Kalkulator for knekking

Om beregning av knekking

Denne kalkulatoren for knekking i søyler beregner styrke, knekkmotstand og aksial bæreevne for søyler av tre, stål og armert betong som utsettes for aksial trykkbelastning. For søyler av armert betong tar beregningen også hensyn til tverrsnittets bøyemotstand.

Beregningen bestemmer søylens bæreevne i kN, vurderer styrke og knekkstabilitet og identifiserer den mest kritiske retningen for tap av stabilitet. Metoden tar hensyn til materialegenskaper, tverrsnittsgeometri, søylelengde og innspenningsforhold ved endene.

Veiledende verdier og anbefalinger

Generelle prinsipper for beregning av søyler

Geometriske egenskaper. Tverrsnittsdimensjonene brukes til å beregne arealet A i mm² og arealtreghetsmomentene I_y og I_z i mm⁴. For hule tverrsnitt trekkes arealet av det indre hulrommet fra det ytre arealet. Avrundede hjørner tas med i beregningen for rektangulære hule stålprofiler, mens hovedtreghetsaksene bestemmes for vinkelprofiler.

Treghetsradiene om de to aksene beregnes ut fra tverrsnittsarealet og de tilhørende arealtreghetsmomentene:

iy = √(Iy / A)

iz = √(Iz / A)

Effektiv knekklengde. Denne tar hensyn til hvordan fastholdingen ved søylens ender påvirker knekkingen. Den beregnes med følgende formel:

Lcr = K × L

Her er L søylens faktiske lengde i meter, og K er knekklengdefaktoren. Følgende verdier brukes:

• Leddlagret i begge ender: K = 1.0.
• Fast innspent i den ene enden og leddlagret i den andre: K = 0.7.
• Fast innspent i begge ender: K = 0.5.
• Fast innspent i den ene enden og fri i den andre: K = 2.0.

Geometrisk slankhet. Dette er forholdet mellom den effektive knekklengden og tverrsnittets treghetsradius. Slankheten beregnes separat for hver retning:

λ = Lcr / i

Ved beregning av slankhet uttrykkes både den effektive knekklengden og treghetsradiusen i millimeter. Høyere slankhet øker betydningen av knekking for bæreevnen. Det finnes ingen universell grenseverdi for slankhet som gjelder for alle materialer og tverrsnitt.

Beregning av stålsøyler etter Eurokode 3

Stålsøyler beregnes i henhold til bestemmelsene i EN 1993-1-1 «Eurokode 3: Prosjektering av stålkonstruksjoner - Allmenne regler og regler for bygninger».

Stålets styrke. Dimensjonerende motstand bestemmes ut fra flytegrensen f_y. For godstykkelser opptil 16 mm brukes verdiene 235 MPa for S235, 275 MPa for S275 og 355 MPa for S355. Flytegrensen reduseres ved større tykkelser. For eksempel har S355-stål med tykkelse over 16 mm og opptil 40 mm en flytegrense på 345 MPa.

Tverrsnittet klassifiseres først etter forholdet mellom bredde og tykkelse eller mellom diameter og tykkelse for de enkelte delene. Beregningene utføres for tverrsnittsklasse 1, 2 og 3. Det gis ikke noe resultat for tverrsnitt i klasse 4, som krever beregning av et effektivt areal med hensyn til lokal knekking.

Trykkmotstand i tverrsnittet. Denne bestemmes ved å multiplisere tverrsnittsarealet med stålets flytegrense:

Nc,Rd = A × fy

Arealet A uttrykkes i mm², og flytegrensen uttrykkes i MPa. Den resulterende kraften oppgis i newton og omregnes til kN ved å dividere med 1000. De partielle sikkerhetsfaktorene som brukes i beregningen av motstanden, er γ_M0 = 1.0 og γ_M1 = 1.0.

