og B500C settes den karakteristiske flytegrensen til fyk=500 MPa, materialfaktoren til γs=1.15 og elastisitetsmodulen til Es=200000 MPa. Den dimensjonerende flytegrensen blir dermed fyd=434.783 MPa.

Betongoverdekning og effektiv høyde

Betongoverdekning. Ved forenklet valg etter eksponeringsforhold bruker kalkulatoren 20 mm for innendørs miljø med normal luftfuktighet, 25 mm for innendørs miljø med høyere luftfuktighet, 30 mm for utendørs eksponering og 40 mm ved kontakt med jord.

Eksponeringsklasser. Kalkulatoren bruker følgende faste verdier: X0 = 20 mm; XC1 = 30 mm; XC2, XC3, XC4 = 35 mm; XD1, XD2, XD3 = 50 mm; XA1 = 25 mm; XA2 = 30 mm; XA3 = 40 mm; XF = 40 mm; XS = 50 mm.

Effektiv høyde. Beregningen utføres fram til sentrum av den langsgående armeringsstangen. Etter at stangdiameteren er bestemt, fås derfor den effektive høyden ved å trekke betongoverdekningen og halve stangdiameteren fra totalhøyden.

d = h - z1 - φ1/2

For det andre armeringslaget bestemmes plasseringen av stangsenteret på samme måte:

d2 = z2 + φ2/2

Iterativ omberegning. Stangdiameteren påvirker den effektive høyden, mens den effektive høyden påvirker det nødvendige armeringsarealet. Beregningen starter derfor med en antatt diameter på 12 mm, velger deretter en diameter, beregner den effektive høyden på nytt og gjentar prosessen. Det utføres opptil 12 iterasjoner.

Nødvendig areal for hovedarmeringen

Normalisert bøyemoment. Etter at dimensjonerende moment er bestemt, beregnes en dimensjonsløs parameter som beskriver utnyttelsen av betongtverrsnittet:

αm = MEd / (αc · fcd · b · d2)

Den interne beregningen fortsetter bare så lenge verdien ligger innenfor gyldighetsområdet til den valgte modellen. Grensebetingelsen er αm / (ω/k2) ≤ 0.25.

Indre momentarm. For et gyldig tverrsnitt bestemmes koeffisienten ζ:

ζ = 0.5 + √(0.25 - αm / (ω/k2))

Det beregnede arealet av strekkarmeringen bestemmes deretter fra likevekt for bøyemomentet:

As,calc = MEd / (fyd · ζ · d)

Minimumsarmering. Samtidig beregnes minimumsarealet for langsgående armering. Den største av de to normbaserte uttrykkene brukes:

As,min = max(0.26 · fctm/fyk; 0.0013) · b · d

Endelig krav. Hovedarmeringen må oppfylle både bøyningsberegningen og kravet til minimumsarmering.

As,req = max(As,calc; As,min)

Når det andre armeringslaget beregnes

Grense for enkeltarmert virkemåte. Hvis det ekstra armeringslaget er aktivert, bestemmer kalkulatoren grensen der en del av belastningsvirkningen må overføres til den andre gruppen med stenger. For B500-stål er dimensjonerende flytetøyning omtrent 2.174‰.

ξlim = εcu / (εcu + 2.174)

αm,lim = ω · ξlim · (1 - k2 · ξlim)

Hvis αm ≤ αm,lim, er det ikke nødvendig med ekstra beregnet armering. Hvis grensen overskrides og det andre laget er aktivert, beregnes det nødvendige arealet.

Koeffisient for det andre laget. For denne delen av beregningen brukes en tabellbasert sammenheng mellom koeffisienten ξ og αm. Verdien interpoleres innenfor området 0.04 til 0.40. Forholdet d2/d begrenses til området 0.04-0.16.

En ekstra koeffisient avhenger av stålklassen: 3 brukes for B500A, 5 for B500B og 10 for B500C. Den resulterende verdien begrenses til maksimalt 1.

ks = min((ξ - d2/d) · kclass; 1)

Ekstra armeringsareal. Det andre armeringslaget tar opp den delen av momentet som ligger over grensen for enkeltarmert tverrsnitt. Arealet kan heller ikke være mindre enn beregnet As,min.

As2 = max(As,min; (MEd - Mlim) / (ks · fyd · (d-d2)))

For en fritt opplagt bjelke under belastningene som behandles her, ligger hovedstrekkarmeringen nederst i tverrsnittet. For en utkraget bjelke ligger hovedarmeringen øverst.

Valg av diameter på armeringsstenger

Standard diameterserie. Etter at nødvendig armeringsareal er bestemt, returnerer kalkulatoren ikke en vilkårlig stangdiameter. Den kontrollerer følgende diametre i rekkefølge: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 32, 36 og 40 mm.

