Kalkulator wyboczenia słupa

Metoda obliczania wyboczenia słupa

Kalkulator wyboczenia słupa pozwala ocenić wytrzymałość, stateczność i nośność osiową słupów stalowych, drewnianych i żelbetowych poddanych ściskaniu osiowemu. W przypadku słupów żelbetowych obliczenia uwzględniają również nośność przekroju na zginanie.

Obliczenia określają nośność słupa w kN, sprawdzają wytrzymałość i stateczność na wyboczenie oraz wskazują najbardziej niekorzystny kierunek utraty stateczności. Metoda uwzględnia właściwości materiału, geometrię przekroju, długość słupa i warunki podparcia jego końców.

Wartości orientacyjne i zalecenia

Ogólne zasady obliczania słupów

Charakterystyki geometryczne. Na podstawie wymiarów przekroju poprzecznego obliczane są pole powierzchni A w mm² oraz momenty bezwładności I_y i I_z w mm⁴. W przypadku przekrojów zamkniętych pole wewnętrznej pustej przestrzeni odejmuje się od pola zewnętrznego. Dla prostokątnych stalowych profili zamkniętych uwzględnia się zaokrąglenia naroży, natomiast dla kątowników wyznacza się główne osie bezwładności.

Promienie bezwładności względem obu osi oblicza się na podstawie pola przekroju i odpowiednich momentów bezwładności:

iy = √(Iy / A)

iz = √(Iz / A)

Długość wyboczeniowa. Uwzględnia wpływ zamocowania końców na wyboczenie słupa. Oblicza się ją według następującego wzoru:

Lcr = K × L

Gdzie L oznacza rzeczywistą długość słupa w metrach, a K jest współczynnikiem długości wyboczeniowej. Stosowane są następujące wartości:

• Podparcie przegubowe na obu końcach: K = 1.0.
• Utwierdzenie na jednym końcu i podparcie przegubowe na drugim: K = 0.7.
• Utwierdzenie na obu końcach: K = 0.5.
• Utwierdzenie na jednym końcu i drugi koniec swobodny: K = 2.0.

Smukłość geometryczna. Jest to stosunek długości wyboczeniowej do promienia bezwładności przekroju. Oblicza się ją oddzielnie dla każdego kierunku:

λ = Lcr / i

Podczas obliczania smukłości zarówno długość wyboczeniowa, jak i promień bezwładności są wyrażane w milimetrach. Większa smukłość zwiększa wpływ wyboczenia na nośność słupa. Nie istnieje jedna uniwersalna graniczna wartość smukłości odpowiednia dla wszystkich materiałów i przekrojów.

Obliczanie słupów stalowych według Eurokodu 3

Słupy stalowe oblicza się zgodnie z postanowieniami normy EN 1993-1-1 „Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych - Reguły ogólne i reguły dla budynków”.

Wytrzymałość stali. Nośność obliczeniowa jest określana na podstawie granicy plastyczności f_y. Dla grubości elementów do 16 mm stosuje się wartości 235 MPa dla S235, 275 MPa dla S275 i 355 MPa dla S355. Przy większych grubościach granica plastyczności maleje. Na przykład stal S355 o grubości powyżej 16 mm i nie większej niż 40 mm ma granicę plastyczności 345 MPa.

Przekrój jest najpierw klasyfikowany na podstawie stosunku szerokości do grubości lub średnicy do grubości jego elementów. Obliczenia wykonywane są dla przekrojów klasy 1, 2 i 3. Dla przekrojów klasy 4, które wymagają wyznaczenia efektywnego pola przekroju z uwzględnieniem miejscowej utraty stateczności, wynik nie jest podawany.

Nośność przekroju na ściskanie. Jest określana przez pomnożenie pola przekroju przez granicę plastyczności stali:

Nc,Rd = A × fy

Pole A jest wyrażane w mm², a granica plastyczności w MPa. Otrzymana siła jest wyrażona w niutonach i przeliczana na kN przez podzielenie przez 1000. W obliczeniach nośności stosowane są częściowe współczynniki bezpieczeństwa γ_M0 = 1.0 i γ_M1 = 1.0.

Siła krytyczna Eulera. Dla każdej osi głównej obliczana jest siła, przy której idealnie prosty słup może ulec wyboczeniu:

Ncr = π2 × E × I / Lcr2

Moduł sprężystości stali przyjmuje się jako E = 210000 MPa. Mniejszy moment bezwładności lub większa długość wyboczeniowa powodują zmniejszenie siły krytycznej.