Eulers kritiske knekkraft. For hver hovedakse beregnes belastningen der en ideell, helt rett søyle kan knekke:

Ncr = π2 × E × I / Lcr2

Elastisitetsmodulen for stål settes til E = 210000 MPa. Et mindre arealtreghetsmoment eller en større effektiv knekklengde reduserer den kritiske knekkraften.

Reduksjon av bæreevnen. Knekkurvene a, b, c og d brukes for å ta hensyn til initiale imperfeksjoner og egenskapene til stålprofiler. De tilhørende imperfeksjonsfaktorene α er henholdsvis 0.21, 0.34, 0.49 og 0.76.

Knekkurven velges ut fra tverrsnittsformen, knekkretningen og produksjonsmetoden. Kurve a brukes for varmformede hulprofiler etter EN 10210, mens kurve c brukes for kaldformede hulprofiler etter EN 10219. For I-profiler avhenger valget også av forholdet mellom høyde og bredde, flenstykkelsen og produksjonsmetoden.

Relativ slankhet og reduksjonsfaktoren for knekking χ beregnes i følgende rekkefølge:

λrel = √(A × fy / Ncr)

Φ = 0.5 × [1 + α(λrel - 0.2) + λrel2]

χ = 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)]

Faktoren χ er begrenset til maksimalt 1.0. Når den relative slankheten ikke overstiger 0.2, brukes χ = 1.0. Knekkmotstanden beregnes deretter som:

Nb,Rd = χ × A × fy

Motstand mot torsjonsknekking. For åpne tverrsnitt, inkludert I-profiler, U-profiler og vinkelprofiler, vurderes også muligheten for knekking som medfører rotasjon av tverrsnittet. Beregningen bruker torsjonskonstanten J, hvelvingskonstanten I_w og skjærmodulen G = E / 2.6, omtrent 80769 MPa. Den effektive lengden for torsjon settes ikke lavere enn søylens faktiske lengde.

Den endelige knekkbæreevnen til en stålsøyle bestemmes som den laveste motstanden mot bøyningsknekking om hovedaksene og de tilsvarende formene for torsjonsknekking eller bøynings-torsjonsknekking.

Beregning av tresøyler etter Eurokode 5

Tresøyler beregnes i henhold til bestemmelsene i EN 1995-1-1 «Eurokode 5: Prosjektering av trekonstruksjoner - Allmenne regler og regler for bygninger». Egenskapene til konstruksjonsvirke bygger på fasthetsklassene definert i EN 338.

Trykkfasthet i trevirke. For fasthetsklassene C16, C18, C24 og C30 er den karakteristiske trykkfastheten parallelt med fiberretningen f_c,0,k henholdsvis 17, 18, 21 og 23 MPa. Elastisitetsmodulens femte persentil E_0,05 settes til 5400, 6000, 7400 og 8000 MPa.

Innvirkning fra bruksklima og belastningsvarighet. Dimensjonerende fasthet for trevirke justeres med modifikasjonsfaktoren k_mod, som tar hensyn til fuktighetsforhold og belastningens varighet. Følgende verdier brukes for permanente, langvarige, middels langvarige, kortvarige og øyeblikkelige belastninger:

• Klimaklasse 1 og 2: 0.60, 0.70, 0.80, 0.90 og 1.10.
• Klimaklasse 3: 0.50, 0.55, 0.65, 0.70 og 0.90.

Dimensjonerende trykkfasthet beregnes med den partielle materialfaktoren γ_M = 1.3:

fc,0,d = kmod × fc,0,k / 1.3

Tverrsnittets trykkmotstand er produktet av arealet og trevirkets dimensjonerende trykkfasthet:

Nc,Rd = A × fc,0,d

Knekking av tresøyler. Relativ slankhet beregnes for hver hovedakse ved hjelp av den effektive knekklengden, treghetsradiusen og trevirkets egenskaper:

λrel = Lcr / (π × i) × √(fc,0,k / E0,05)

Reduksjonen i motstand tas med ved hjelp av knekkfaktoren k_c. En initial imperfeksjonsfaktor β_c = 0.2 brukes for å bestemme denne faktoren. Når den relative slankheten ikke overstiger 0.3, brukes k_c = 1.0. Ved større slankhet gjelder følgende sammenhenger:

k = 0.5 × [1 + 0.2(λrel - 0.3) + λrel2]

kc = 1 / [k + √(k2 - λrel2)]

Knekkmotstanden beregnes som k_c × A × f_c,0,d. Beregningen utføres for begge aksene, og den laveste verdien velges.

