Calcolo flessione trave

Metodo di calcolo della flessione della trave

Il calcolatore determina la flessione della trave e verifica la resistenza a flessione di una trave soggetta a carico uniformemente distribuito (kg/m o kN/m) oppure a forza concentrata (kg o kN). Il calcolo si basa sulle formule classiche della scienza delle costruzioni per lo schema di vincolo scelto e per la geometria della sezione.

È considerato anche il peso proprio della trave. Il risultato include la freccia calcolata d (mm), la freccia ammissibile d_lim (mm) e le verifiche di tensione (normale e di taglio). Per alcune sezioni a parete sottile vengono forniti anche controlli semplificati di anima e ala.

Riferimenti e raccomandazioni

Riferimento normativo segue la logica di calcolo utilizzata negli Eurocodici. Freccia e sollecitazioni interne sono ottenute con analisi elastica lineare. I riferimenti per materiali e verifiche sono coerenti con EN 1990 (basi), EN 1991 (azioni), EN 1993-1-1 (acciaio), EN 1995-1-1 (legno).

Unità e conversione dei carichi utilizzano l’accelerazione di gravità g = 9.80665. Si applicano le seguenti conversioni:

1 kN = 1000 N

1 kg ≈ 9.80665 N

Quindi, per convertire kg/m → kN/m si usa il fattore 9.80665 / 1000. Per la conversione inversa si usa 1000 / 9.80665.

Materiale definisce il modulo elastico E, la densità per il peso proprio e i valori di resistenza usati nelle verifiche.

• Acciaio (EN 1993-1-1). Modulo elastico: E = 200000 MPa. Densità: 7850 kg/m³. Resistenza usata come limite in questo calcolatore: S235 → 197 MPa, S275 → 231 MPa, S355 → 298 MPa, S420 → 353 MPa. Coefficiente a taglio: k_v = 0.58.
• Legno (EN 1995-1-1). Modulo elastico: E = 10000 MPa. Densità per il peso proprio: 700 kg/m³. Resistenza usata come limite: C16 → 8.62 MPa, C24 → 12.92 MPa, C30 → 16.15 MPa. Coefficiente a taglio: k_v = 0.10.

Peso proprio della trave viene sommato al carico esterno. Il carico lineare dovuto al peso proprio si ricava dall’area di sezione A e dalla densità ρ:

G = ρ · A · g

dove G è il carico distribuito del peso proprio (N/m), ρ è la densità (kg/m³), A è l’area (mm², convertita in m²) e g = 9.80665. Poi G viene convertito in kN/m o kg/m in base alle unità di uscita.

Proprietà della sezione vengono calcolate dalle dimensioni inserite. Nel calcolo si usano:

• A area (mm²).
• I momento d’inerzia rispetto all’asse di flessione (mm⁴).
• W modulo resistente (mm³), tipicamente W = I / y, dove y è la distanza dall’asse neutro alla fibra estrema (mm).

Schema di vincolo influenza il momento flettente massimo e la freccia tramite coefficienti. Per un carico distribuito q si usano i seguenti coefficienti numerici:

• Appoggio-appoggio: coefficiente di freccia k_f = 0.0130208333 (equivale a 5/384). Coefficiente di momento k_M = 0.125001 (≈ 1/8).
• Incastro-appoggio: k_f = 0.0054054054 (equivale a 1/185). k_M = 0.125 (equivale a 1/8).
• Incastro-incastro: k_f = 0.0026041667 (equivale a 1/384). k_M = 0.08333333 (equivale a 1/12).
• Mensola: k_f = 0.125 (equivale a 1/8). k_M = 0.5 (equivale a 1/2).

Sollecitazioni per carico distribuito si calcolano così:

Mmax = kM · q · L²

dove q è il carico lineare totale (kN/m o N/m) e L è la luce (m o mm, convertita in unità coerenti).

Freccia per carico distribuito si calcola così:

d = kf · q · L⁴ / (E · I)

dove E è il modulo elastico (MPa), I è il momento d’inerzia (mm⁴) e d si ottiene in mm dopo la conversione delle unità.

Forza concentrata viene calcolata con le formule tipiche per una forza applicata al centro. Per la freccia si usa il coefficiente k_p (invece di k_f), che dipende dallo schema di vincolo:

• Appoggio-appoggio: k_p = 0.020833 (equivale a 1/48).
• Incastro-appoggio: k_p = 0.00912.
• Incastro-incastro: k_p = 0.0052.
• Mensola: k_p = 0.3333333 (equivale a 1/3).

