Ugięcie i wytrzymałość belki drewnianej

Metoda obliczania ugięcia i wytrzymałości belki drewnianej

Ten kalkulator ugięcia i wytrzymałości belki drewnianej wykonuje obliczenia prostokątnej belki pod kątem ugięcia, wytrzymałości na zginanie i wytrzymałości na ścinanie. Kalkulator uwzględnia wymiary przekroju, długość rozpiętości, klasę wytrzymałości drewna, sposób podparcia, obciążenie równomiernie rozłożone lub skupione oraz ciężar własny belki.

Wyniki obejmują ugięcie belki drewnianej, ugięcie dopuszczalne, naprężenia normalne i styczne, a także pole przekroju, moment bezwładności, wskaźnik wytrzymałości przekroju, masę belki, obciążenie ciężarem własnym, maksymalny moment zginający i maksymalną siłę tnącą. Wartości te pozwalają ocenić wytrzymałość i nośność belki z drewna.

Wartości orientacyjne i zalecenia

Normy i właściwości drewna

Normy europejskie. Właściwości drewna konstrukcyjnego opierają się na klasach wytrzymałości określonych w EN 338 „Drewno konstrukcyjne — Klasy wytrzymałości”. Ogólna metoda sprawdzania elementów drewnianych jest zgodna z zasadami EN 1995-1-1 „Eurokod 5: Projektowanie konstrukcji drewnianych — Część 1-1: Postanowienia ogólne — Reguły ogólne i reguły dotyczące budynków”. Powiązanymi normami dotyczącymi oddziaływań i projektowania według stanów granicznych są EN 1991 „Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje” oraz EN 1990 „Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji”.

Właściwości klas wytrzymałości drewna. Dla każdej klasy wytrzymałości stosuje się odpowiedni średni moduł sprężystości, średnią gęstość, charakterystyczną wytrzymałość na zginanie oraz charakterystyczną wytrzymałość na ścinanie:

• C16: E0,mean = 8000 MPa, ρ = 370 kg/m3, fm,k = 16 MPa, fv,k = 3.2 MPa.
• C24: E0,mean = 11000 MPa, ρ = 420 kg/m3, fm,k = 24 MPa, fv,k = 4.0 MPa.
• C30: E0,mean = 12000 MPa, ρ = 460 kg/m3, fm,k = 30 MPa, fv,k = 4.0 MPa.

Wytrzymałość obliczeniowa. Wytrzymałość charakterystyczna jest przeliczana na wytrzymałość obliczeniową według ogólnej zależności Eurokodu 5:

fd = kmod·fk/γM

Kalkulator stosuje stałe wartości kmod = 0.7 oraz γM = 1.3. Daje to obliczeniową wytrzymałość na zginanie 8.62 MPa dla C16, 12.92 MPa dla C24 oraz 16.15 MPa dla C30. Odpowiadające im obliczeniowe wytrzymałości na ścinanie wynoszą 1.72 MPa, 2.15 MPa i 2.15 MPa.

Współczynnik modyfikujący kmod. W EN 1995-1-1 współczynnik ten zależy od klasy trwania obciążenia oraz warunków użytkowania drewna. Kalkulator nie zmienia go automatycznie i stosuje stałą wartość 0.7, co stanowi jedno z głównych założeń obliczenia.

Przyłożone obciążenie. Kalkulator traktuje obciążenie wprowadzone przez użytkownika jako wcześniej określone oddziaływanie obliczeniowe. Współczynniki kombinacyjne obciążeń według EN 1990 i EN 1991 nie są automatycznie stosowane do wprowadzonej wartości.

Charakterystyki przekroju belki

Pole przekroju. Dla prostokątnej belki o szerokości t i wysokości h pole przekroju oblicza się jako:

A = t·h

Jeżeli wymiary są podane w milimetrach, pole otrzymuje się w mm². Jest ono wykorzystywane do określenia masy belki, ciężaru własnego oraz naprężenia stycznego.

Moment bezwładności. Sztywność prostokątnego przekroju na zginanie charakteryzuje zależność:

I = t·h3/12

Wartość I jest wyrażana w mm⁴ i bezpośrednio wpływa na ugięcie belki. Zwiększenie wysokości belki ma zatem znacznie większy wpływ na jej sztywność niż takie samo względne zwiększenie szerokości.

Wskaźnik wytrzymałości przekroju. Do sprawdzenia naprężenia przy zginaniu stosuje się:

W = t·h2/6

Wskaźnik wytrzymałości przekroju jest wyrażany w mm³ i wiąże maksymalny moment zginający z naprężeniem w skrajnych włóknach drewna.

