Kalkulator for beregning av trebjelke

Om beregning av nedbøyning av trebjelke

Denne kalkulatoren for nedbøyning av trebjelke utfører beregning av en rektangulær trebjelke med hensyn til nedbøyning, bøyestyrke og skjærstyrke. Den nettbaserte kalkulatoren tar hensyn til tverrsnittsmål, spennlengde, fasthetsklasse for trevirket, opplagerforhold, jevnt fordelt eller konsentrert belastning samt bjelkens egenvekt.

Resultatene omfatter nedbøyning av trebjelken, tillatt nedbøyning, normal- og skjærspenninger, samt tverrsnittsareal, annet arealmoment, seksjonsmodul, bjelkemasse, belastning fra egenvekt, maksimalt bøyemoment og maksimal skjærkraft. Disse verdiene brukes til å vurdere styrke og bæreevne for trebjelker i blant annet tak- og gulvkonstruksjoner.

Veiledende verdier og anbefalinger

Standarder og egenskaper for trevirke

Europeiske standarder. Egenskapene til konstruksjonsvirke er basert på fasthetsklassene definert i EN 338 «Konstruksjonsvirke – Fasthetsklasser». Den generelle metoden for kontroll av trekonstruksjoner følger prinsippene i EN 1995-1-1 «Eurokode 5: Prosjektering av trekonstruksjoner – Del 1-1: Allmenne regler og regler for bygninger». Relaterte standarder for laster og dimensjonering etter grensetilstander er EN 1991 «Eurokode 1: Laster på konstruksjoner» og EN 1990 «Eurokode: Grunnlag for prosjektering av konstruksjoner».

Egenskaper for fasthetsklassene. For hver fasthetsklasse brukes egen middelverdi for elastisitetsmodul, middelverdi for densitet, karakteristisk bøyefasthet og karakteristisk skjærfasthet:

• C16: E0,mean = 8000 MPa, ρ = 370 kg/m3, fm,k = 16 MPa, fv,k = 3.2 MPa.
• C24: E0,mean = 11000 MPa, ρ = 420 kg/m3, fm,k = 24 MPa, fv,k = 4.0 MPa.
• C30: E0,mean = 12000 MPa, ρ = 460 kg/m3, fm,k = 30 MPa, fv,k = 4.0 MPa.

Dimensjonerende fasthet. Den karakteristiske fastheten omregnes til dimensjonerende fasthet etter den generelle sammenhengen i Eurokode 5:

fd = kmod·fk/γM

Kalkulatoren bruker faste verdier på kmod = 0.7 og γM = 1.3. Dette gir dimensjonerende bøyefasthet på 8.62 MPa for C16, 12.92 MPa for C24 og 16.15 MPa for C30. Tilsvarende dimensjonerende skjærfasthet er 1.72 MPa, 2.15 MPa og 2.15 MPa.

Modifikasjonsfaktor kmod. I EN 1995-1-1 avhenger denne faktoren av lastvarighetsklasse og bruksklasse for trevirket. Kalkulatoren varierer ikke faktoren automatisk, men bruker den faste verdien 0.7. Dette er en av de viktigste forutsetningene i beregningen.

Påført belastning. Kalkulatoren behandler belastningen som brukeren oppgir som en allerede fastsatt dimensjonerende last. Kombinasjonsfaktorer for laster etter EN 1990 og EN 1991 brukes ikke automatisk på den angitte verdien.

Tverrsnittsegenskaper for bjelken

Tverrsnittsareal. For en rektangulær bjelke med bredde t og høyde h beregnes arealet som:

A = t·h

Når dimensjonene oppgis i millimeter, blir arealet uttrykt i mm². Det brukes til å beregne bjelkens masse, egenvekt og skjærspenning.

Annet arealmoment. Bøyestivheten til det rektangulære tverrsnittet beskrives med:

I = t·h3/12

Verdien I uttrykkes i mm⁴ og påvirker bjelkens nedbøyning direkte. En økning av bjelkehøyden har derfor langt større virkning på stivheten enn den samme relative økningen av bredden.