Beregning av søyler i armert betong etter Eurokode 2

Søyler i armert betong vurderes ved hjelp av en beregningsmodell basert på EN 1992-1-1 «Eurokode 2: Prosjektering av betongkonstruksjoner - Allmenne regler og regler for bygninger». Kontrollen tar hensyn til motstanden i betong og armering, initial eksentrisitet for den aksiale belastningen og andreordenseffekter.

Dimensjonerende materialegenskaper. For betongfasthetsklasser fra C20/25 til C90/105 beregnes dimensjonerende trykkfasthet som:

fcd = 0.85 × fck / 1.5

Her er f_ck den karakteristiske sylindertrykkfastheten til betongen i MPa. For lengdearmering B500 med flytegrense på 500 MPa og en partiell sikkerhetsfaktor på 1.15 er dimensjonerende flytegrense:

fyd = 500 / 1.15 = 434.78 MPa

Armeringsareal. Dette beregnes ut fra antall og diameter på de langsgående armeringsstengene. I rektangulære tverrsnitt fordeles stengene langs omkretsen, mens de i sirkulære tverrsnitt fordeles langs en sirkel. Plasseringen av stengenes sentrum bestemmes med hensyn til betongoverdekningen og tverrarmering med diameter 8 mm.

Minste areal for lengdearmeringen settes til minst 0.2% av betongtverrsnittets areal og minst 10% av den dimensjonerende aksialkraften dividert med armeringens dimensjonerende flytegrense. Maksimal armeringsgrad begrenses til 4%. Avstanden mellom armeringsstengene og muligheten for å plassere dem innenfor det angitte tverrsnittet kontrolleres også.

Tverrsnittets motstand. For betong opptil C50/60 brukes et parabel-rektangel-spennings-tøyningsdiagram, med en tøyning på 2.0‰ ved maksimal spenning og en grensetøyning på 3.5‰. For høyere betongfasthetsklasser varierer diagramparameterne med betongens fasthet. Elastisitetsmodulen for armeringen settes til 200000 MPa.

Kreftene i betongen og i hver armeringsstang beregnes ut fra tøyningsfordelingen. Disse kreftene brukes til å bestemme par av verdier for aksialkraft N og bøyemotstand M for hver hovedakse. Dette gir et interaksjonsdiagram mellom aksialkraft og bøyemoment, som brukes til å fastsette den maksimalt tillatte belastningen.

Initial eksentrisitet. Selv ved aksial trykkbelastning tas det hensyn til en minste forskyvning av lastens virkelinje i forhold til tverrsnittets sentrum:

emin = max(20 mm, h / 30)

Her representerer h tverrsnittsdimensjonen i den aktuelle retningen. Ved kontroll av knekkstabilitet tas det i tillegg hensyn til en initial imperfeksjon på L_cr / 400. Den største av disse verdiene brukes som initial eksentrisitet.

Andreordenseffekter. Økningen i bøyemoment som skyldes deformasjon av den trykkbelastede søylen, vurderes ved hjelp av metoden med nominell krumning. Det forutsettes en kryptallsverdi for betong på φ = 2.0. Grenseslankheten, der ytterligere bøyning må tas med, avhenger av nivået på den aksiale trykkbelastningen, armeringsmengden og kryp.

Ved behov beregnes den ekstra eksentrisiteten ut fra kvadratet av den effektive knekklengden og krumningen:

e2 = Lcr2 / 10 × fyd / (200000 × 0.45deff) × kr × kφ

Her er d_eff armeringens effektive høyde, k_r tar hensyn til nivået på aksialbelastningen, og k_φ tar hensyn til kryp. Den resulterende eksentrisiteten øker det dimensjonerende bøyemomentet.

