Calcolo trave in calcestruzzo armato

Metodo di calcolo della trave in calcestruzzo armato

Il calcolatore per travi in calcestruzzo armato esegue il calcolo dell'armatura, della resistenza e della capacità portante di una trave rettangolare in calcestruzzo con appoggi semplici oppure a mensola. In base ai carichi, alla luce, alle dimensioni della sezione, alla classe del calcestruzzo e ai parametri dell'armatura, determina il momento flettente, il taglio, la sezione di armatura necessaria, il diametro appropriato delle barre e il grado di utilizzo della resistenza. Questi valori sono tra i principali parametri utilizzati per valutare la resistenza e la deformazione di una trave in calcestruzzo armato.

Il calcolo viene eseguito per fasi. Innanzitutto il carico applicato viene combinato con il peso proprio della trave, quindi vengono determinate le sollecitazioni interne, l'altezza utile e l'area di armatura necessaria. Dopo la selezione di un diametro normalizzato delle barre, il calcolatore verifica nuovamente la geometria della sezione, controlla che le barre possano essere disposte nella trave e valuta la resistenza a flessione e a taglio.

Valori orientativi e raccomandazioni

Sequenza di calcolo

Carichi e unità. Le dimensioni della sezione e la lunghezza della trave vengono inserite in millimetri. Prima del calcolo strutturale, la lunghezza viene convertita in metri. Un carico distribuito è utilizzato in kN/m e un carico concentrato in kN. Se il carico viene inserito in kg/m o kg, il calcolatore lo converte in forza utilizzando un'accelerazione di gravità pari a 9.81 m/s2.

q = qkg · 9.81 / 1000

P = Pkg · 9.81 / 1000

Peso proprio. Il peso proprio viene calcolato automaticamente dalle dimensioni effettive della sezione. Per il calcestruzzo armato viene assunta una densità di 2500 kg/m3.

g = b · h · 2500 · 9.81 / 109

In questa formula, b e h sono espressi in mm e il valore risultante g è ottenuto in kN/m. In presenza di un carico distribuito, il peso proprio viene sommato al carico esterno.

Momento flettente e taglio

Trave semplicemente appoggiata. Per un carico uniformemente distribuito sull'intera luce vengono utilizzate le espressioni usuali per il momento flettente massimo a metà campata e per la reazione all'appoggio.

MEd = (q + g) · L2 / 8

VEd = (q + g) · L / 2

Trave a mensola. Con un carico uniformemente distribuito, le massime sollecitazioni interne si verificano in corrispondenza dell'incastro.

MEd = (q + g) · L2 / 2

VEd = (q + g) · L

Carico concentrato. Per una trave semplicemente appoggiata si assume che il carico concentrato agisca a metà luce. Per una mensola si assume che agisca all'estremità libera. Il peso proprio della trave rimane un carico uniformemente distribuito.

MEd = g · L2 / 8 + P · L / 4

MEd,c = g · L2 / 2 + P · L

Coefficienti di carico. Il calcolatore non applica ulteriormente i coefficienti parziali γG e γQ al carico esterno inserito. Se è necessaria una combinazione di carico di progetto, questa deve essere definita prima di inserire il carico nel calcolatore.

Calcestruzzo e acciaio d'armatura

Base normativa. Le relazioni di calcolo seguono gli approcci della EN 1992-1-1, Eurocodice 2: Progettazione delle strutture di calcestruzzo. Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici. I documenti correlati per le azioni sono la EN 1990, Eurocodice: Criteri generali di progettazione strutturale, e la EN 1991-1-1, Eurocodice 1: Azioni sulle strutture. Parte 1-1: Azioni in generale, pesi per unità di volume, pesi propri e sovraccarichi per gli edifici. Le classi di esposizione del calcestruzzo sono correlate alla EN 206, Calcestruzzo: Specificazione, prestazione, produzione e conformità.