Seksjonsmodul. Seksjonsmodulen som brukes ved kontroll av bøyespenningen er:

W = t·h2/6

Seksjonsmodulen uttrykkes i mm³ og knytter det maksimale bøyemomentet til spenningen i de ytterste trefibrene.

Første arealmoment. For maksimal skjærspenning i et rektangulært tverrsnitt bruker kalkulatoren:

Q = t·h2/8

Lastenheter og egenvekt

Omregning av belastning. Tyngdeakselerasjonen g = 9.80665 m/s2 brukes til å omregne verdier i kilogram til kraft. En fordelt belastning i kg/m omregnes til kraft per lengdeenhet, mens en konsentrert belastning i kg omregnes til newton. Verdier som oppgis direkte i kN/m eller kN behandles som kraftstørrelser.

Egenvekt. Massen per meter bestemmes ut fra tverrsnittsarealet og middelverdien for densiteten til den valgte fasthetsklassen. Den fordelte lasten fra egenvekten beregnes som:

qsw = ρ·A·g·10-9

Med A i mm² blir qsw uttrykt i kN/m. Egenvekten tas alltid med som en jevnt fordelt last, også når den viktigste ytre belastningen er konsentrert.

Bjelkens masse. For en bjelkelengde L i millimeter beregnes massen som:

m = ρ·A·L·10-9

Resultatet uttrykkes i kilogram.

Bøyemoment og skjærkraft

Total fordelt belastning. Ved en ytre fordelt belastning beregnes lastvirkningene med q = qext + qsw. Ved en ytre konsentrert kraft P består den fordelte komponenten q av bjelkens egenvekt.

Dimensjonerende lastvirkninger. I formlene nedenfor oppgis q i kN/m, P i kN og L i meter. Maksimalt bøyemoment fås i kN·m og maksimal skjærkraft i kN:

• Ledd-ledd: Mmax = q·L2/8 + P·L/4, Vmax = q·L/2 + P/2.
• Fast innspent-ledd: Mmax = q·L2/8 + 3·P·L/16, Vmax = 5·q·L/8 + 11·P/16.
• Fast innspent-fast innspent: Mmax = q·L2/12 + P·L/8, Vmax = q·L/2 + P/2.
• Konsoll: Mmax = q·L2/2 + P·L, Vmax = q·L + P.

For bjelker som er opplagret i begge ender, plasseres den konsentrerte kraften i den sentrale delen av spennet i samsvar med valgt beregningsskjema. For en konsoll påføres kraften i den frie enden. Bjelkens egenvekt virker langs hele lengden.

Beregning av nedbøyning

Bøyestivhet. Nedbøyningen bestemmes av produktet E·I: jo større elastisitetsmodulen til trevirket eller annet arealmoment for tverrsnittet er, desto mindre blir deformasjonen. I formlene for nedbøyning bruker kalkulatoren q i N/mm, P i N, L i mm, E i MPa og I i mm⁴, slik at resultatet fås direkte i millimeter.

Fritt opplagt bjelke. Nedbøyningen fra den fordelte og konsentrerte belastningen beregnes etter superposisjonsprinsippet:

f = 5·q·L4/(384·E·I) + P·L3/(48·E·I)

Bjelke fast innspent i begge ender. For en bjelke som er fast innspent i begge ender:

f = q·L4/(384·E·I) + P·L3/(192·E·I)

Konsollbjelke. For en fordelt belastning langs hele lengden og en kraft påført i den frie enden:

f = q·L4/(8·E·I) + P·L3/(3·E·I)

Fast innspent-ledd. For en fordelt belastning som virker alene, er koeffisienten for maksimal nedbøyning 0.00541612:

fq = 0.00541612·q·L4/(E·I)

For en konsentrert kraft som virker alene, er koeffisienten √5/240 ≈ 0.00931695:

fP = 0.00931695·P·L3/(E·I)

Når egenvekt og en konsentrert kraft virker samtidig, trenger ikke punktet med maksimal nedbøyning å ligge midt i spennet. For systemet fast innspent-ledd kombinerer kalkulatoren derfor de elastiske kurvene fra begge belastningene og finner den største absolutte nedbøyningen langs bjelken.