Moment statyczny pola. Do obliczenia maksymalnego naprężenia stycznego w przekroju prostokątnym kalkulator wykorzystuje:

Q = t·h2/8

Jednostki obciążenia i ciężar własny

Przeliczanie obciążenia. Do przeliczania wartości podanych w kilogramach na siłę wykorzystywane jest przyspieszenie ziemskie g = 9.80665 m/s2. Obciążenie rozłożone w kg/m jest przeliczane na siłę na jednostkę długości, natomiast obciążenie skupione w kg jest przeliczane na niutony. Wartości podane bezpośrednio w kN/m lub kN są traktowane jako wielkości siłowe.

Ciężar własny. Masa jednego metra belki jest określana na podstawie pola przekroju oraz średniej gęstości wybranej klasy wytrzymałości drewna. Obciążenie rozłożone od ciężaru własnego oblicza się jako:

qsw = ρ·A·g·10-9

Przy A wyrażonym w mm² wartość qsw otrzymuje się w kN/m. Ciężar własny jest zawsze uwzględniany jako obciążenie równomiernie rozłożone, również wtedy, gdy główne obciążenie zewnętrzne jest skupione.

Masa belki. Dla długości belki L podanej w milimetrach masa jest obliczana jako:

m = ρ·A·L·10-9

Wynik jest wyrażony w kilogramach.

Moment zginający i siła tnąca

Całkowite obciążenie rozłożone. Dla zewnętrznego obciążenia rozłożonego efekty działania sił są obliczane z użyciem q = qext + qsw. Przy zewnętrznej sile skupionej P rozłożoną składową q stanowi ciężar własny belki.

Obliczeniowe siły wewnętrzne. W poniższych wzorach q jest podawane w kN/m, P w kN, a L w metrach. Maksymalny moment zginający otrzymuje się w kN·m, a maksymalną siłę tnącą w kN:

• Przegub-przegub: Mmax = q·L2/8 + P·L/4, Vmax = q·L/2 + P/2.
• Utwierdzenie-przegub: Mmax = q·L2/8 + 3·P·L/16, Vmax = 5·q·L/8 + 11·P/16.
• Utwierdzenie-utwierdzenie: Mmax = q·L2/12 + P·L/8, Vmax = q·L/2 + P/2.
• Wspornik: Mmax = q·L2/2 + P·L, Vmax = q·L + P.

W przypadku belek podpartych na obu końcach siła skupiona jest przyłożona w środkowej części rozpiętości zgodnie z wybranym schematem obliczeniowym. W przypadku wspornika siła jest przyłożona na wolnym końcu. Ciężar własny belki działa na całej jej długości.

Obliczanie ugięcia belki

Sztywność na zginanie. Ugięcie zależy od iloczynu E·I: im większy jest moduł sprężystości drewna lub moment bezwładności przekroju, tym mniejsze jest odkształcenie. We wzorach na ugięcie kalkulator stosuje q w N/mm, P w N, L w mm, E w MPa oraz I w mm⁴, dzięki czemu wynik otrzymuje się bezpośrednio w milimetrach.

Belka swobodnie podparta. Ugięcie od obciążenia rozłożonego i skupionego jest obliczane zgodnie z zasadą superpozycji:

f = 5·q·L4/(384·E·I) + P·L3/(48·E·I)

Belka utwierdzona na obu końcach. Dla belki utwierdzonej na obu końcach:

f = q·L4/(384·E·I) + P·L3/(192·E·I)

Belka wspornikowa. Dla obciążenia rozłożonego działającego na całej długości oraz siły przyłożonej na wolnym końcu:

f = q·L4/(8·E·I) + P·L3/(3·E·I)

Belka utwierdzona-przegubowo podparta. Dla samego obciążenia rozłożonego współczynnik maksymalnego ugięcia wynosi 0.00541612:

fq = 0.00541612·q·L4/(E·I)

Dla samej siły skupionej współczynnik wynosi √5/240 ≈ 0.00931695:

fP = 0.00931695·P·L3/(E·I)

Gdy ciężar własny i siła skupiona działają jednocześnie, położenie maksymalnego ugięcia nie musi pokrywać się ze środkiem rozpiętości. Dlatego dla schematu utwierdzenie-przegub kalkulator sumuje linie ugięcia od obu obciążeń i wyznacza największą bezwzględną wartość ugięcia na długości belki.