Redukcja nośności. Krzywe wyboczeniowe a, b, c i d służą do uwzględnienia imperfekcji początkowych oraz właściwości profili stalowych. Odpowiadające im współczynniki imperfekcji α wynoszą odpowiednio 0.21, 0.34, 0.49 i 0.76.

Krzywa wyboczeniowa jest dobierana na podstawie kształtu przekroju, kierunku wyboczenia i sposobu produkcji. Dla profili zamkniętych wykończonych na gorąco zgodnie z EN 10210 stosuje się krzywą a, natomiast dla profili zamkniętych formowanych na zimno zgodnie z EN 10219 stosuje się krzywą c. W przypadku dwuteowników wybór zależy również od stosunku wysokości do szerokości, grubości półek i sposobu produkcji.

Smukłość względna oraz współczynnik redukcyjny wyboczenia χ są obliczane kolejno:

λrel = √(A × fy / Ncr)

Φ = 0.5 × [1 + α(λrel - 0.2) + λrel2]

χ = 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)]

Współczynnik χ jest ograniczony do maksymalnej wartości 1.0. Gdy smukłość względna nie przekracza 0.2, przyjmuje się χ = 1.0. Nośność na wyboczenie oblicza się następnie według wzoru:

Nb,Rd = χ × A × fy

Nośność przy wyboczeniu skrętnym. Dla przekrojów otwartych, w tym dwuteowników, ceowników i kątowników, dodatkowo analizuje się możliwość wyboczenia połączonego z obrotem przekroju poprzecznego. W obliczeniach wykorzystuje się stałą skręcania J, wycinkowy moment bezwładności I_w oraz moduł sprężystości poprzecznej G = E / 2.6, czyli około 80769 MPa. Długość wyboczeniowa przy skręcaniu jest przyjmowana jako nie mniejsza od rzeczywistej długości słupa.

Ostateczna nośność słupa stalowego na wyboczenie jest najmniejszą z wartości otrzymanych dla wyboczenia giętnego względem osi głównych oraz odpowiednich postaci wyboczenia skrętnego lub giętno-skrętnego.

Obliczanie słupów drewnianych według Eurokodu 5

Słupy drewniane oblicza się zgodnie z postanowieniami normy EN 1995-1-1 „Eurokod 5: Projektowanie konstrukcji drewnianych - Postanowienia ogólne - Reguły ogólne i reguły dotyczące budynków”. Właściwości drewna konstrukcyjnego są określane na podstawie klas wytrzymałości zdefiniowanych w normie EN 338.

Wytrzymałość drewna na ściskanie. Dla klas wytrzymałości C16, C18, C24 i C30 charakterystyczna wytrzymałość na ściskanie wzdłuż włókien f_c,0,k wynosi odpowiednio 17, 18, 21 i 23 MPa. Piąty percentyl modułu sprężystości E_0,05 przyjmuje wartości 5400, 6000, 7400 i 8000 MPa.

Wpływ warunków użytkowania. Wytrzymałość obliczeniowa drewna jest korygowana za pomocą współczynnika modyfikacyjnego k_mod, który uwzględnia warunki wilgotnościowe i czas trwania obciążenia. Dla obciążeń stałych, długotrwałych, średniotrwałych, krótkotrwałych i chwilowych stosuje się następujące wartości:

• Klasy użytkowania 1 i 2: 0.60, 0.70, 0.80, 0.90 i 1.10.
• Klasa użytkowania 3: 0.50, 0.55, 0.65, 0.70 i 0.90.

Wytrzymałość obliczeniową na ściskanie wyznacza się przy zastosowaniu częściowego współczynnika bezpieczeństwa materiału γ_M = 1.3:

fc,0,d = kmod × fc,0,k / 1.3

Nośność przekroju na ściskanie jest iloczynem jego pola i wytrzymałości obliczeniowej drewna na ściskanie:

Nc,Rd = A × fc,0,d

Wyboczenie słupa drewnianego. Smukłość względna jest obliczana dla każdej osi głównej z wykorzystaniem długości wyboczeniowej, promienia bezwładności i właściwości drewna:

λrel = Lcr / (π × i) × √(fc,0,k / E0,05)

Zmniejszenie nośności uwzględnia się za pomocą współczynnika wyboczeniowego k_c. Do jego wyznaczenia stosuje się współczynnik imperfekcji początkowych β_c = 0.2. Gdy smukłość względna nie przekracza 0.3, przyjmuje się k_c = 1.0. Przy większej smukłości stosuje się następujące zależności:

k = 0.5 × [1 + 0.2(λrel - 0.3) + λrel2]

kc = 1 / [k + √(k2 - λrel2)]

Nośność na wyboczenie oblicza się jako k_c × A × f_c,0,d. Obliczenia wykonuje się dla obu osi, a następnie wybiera się mniejszą wartość.