Resistenza di progetto del calcestruzzo. Per tutte le classi di calcestruzzo viene utilizzato un coefficiente parziale del materiale pari a γc=1.5. La resistenza di progetto di base a compressione si ottiene dividendo la resistenza caratteristica fck per 1.5. Per le classi fino a C50/60 viene inoltre utilizzato αc=1.00; per le classi C55/67 e superiori viene utilizzato αc=0.95.

fcd = fck / 1.5

Parametri del blocco delle tensioni del calcestruzzo. Per le classi C8/10-C50/60, il calcolo utilizza εcu=3.5‰, ω=0.810 e k2=0.416. Per calcestruzzi di maggiore resistenza questi parametri vengono ridotti:

• C55/67: εcu=3.2‰, ω=0.754, k2=0.403.
• C60/75: εcu=3.0‰, ω=0.694, k2=0.380.
• C70/85: εcu=2.8‰, ω=0.642, k2=0.371.
• C80/95: εcu=2.8‰, ω=0.605, k2=0.366.
• C90/105: εcu=2.8‰, ω=0.590, k2=0.366.

Resistenza a trazione del calcestruzzo. Il calcolo dell'armatura minima utilizza valori di fctm dipendenti dalla classe del calcestruzzo. Per C8/10-C25/30 i valori sono rispettivamente 1.2, 1.6, 1.9, 2.2 e 2.6 MPa; per C30/37-C50/60 sono 2.9, 3.2, 3.5, 3.8 e 4.1 MPa; per C55/67-C90/105 sono 4.2, 4.4, 4.6, 4.8 e 5.0 MPa.

Acciaio d'armatura. Per B500A, B500B e B500C si assume una tensione caratteristica di snervamento pari a fyk=500 MPa, un coefficiente parziale del materiale pari a γs=1.15 e un modulo elastico pari a Es=200000 MPa. La tensione di snervamento di progetto risultante è quindi fyd=434.783 MPa.

Copriferro e altezza utile

Copriferro. Nella selezione semplificata in base alle condizioni di esposizione, il calcolatore utilizza 20 mm per un ambiente interno con umidità normale, 25 mm per un ambiente interno con umidità elevata, 30 mm per esposizione all'esterno e 40 mm per il contatto con il terreno.

Classi di esposizione. Il calcolatore utilizza i seguenti valori fissi: X0 = 20 mm; XC1 = 30 mm; XC2, XC3, XC4 = 35 mm; XD1, XD2, XD3 = 50 mm; XA1 = 25 mm; XA2 = 30 mm; XA3 = 40 mm; XF = 40 mm; XS = 50 mm.

Altezza utile. Il calcolo viene riferito al centro della barra di armatura longitudinale. Pertanto, dopo aver determinato il diametro della barra, l'altezza utile si ottiene sottraendo dall'altezza totale il copriferro e metà del diametro della barra.

d = h - z1 - φ1/2

Per il secondo strato di armatura, la posizione del centro delle barre viene determinata nello stesso modo:

d2 = z2 + φ2/2

Ricalcolo iterativo. Il diametro della barra influenza l'altezza utile, mentre l'altezza utile influenza l'area di armatura necessaria. Il calcolo inizia quindi con un diametro assunto di 12 mm, seleziona successivamente un diametro, ricalcola l'altezza utile e ripete il procedimento. Vengono eseguite al massimo 12 iterazioni.

Area necessaria dell'armatura principale

Momento flettente normalizzato. Dopo aver determinato il momento di progetto, viene calcolato un parametro adimensionale che descrive il livello di sollecitazione della sezione di calcestruzzo:

αm = MEd / (αc · fcd · b · d2)

Il calcolo interno prosegue soltanto finché il valore rimane nell'intervallo di validità del modello adottato. La condizione limite è αm / (ω/k2) ≤ 0.25.