Ugięcie dopuszczalne

Kryterium ugięcia. Wartość dopuszczalna jest określana jako długość rozpiętości podzielona przez współczynnik n:

flim = L/n

Przy automatycznym doborze współczynnik zmienia się płynnie wraz z długością rozpiętości:

• do 1000 mm — n = 120;
• od 1000 do 3000 mm — liniowo od 120 do 150;
• od 3000 do 6000 mm — liniowo od 150 do 200;
• od 6000 do 24000 mm — liniowo od 200 do 250;
• od 24000 do 36000 mm — liniowo od 250 do 300;
• powyżej 36000 mm — n = 300.

Wartość dobierana automatycznie służy jako praktyczna wartość orientacyjna dla użytkowalności, a nie jako uniwersalna granica normowa dla każdej konstrukcji. Jeżeli dla projektu znane jest konkretne wymaganie, można wprowadzić własny stosunek L/n; zwiększenie n zmniejsza dopuszczalne ugięcie i zaostrza warunek sprawdzenia.

Sprawdzenie wytrzymałości i ocena wyniku

Naprężenie normalne. Maksymalne naprężenie od zginania oblicza się na podstawie wskaźnika wytrzymałości przekroju:

σm = Mmax/W

Warunek wytrzymałości na zginanie jest spełniony, gdy:

σm ≤ fm,d

Naprężenie styczne. Maksymalne naprężenie styczne jest wyznaczane na podstawie maksymalnej siły tnącej:

τ = Vmax·Q/(I·t)

Dla przekroju prostokątnego zależność ta jest równoważna τ = 1.5·Vmax/A. Warunek wytrzymałości na ścinanie jest spełniony, gdy:

τ ≤ fv,d

Zapas wytrzymałości. Jeżeli warunek wytrzymałości jest spełniony, wyświetlany zapas pokazuje względny stosunek wytrzymałości obliczeniowej do obliczonego naprężenia:

Zapas = (fd/σ - 1)·100%

W przypadku sprawdzenia na ścinanie zamiast σ stosuje się τ, a zamiast fd wartość fv,d. Ugięcie, zginanie i ścinanie są sprawdzane niezależnie: spełnienie jednego warunku nie kompensuje przekroczenia innego.

FAQs

Dlaczego ta sama belka drewniana C24 ugina się mniej niż belka C16?

Klasa wytrzymałości drewna wpływa nie tylko na dopuszczalne naprężenie, ale również na sztywność materiału. Kalkulator wykorzystuje E = 8000 MPa dla C16 oraz 11000 MPa dla C24, dlatego przy takim samym przekroju, rozpiętości i obciążeniu obliczone ugięcie belki drewnianej C24 jest mniejsze.

Dlaczego belka drewniana może spełniać warunek wytrzymałości, ale nie spełniać warunku ugięcia?

Wytrzymałość i sztywność opisują różne aspekty pracy belki. Naprężenie zginające może pozostawać znacznie poniżej obliczeniowej wytrzymałości drewna, a jednocześnie mała sztywność E·I przy dużej rozpiętości może powodować nadmierne ugięcie. W przypadku belek drewnianych ugięcie może więc być warunkiem decydującym, nawet gdy nośność jest wystarczająca.

Dlaczego ciężar własny jest uwzględniany również przy obciążeniu skupionym?

Siła skupiona opisuje wyłącznie zewnętrzne oddziaływanie przyłożone w jednym punkcie. Sama belka drewniana ma masę na całej długości, dlatego jej ciężar własny działa jednocześnie jako równomiernie rozłożone obciążenie qsw i wpływa na ugięcie, moment zginający oraz siłę tnącą.

Co oznacza zapas wytrzymałości w wyniku?

Zapas pokazuje, o ile obliczeniowa wytrzymałość wybranej klasy drewna jest względnie większa od obliczonego naprężenia. Na przykład zapas 20% opisuje stosunek między granicą obliczeniową a aktualnym naprężeniem; nie oznacza automatycznie, że zewnętrzne obciążenie można zwiększyć dokładnie o 20%, ponieważ w obliczeniu uwzględniany jest również ciężar własny belki.

Jak wybrać dopuszczalne ugięcie L/n?

Jeżeli nie jest znane konkretne wymaganie, kalkulator ugięcia i wytrzymałości belki drewnianej stosuje automatyczną wartość orientacyjną zależną od długości rozpiętości. Jeśli dokumentacja projektu, wymagania obliczeniowe lub obowiązujące zasady określają konkretną granicę, należy zastosować własną wartość L/n. Im większy mianownik n, tym bardziej rygorystyczne jest wymaganie dotyczące ugięcia.