For hver diameter beregnes det totale tverrsnittsarealet for det angitte antallet stenger:

As,prov = n · π · φ2 / 4

Valgprinsipp. Den første diameteren i serien der det tilgjengelige armeringsarealet ikke er mindre enn det nødvendige arealet, velges. Resultatet rundes derfor alltid opp til neste tilgjengelige diameter. Hvis selv 40 mm stenger ikke gir tilstrekkelig areal med valgt antall stenger, angir kalkulatoren at antallet stenger må økes.

Plassering av armeringen i tverrsnittet

Minste fri avstand. Etter at diameteren er valgt, kontrollerer kalkulatoren om alle stengene får plass innenfor bjelkebredden. Fri avstand mellom nabostenger settes til minst 20 mm og samtidig minst lik stangdiameteren.

aclear = max(20 mm; φ)

Nødvendig bredde. Kontrollen inkluderer betongoverdekning på begge sider, diameteren til alle stengene og de frie avstandene mellom dem.

breq = 2z + nφ + (n-1) · aclear

Armeringen anses å få plass bare når breq ≤ b. Hovedarmeringen og det ekstra armeringslaget kontrolleres separat.

Maksimal armering. For hver valgt stanggruppe brukes en øvre grense på 4% av hele betongtverrsnittets areal.

As,max = 0.04 · b · h

Bøyekapasitet

Faktisk armering. Etter at stangdiameteren er valgt, gjentas beregningen med det faktiske armeringsarealet. Kalkulatoren bestemmer det største bøyemomentet MRd som denne armeringen kan motstå innenfor den valgte beregningsmodellen.

Numerisk søk. Verdien MRd bestemmes ved gjentatt halvering av søkeintervallet. Det utføres opptil 80 iterasjoner, slik at resultatet i praksis er uavhengig av et manuelt valgt søketrinn.

Utnyttelsesgrad. Den endelige prosentverdien er forholdet mellom dimensjonerende bøyemoment og beregnet bøyekapasitet.

ηM = MEd / MRd · 100%

En verdi på opptil 100% betyr at den valgte langsgående armeringen består kontrollen for bøyning. En verdi over 100% betyr at den beregnede bøyekapasiteten er overskredet.

Kontroll av tverrkraft

Langsgående armeringsgrad. Ved kontroll av tverrkraft brukes det faktiske arealet av hovedarmeringen i lengderetningen. Armeringsgraden begrenses til en maksimal verdi på 0.02.

ρl = min(0.02; Asl / (b · d))

Størrelsesfaktor. Den effektive høyden d brukes i millimeter:

k = min(2; 1 + √(200/d))

Betongens tverrkraftkapasitet. Det brukes en koeffisient på CRd,c=0.12. Kalkulatoren bestemmer hovedverdien for kapasiteten og minimumsgrensen, og bruker deretter den største av de to.

vRd,c,1 = 0.12 · k · (100 · ρl · fck)1/3

vmin = 0.035 · k3/2 · √fck

VRd,c = max(vRd,c,1; vmin) · b · d

Bidraget fra langsgående trykkspenning settes lik null i denne kontrollen. Utnyttelsen av tverrkraftkapasiteten vurderes separat fra bøyekapasiteten.

ηV = VEd / VRd,c · 100%

Vanlige spørsmål

Hvorfor påvirker bjelkens egenvekt resultatet selv om den ytre belastningen ikke endres?

Bjelkens egenvekt beregnes ut fra tverrsnittets bredde og høyde og legges automatisk til den påførte belastningen. Større bjelkedimensjoner kan derfor øke bæreevnen, men samtidig øker også den fordelte belastningen som virker på bjelken.

Hvorfor velger kalkulatoren en annen stangdiameter når antallet armeringsstenger endres?

Det nødvendige armeringsarealet fordeles på det angitte antallet stenger. Et større antall stenger kan gi det nødvendige arealet med mindre diameter, men kalkulatoren kontrollerer også at hele gruppen får plass innenfor bjelkebredden med nødvendig fri avstand.

Hvorfor fører aktivering av ekstra armering ikke alltid til et andre armeringslag?

Det andre armeringslaget brukes bare når den beregnede grensen for enkeltarmert virkemåte overskrides. Hvis hovedarmeringen kan gi nødvendig kapasitet innenfor den valgte modellen, forblir det nødvendige ekstra armeringsarealet lik null.

Hva betyr en utnyttelsesgrad på 70% eller 110%?

Prosentverdien er forholdet mellom dimensjonerende belastningsvirkning og beregnet kapasitet. For eksempel betyr 70% at omtrent sju tideler av den tilgjengelige kapasiteten utnyttes, mens 110% betyr at den beregnede kapasiteten overskrides med omtrent en tidel.

Hvorfor kan kontrollen for bøyning være tilfredsstilt mens kontrollen for tverrkraft ikke er det?

Dette er uavhengige kontroller. Bøyekapasiteten vurderes ut fra bøyemomentet og den langsgående armeringen, mens tverrkraftkapasiteten avhenger av betongen, den effektive høyden og den langsgående armeringsgraden. Utnyttelsesgradene kan derfor være vesentlig forskjellige.