Obliczanie słupów żelbetowych według Eurokodu 2

Słupy żelbetowe są analizowane za pomocą modelu obliczeniowego opartego na normie EN 1992-1-1 „Eurokod 2: Projektowanie konstrukcji z betonu - Reguły ogólne i reguły dla budynków”. Sprawdzenie uwzględnia nośność betonu i zbrojenia, początkowy mimośród obciążenia osiowego oraz efekty drugiego rzędu.

Obliczeniowe właściwości materiałów. Dla klas wytrzymałości betonu od C20/25 do C90/105 wytrzymałość obliczeniową na ściskanie wyznacza się według wzoru:

fcd = 0.85 × fck / 1.5

Gdzie f_ck oznacza charakterystyczną wytrzymałość betonu na ściskanie określaną na próbkach walcowych, wyrażoną w MPa. Dla zbrojenia podłużnego B500 o granicy plastyczności 500 MPa i częściowym współczynniku bezpieczeństwa 1.15 obliczeniowa granica plastyczności wynosi:

fyd = 500 / 1.15 = 434.78 MPa

Pole zbrojenia. Oblicza się je na podstawie liczby i średnicy prętów podłużnych. W przekrojach prostokątnych pręty są rozmieszczone wzdłuż obwodu, natomiast w przekrojach kołowych są rozmieszczone na okręgu. Położenie ich środków określa się z uwzględnieniem otuliny betonowej i zbrojenia poprzecznego o średnicy 8 mm.

Minimalne pole zbrojenia podłużnego przyjmuje się jako nie mniejsze niż 0.2% pola przekroju betonu oraz 10% obliczeniowej siły osiowej podzielonej przez obliczeniową granicę plastyczności zbrojenia. Maksymalny stopień zbrojenia jest ograniczony do 4%. Sprawdzane są również odstępy między prętami i możliwość ich rozmieszczenia w zadanym przekroju.

Nośność przekroju. Dla betonu do klasy C50/60 stosuje się paraboliczno-prostokątny wykres zależności naprężenie-odkształcenie, z odkształceniem 2.0‰ przy maksymalnym naprężeniu i odkształceniem granicznym 3.5‰. Dla wyższych klas wytrzymałości betonu parametry wykresu zmieniają się w zależności od wytrzymałości betonu. Moduł sprężystości zbrojenia przyjmuje się jako 200000 MPa.

Na podstawie rozkładu odkształceń oblicza się siły w betonie i w każdym pręcie zbrojeniowym. Siły te służą do wyznaczenia par wartości siły osiowej N i nośności na zginanie M dla każdej osi głównej. W ten sposób powstaje wykres interakcji siły osiowej i momentu zginającego, wykorzystywany do określenia maksymalnego dopuszczalnego obciążenia.

Mimośród początkowy. Nawet przy ściskaniu osiowym uwzględnia się minimalne przesunięcie linii działania obciążenia względem środka przekroju poprzecznego:

emin = max(20 mm, h / 30)

Gdzie h oznacza wymiar przekroju poprzecznego w rozpatrywanym kierunku. Przy sprawdzaniu stateczności na wyboczenie dodatkowo uwzględnia się imperfekcję początkową równą L_cr / 400. Większa z tych wartości jest przyjmowana jako mimośród początkowy.

Efekty drugiego rzędu. Zwiększenie momentu zginającego spowodowane odkształceniem ściskanego słupa ocenia się metodą nominalnej krzywizny. Przyjmuje się współczynnik pełzania betonu φ = 2.0. Smukłość graniczna, po której przekroczeniu uwzględnia się dodatkowe zginanie, zależy od poziomu ściskania osiowego, ilości zbrojenia i pełzania.

W razie potrzeby dodatkowy mimośród oblicza się na podstawie kwadratu długości wyboczeniowej i krzywizny:

e2 = Lcr2 / 10 × fyd / (200000 × 0.45deff) × kr × kφ

Gdzie d_eff oznacza wysokość użyteczną zbrojenia, k_r uwzględnia poziom obciążenia osiowego, a k_φ uwzględnia pełzanie. Otrzymany mimośród zwiększa obliczeniowy moment zginający.