La freccia dovuta a una forza P (N o kN) si calcola quindi così:

d = kp · P · L³ / (E · I)

dove L è la lunghezza efficace per lo schema selezionato. Per una mensola, nella verifica di freccia ammissibile si usa una lunghezza aumentata: L_eff = 2 · L.

Freccia ammissibile è definita tramite il divisore n nella regola d_lim = L_eff / n. Il divisore n viene scelto automaticamente in base alla lunghezza (mm):

• L_eff ≤ 1000: n = 120.
• 1000 < L_eff ≤ 3000: n lineare da 120 a 150.
• 3000 < L_eff ≤ 6000: n lineare da 150 a 200.
• 6000 < L_eff ≤ 24000: n lineare da 200 a 250.
• 24000 < L_eff ≤ 36000: n lineare da 250 a 300.
• L_eff > 36000: n = 300.

Questa scelta corrisponde alla pratica comune di esercizio. Per solai residenziali e pubblici si usa spesso l’intervallo L/200…L/300. Per le mensole i limiti sono in genere più severi, quindi si applica L_eff = 2·L.

Verifica di tensione normale confronta la tensione calcolata con il valore ammissibile per il materiale e la classe selezionati:

σ = Mmax / W

dove σ è la tensione normale (MPa). Il criterio è: σ ≤ v, dove v è il valore di resistenza selezionato (MPa). Il margine viene mostrato in percentuale come v/σ − 1.

Verifica di tensione di taglio confronta la tensione di taglio τ con il limite v · k_v:

τ ≤ v · kv

dove per l’acciaio k_v = 0.58 e per il legno k_v = 0.10. Questo fornisce un limite numerico chiaro senza aggiungere complessità inutile.

Effetto combinato delle tensioni per alcune sezioni è stimato tramite una tensione equivalente e confrontato con la soglia 0.87 · v:

σeq ≤ 0.87 · v

Questo criterio è usato come verifica ingegneristica quando agiscono insieme tensioni normali e di taglio.

Verifiche semplificate di anima e ala per elementi a parete sottile usano criteri adimensionali. Per l’anima si usa il limite: λ ≤ 2.5. Per l’ala si confronta il rapporto reale con il limite:

w = 0.5 · √(206000 / v)

Se le condizioni non sono soddisfatte, una raccomandazione pratica è aumentare lo spessore o prevedere irrigidimenti.

FAQs

Perché la freccia e la freccia ammissibile si basano su lunghezze diverse per una mensola?

Nelle travi a mensola le deformazioni sono più evidenti e i criteri di esercizio sono spesso più severi. Per questo la verifica di freccia ammissibile usa L_eff = 2·L invece della sola lunghezza geometrica. Ciò rende il criterio più cautelativo a parità di luce.

Cosa è incluso nel carico lineare totale?

Il carico lineare totale q è la somma del carico esterno e del peso proprio della trave. Il peso proprio si calcola dalla densità del materiale e dall’area della sezione usando g = 9.80665. Di conseguenza, freccia e tensioni cambiano anche con lo stesso carico esterno se cambiano materiale o geometria.

Quali valori di resistenza vengono usati per acciaio e legno?

Per l’acciaio si usano livelli fissi (MPa): S235 → 197, S275 → 231, S355 → 298, S420 → 353. Per il legno: C16 → 8.62, C24 → 12.92, C30 → 16.15. Questi valori sono usati come limiti nella verifica di tensione normale.

Perché serve una verifica a taglio se è già presente una verifica a flessione?

La flessione governa le tensioni nelle fibre estreme, ma il taglio può essere critico vicino agli appoggi e in anime sottili. La verifica τ ≤ v·k_v aggiunge quindi un controllo del comportamento dell’anima e delle zone con elevate forze di taglio. Per l’acciaio si usa k_v = 0.58. Per il legno si usa k_v = 0.10.

Quali limiti di freccia sono comunemente usati in pratica?

Spesso si usa l’intervallo L/200…L/300 in funzione dell’uso e della sensibilità delle finiture. In questo calcolatore il divisore n varia da 120 a 300 con la lunghezza della trave, coprendo obiettivi comuni. Se è richiesto un controllo più severo, usare la parte alta dell’intervallo e applicare i limiti per mensole.