Bestemmelse av bæreevne. For ulike verdier av aksialkraften kontrolleres det om tverrsnittets bøyemotstand minst tilsvarer momentet som oppstår fra kraften og den tilhørende eksentrisiteten:

MRd(N) ≥ N × e(N)

Den maksimalt tillatte aksialkraften bestemmes separat for de to hovedretningene. Initial eksentrisitet tas med i styrkekontrollen, mens kontrollen av knekkstabilitet i tillegg omfatter andreordenseffekter. Den laveste av de beregnede verdiene brukes som dimensjonerende motstand.

Tolkning av beregningsresultatene

Utnyttelsesgrad. Denne viser hvor stor prosentandel av den dimensjonerende motstanden som utnyttes av den påførte aksialbelastningen N_Ed. Den beregnes separat for styrke og knekkmotstand:

η = NEd / NRd × 100%

En verdi under 100% betyr at den aktuelle kontrollen er oppfylt. Ved 100% er den dimensjonerende belastningen lik den beregnede motstanden. En verdi over 100% betyr at bæreevnen er utilstrekkelig for forholdet som kontrolleres.

Dimensjonerende forhold. Begge kontrollene må være oppfylt for at den samlede vurderingen skal være godkjent. Hvis tverrsnittets styrke er tilstrekkelig, men knekkmotstanden er utilstrekkelig, oppfyller ikke søylen beregningskravene. For tverrsnitt med ulike egenskaper om hovedaksene er retningen med lavest bæreevne dimensjonerende for resultatet.

FAQs

Hvorfor består en søyle styrkekontrollen, men ikke knekkontrollen?

Styrken beskriver materialets og tverrsnittets evne til å motstå en trykkbelastning. Knekkmotstanden avhenger i tillegg av søylelengden, innspenningsforholdene og tverrsnittets stivhet. Derfor kan en lang og relativt slank søyle knekke ved en belastning som er betydelig lavere enn materialets styrkegrense.

Hvorfor har søyler med samme tverrsnittsareal ulik bæreevne?

Lik tverrsnittsflate betyr ikke nødvendigvis lik stivhet. Materiale som er fordelt lenger fra tverrsnittets sentrum, kan gi et større arealtreghetsmoment og bedre motstand mot bøyningsknekking. Derfor har tverrsnittsformen og materialfordelingen stor betydning for den beregnede bæreevnen til en søyle.

Hvor mye påvirker innspenningsforholdene knekkmotstanden til en søyle?

Innspenningsforholdene bestemmer den effektive knekklengden, som inngår i andre potens i nevneren i Eulers formel for kritisk knekkraft. For eksempel vil en økning av faktoren K fra 1.0 til 2.0, ved samme faktiske lengde, redusere den ideelle kritiske knekkraften til en fjerdedel. Den faktiske dimensjonerende knekkmotstanden avhenger også av materialegenskapene og den aktuelle knekkurven.

Hvorfor kan ikke slankheten til en søyle vurderes ut fra én enkelt grenseverdi?

Samme geometriske slankhet betyr ikke samme sikkerhetsmargin mot knekking for stål, tre og armert betong. Hvert materiale har forskjellige deformasjonsegenskaper og en egen beregningsmodell. Derfor bruker kalkulatoren slankhet som en mellomliggende egenskap, mens den endelige vurderingen bygger på forholdet mellom den påførte belastningen og den beregnede motstanden.

Hvorfor tas det hensyn til bøyning i søyler av armert betong ved aksial belastning?

Selv ved nominelt sentrisk trykk tas det hensyn til små geometriske imperfeksjoner og avvik i belastningens plassering. Disse skaper et bøyemoment som kan øke etter hvert som søylen deformeres. Derfor vurderes knekking i søyler av armert betong med hensyn til eksentrisitet og andreordenseffekter, og ikke bare ut fra arealet av betong og armering.