Wyznaczanie nośności. Dla różnych wartości siły osiowej sprawdza się, czy nośność przekroju na zginanie jest co najmniej równa momentowi wywołanemu przez tę siłę i odpowiadający jej mimośród:

MRd(N) ≥ N × e(N)

Maksymalną dopuszczalną siłę osiową wyznacza się oddzielnie dla obu kierunków głównych. W sprawdzeniu wytrzymałości uwzględnia się mimośród początkowy, natomiast w sprawdzeniu stateczności na wyboczenie dodatkowo bierze się pod uwagę efekty drugiego rzędu. Najmniejsza z obliczonych wartości jest przyjmowana jako nośność miarodajna.

Interpretacja wyników obliczeń

Stopień wykorzystania nośności. Wskazuje, jaki procent nośności obliczeniowej jest wykorzystywany przez przyłożone obciążenie osiowe N_Ed. Oblicza się go oddzielnie dla wytrzymałości i nośności na wyboczenie:

η = NEd / NRd × 100%

Wartość poniżej 100% oznacza, że odpowiedni warunek jest spełniony. Przy 100% obciążenie obliczeniowe jest równe obliczonej nośności. Wartość powyżej 100% oznacza niewystarczającą nośność w rozpatrywanym warunku.

Warunek miarodajny. Aby ogólna ocena była pozytywna, oba sprawdzenia muszą być spełnione. Jeśli wytrzymałość przekroju jest wystarczająca, ale nośność na wyboczenie jest niewystarczająca, słup nie spełnia wymagań obliczeniowych. W przypadku przekrojów o różnych właściwościach względem osi głównych o wyniku decyduje kierunek o mniejszej nośności.

FAQs

Dlaczego słup spełnia warunek wytrzymałości, ale nie spełnia warunku stateczności na wyboczenie?

Wytrzymałość określa zdolność materiału i przekroju do przenoszenia obciążenia ściskającego. Nośność na wyboczenie zależy również od długości słupa, warunków podparcia i sztywności przekroju. Dlatego długi i stosunkowo smukły słup może ulec wyboczeniu pod obciążeniem znacznie mniejszym niż granica wytrzymałości materiału.

Dlaczego słupy o takim samym polu przekroju mają różną nośność?

Jednakowe pole przekroju nie oznacza jednakowej sztywności. Materiał rozmieszczony dalej od środka przekroju może zapewniać większy moment bezwładności i lepszą odporność na wyboczenie giętne. Dlatego kształt przekroju i rozmieszczenie materiału mają istotny wpływ na obliczoną nośność słupa.

Jak bardzo warunki podparcia wpływają na nośność słupa na wyboczenie?

Warunki podparcia określają długość wyboczeniową, która we wzorze Eulera na siłę krytyczną występuje w mianowniku w drugiej potędze. Na przykład przy tej samej rzeczywistej długości zwiększenie współczynnika K z 1.0 do 2.0 powoduje czterokrotne zmniejszenie idealnej siły krytycznej. Rzeczywista obliczeniowa nośność na wyboczenie zależy również od właściwości materiału i odpowiedniej krzywej wyboczeniowej.

Dlaczego smukłości słupa nie można oceniać na podstawie jednej wartości granicznej?

Taka sama smukłość geometryczna nie oznacza jednakowego zapasu bezpieczeństwa przed wyboczeniem w przypadku stali, drewna i żelbetu. Każdy materiał ma inne właściwości odkształceniowe i własny model obliczeniowy. Dlatego kalkulator wykorzystuje smukłość jako charakterystykę pośrednią, natomiast końcowa ocena opiera się na stosunku przyłożonego obciążenia do obliczonej nośności.

Dlaczego przy obciążeniu osiowym słupów żelbetowych uwzględnia się również zginanie?

Nawet przy nominalnie osiowym ściskaniu uwzględnia się niewielkie imperfekcje geometryczne i odchylenia położenia obciążenia. Powodują one powstanie momentu zginającego, który może wzrastać wraz z odkształcaniem się słupa. Dlatego wyboczenie słupów żelbetowych ocenia się z uwzględnieniem mimośrodu i efektów drugiego rzędu, a nie wyłącznie na podstawie pola betonu i zbrojenia.