Braccio interno delle forze. Per una sezione valida viene determinato il coefficiente ζ:

ζ = 0.5 + √(0.25 - αm / (ω/k2))

L'area calcolata dell'armatura tesa viene quindi determinata dall'equilibrio del momento flettente:

As,calc = MEd / (fyd · ζ · d)

Armatura minima. Contemporaneamente viene calcolata l'area minima dell'armatura longitudinale. Viene utilizzato il maggiore dei due valori derivanti dalle espressioni normative:

As,min = max(0.26 · fctm/fyk; 0.0013) · b · d

Requisito finale. L'armatura principale deve soddisfare sia il calcolo a flessione sia il requisito di armatura minima.

As,req = max(As,calc; As,min)

Quando viene calcolato il secondo strato di armatura

Limite del comportamento con armatura semplice. Se è attivato lo strato di armatura aggiuntivo, il calcolatore determina il limite oltre il quale una parte della sollecitazione viene assegnata al secondo gruppo di barre. Per l'acciaio B500, la deformazione di progetto allo snervamento è circa 2.174‰.

ξlim = εcu / (εcu + 2.174)

αm,lim = ω · ξlim · (1 - k2 · ξlim)

Se αm ≤ αm,lim, non è necessaria alcuna armatura aggiuntiva di calcolo. Se il limite viene superato e il secondo strato è attivato, viene calcolata la sua area necessaria.

Coefficiente del secondo strato. Per questo ramo del calcolo viene utilizzata una relazione tabellare tra il coefficiente ξ e αm. Il valore viene interpolato nell'intervallo da 0.04 a 0.40. Il rapporto d2/d è limitato all'intervallo 0.04-0.16.

Un coefficiente aggiuntivo dipende dalla classe dell'acciaio: viene utilizzato 3 per B500A, 5 per B500B e 10 per B500C. Il valore risultante è limitato a un massimo di 1.

ks = min((ξ - d2/d) · kclass; 1)

Area di armatura aggiuntiva. Il secondo strato di armatura assorbe la parte del momento superiore al limite dell'armatura semplice. La sua area non può inoltre essere inferiore al valore calcolato As,min.

As2 = max(As,min; (MEd - Mlim) / (ks · fyd · (d-d2)))

Per una trave semplicemente appoggiata soggetta ai carichi qui considerati, l'armatura principale tesa è situata nella parte inferiore della sezione. Per una mensola, l'armatura principale resistente è situata nella parte superiore.

Selezione del diametro delle barre d'armatura

Serie standard dei diametri. Dopo aver determinato l'area di armatura necessaria, il calcolatore non restituisce un diametro arbitrario. Controlla in sequenza i diametri 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 32, 36 e 40 mm.

Per ogni diametro viene calcolata l'area totale della sezione trasversale del numero specificato di barre:

As,prov = n · π · φ2 / 4

Principio di selezione. Viene scelto il primo diametro della serie per il quale l'area di armatura fornita non è inferiore all'area richiesta. Il risultato viene quindi sempre arrotondato verso l'alto al diametro disponibile successivo. Se nemmeno barre da 40 mm forniscono l'area richiesta con il numero di barre selezionato, il calcolatore indica che è necessario aumentare il numero di barre.

Disposizione dell'armatura nella sezione

Distanza libera minima. Dopo aver selezionato il diametro, il calcolatore verifica se tutte le barre possono essere disposte entro la larghezza della trave. La distanza libera tra barre adiacenti viene assunta non inferiore a 20 mm e, allo stesso tempo, non inferiore al diametro della barra.

aclear = max(20 mm; φ)

Larghezza necessaria. La verifica tiene conto del copriferro su entrambi i lati, dei diametri di tutte le barre e degli spazi liberi tra di esse.

breq = 2z + nφ + (n-1) · aclear

L'armatura è considerata correttamente alloggiata soltanto quando breq ≤ b. Gli strati di armatura principale e aggiuntiva vengono verificati separatamente.

Armatura massima. Per ogni gruppo di barre selezionato viene utilizzato un limite superiore pari al 4% dell'area totale della sezione di calcestruzzo.