Tillatt nedbøyning

Nedbøyningskriterium. Den tillatte verdien defineres som spennlengden delt på en faktor n:

flim = L/n

Når faktoren velges automatisk, varierer den gradvis med spennlengden:

• opptil 1000 mm — n = 120;
• fra 1000 til 3000 mm — lineært fra 120 til 150;
• fra 3000 til 6000 mm — lineært fra 150 til 200;
• fra 6000 til 24000 mm — lineært fra 200 til 250;
• fra 24000 til 36000 mm — lineært fra 250 til 300;
• over 36000 mm — n = 300.

Den automatisk valgte verdien brukes som en praktisk veiledende grense for brukbarhet, ikke som en universell normgrense for alle konstruksjoner. Hvis et bestemt prosjektkrav er kjent, kan et eget forhold L/n angis; en større verdi for n reduserer tillatt nedbøyning og gjør kontrollen strengere.

Fasthetskontroller og vurdering av resultatet

Normalspenning. Maksimal bøyespenning beregnes fra seksjonsmodulen:

σm = Mmax/W

Kravet til bøyefasthet er oppfylt når:

σm ≤ fm,d

Skjærspenning. Maksimal skjærspenning bestemmes fra maksimal skjærkraft:

τ = Vmax·Q/(I·t)

For et rektangulært tverrsnitt er dette uttrykket ekvivalent med τ = 1.5·Vmax/A. Kravet til skjærfasthet er oppfylt når:

τ ≤ fv,d

Fasthetsreserve. Når en fasthetskontroll er oppfylt, viser den oppgitte reserven det relative forholdet mellom dimensjonerende fasthet og beregnet spenning:

Reserve = (fd/σ - 1)·100%

Ved kontroll av skjær brukes τ i stedet for σ og fv,d i stedet for fd. Nedbøyning, bøying og skjær kontrolleres uavhengig av hverandre: at ett krav er oppfylt kompenserer ikke for at et annet overskrides.

FAQs

Hvorfor bøyer den samme trebjelken i C24 seg mindre enn en bjelke i C16?

Fasthetsklassen påvirker ikke bare tillatt spenning, men også stivheten til trevirket. Kalkulatoren bruker E = 8000 MPa for C16 og 11000 MPa for C24, slik at en C24-bjelke får mindre beregnet nedbøyning ved samme tverrsnitt, spennlengde og belastning.

Hvorfor kan en trebjelke tilfredsstille styrkekravet, men ikke kravet til nedbøyning?

Styrke og stivhet beskriver ulike sider av bjelkens oppførsel. Bøyespenningen kan ligge godt under den dimensjonerende fastheten til trevirket, mens lav stivhet E·I over et langt spenn likevel kan gi for stor nedbøyning. For trebjelker kan nedbøyningen derfor bli dimensjonerende selv om bæreevnen er tilstrekkelig.

Hvorfor tas egenvekten med når hovedbelastningen er konsentrert?

En konsentrert kraft beskriver bare en ytre belastning som virker i ett punkt. Trebjelken har selv masse langs hele lengden, slik at egenvekten samtidig virker som en jevnt fordelt belastning qsw og bidrar til nedbøyning, bøyemoment og skjærkraft.

Hva betyr fasthetsreserven i resultatet?

Reserven viser hvor mye høyere den dimensjonerende fastheten for valgt fasthetsklasse er enn den beregnede spenningen, uttrykt relativt. En reserve på for eksempel 20% beskriver forholdet mellom dimensjonerende grense og aktuell spenning; det betyr ikke automatisk at den ytre belastningen kan økes med nøyaktig 20%, fordi bjelkens egenvekt også inngår i beregningen.

Hvordan velger jeg tillatt nedbøyning L/n?

Hvis det ikke finnes et bestemt krav, bruker kalkulatoren for nedbøyning av trebjelke en automatisk veiledende verdi basert på spennlengden. Hvis prosjektgrunnlaget, dimensjoneringskrav eller gjeldende regler angir en bestemt grense, bør en egendefinert verdi for L/n brukes. Jo større nevneren n er, desto strengere blir kravet til nedbøyning.