As,max = 0.04 · b · h

Resistenza a flessione

Armatura effettivamente fornita. Dopo aver selezionato il diametro delle barre, il calcolo viene ripetuto utilizzando l'area effettiva di armatura fornita. Il calcolatore determina il massimo momento flettente MRd che questa armatura può resistere nell'ambito del modello di calcolo adottato.

Ricerca numerica. Il valore di MRd viene determinato dividendo ripetutamente a metà l'intervallo di ricerca. Vengono eseguite fino a 80 iterazioni, per cui il risultato è praticamente indipendente da qualsiasi incremento di ricerca scelto manualmente.

Grado di utilizzo della resistenza. La percentuale finale è il rapporto tra il momento flettente di progetto e la resistenza a flessione calcolata.

ηM = MEd / MRd · 100%

Un valore fino al 100% significa che l'armatura longitudinale selezionata soddisfa la verifica a flessione. Un valore superiore al 100% significa che la resistenza a flessione calcolata è stata superata.

Verifica a taglio

Rapporto di armatura longitudinale. La verifica a taglio utilizza l'area effettiva fornita dell'armatura longitudinale principale. Il rapporto di armatura è limitato a un valore massimo di 0.02.

ρl = min(0.02; Asl / (b · d))

Fattore dimensionale. L'altezza utile d viene utilizzata in millimetri:

k = min(2; 1 + √(200/d))

Resistenza a taglio del calcestruzzo. Viene utilizzato un coefficiente CRd,c=0.12. Il calcolatore determina il valore principale della resistenza e il limite minimo, quindi utilizza il maggiore dei due.

vRd,c,1 = 0.12 · k · (100 · ρl · fck)1/3

vmin = 0.035 · k3/2 · √fck

VRd,c = max(vRd,c,1; vmin) · b · d

Il contributo della tensione longitudinale di compressione viene assunto pari a zero in questa verifica. Il grado di utilizzo a taglio viene valutato separatamente dalla resistenza a flessione.

ηV = VEd / VRd,c · 100%

FAQs

Perché il peso proprio della trave influisce sul risultato anche se il carico esterno non cambia?

Il peso proprio della trave viene calcolato dalla larghezza e dall'altezza della sezione e viene aggiunto automaticamente al carico applicato. Aumentare le dimensioni della trave può quindi aumentarne la resistenza, ma aumenta anche il carico distribuito che agisce su di essa.

Perché il calcolatore seleziona un diametro diverso quando cambia il numero di barre?

L'area di armatura necessaria viene distribuita tra il numero specificato di barre. Un numero maggiore di barre può fornire l'area richiesta con un diametro inferiore, ma il calcolatore verifica anche che l'intero gruppo possa essere disposto entro la larghezza della trave rispettando le distanze libere richieste.

Perché l'attivazione dell'armatura aggiuntiva non comporta sempre un secondo strato di armatura?

Il secondo strato di armatura viene utilizzato solo quando viene superato il limite calcolato per il comportamento con armatura semplice. Se l'armatura principale può fornire la resistenza necessaria nell'ambito del modello adottato, l'area di armatura aggiuntiva richiesta rimane pari a zero.

Cosa significa un grado di utilizzo della resistenza del 70% o del 110%?

La percentuale rappresenta il rapporto tra la sollecitazione di progetto e la resistenza calcolata. Ad esempio, il 70% significa che viene utilizzato circa sette decimi della resistenza disponibile, mentre il 110% significa che la resistenza calcolata viene superata di circa un decimo.

Perché la verifica a flessione può essere soddisfatta mentre quella a taglio no?

Si tratta di verifiche indipendenti. La resistenza a flessione viene valutata in base al momento flettente e all'armatura longitudinale, mentre la resistenza a taglio dipende dal calcestruzzo, dall'altezza utile e dal rapporto di armatura longitudinale, quindi le percentuali di utilizzo possono differire sensibilmente.