Kalkulator ugięcia belki

Metoda obliczania ugięcia belki

Kalkulator oblicza ugięcie i sprawdza nośność belki na zginanie dla obciążenia równomiernie rozłożonego (kg/m lub kN/m) albo dla siły skupionej (kg lub kN). Obliczenia opierają się na klasycznych wzorach wytrzymałości materiałów dla wybranego schematu podparcia i geometrii przekroju.

Uwzględniana jest także masa własna belki. Wynik zawiera obliczone ugięcie d (mm), dopuszczalne ugięcie d_lim (mm) oraz sprawdzenia naprężeń (normalnych i tnących). Dla niektórych przekrojów cienkościennych podawane są również uproszczone sprawdzenia środnika i półki.

Wskazówki i zalecenia

Odniesienie normowe odpowiada logice obliczeń stosowanej w Eurokodach. Ugięcia i siły wewnętrzne wyznacza się w analizie liniowo-sprężystej. Zalecenia materiałowe i sprawdzenia są zgodne z EN 1990 (podstawy), EN 1991 (oddziaływania), EN 1993-1-1 (stal), EN 1995-1-1 (drewno).

Jednostki i przeliczenie obciążeń wykorzystują standardowe przyspieszenie ziemskie g = 9.80665. Stosowane są następujące przeliczenia:

1 kN = 1000 N

1 kg ≈ 9.80665 N

Dlatego do przeliczenia kg/m → kN/m używa się współczynnika 9.80665 / 1000. Dla przeliczenia odwrotnego stosuje się 1000 / 9.80665.

Materiał określa moduł sprężystości E, gęstość do wyznaczania masy własnej oraz wartości wytrzymałości użyte w sprawdzeniach.

• Stal (EN 1993-1-1). Moduł sprężystości: E = 200000 MPa. Gęstość: 7850 kg/m³. Wytrzymałość użyta jako limit w tym kalkulatorze: S235 → 197 MPa, S275 → 231 MPa, S355 → 298 MPa, S420 → 353 MPa. Współczynnik dla ścinania: k_v = 0.58.
• Drewno (EN 1995-1-1). Moduł sprężystości: E = 10000 MPa. Gęstość do masy własnej: 700 kg/m³. Wytrzymałość użyta jako limit: C16 → 8.62 MPa, C24 → 12.92 MPa, C30 → 16.15 MPa. Współczynnik dla ścinania: k_v = 0.10.

Masa własna belki jest dodawana do obciążenia zewnętrznego. Obciążenie liniowe od masy własnej wyznacza się z pola przekroju A i gęstości ρ:

G = ρ · A · g

gdzie G jest obciążeniem równomiernie rozłożonym od masy własnej (N/m), ρ to gęstość (kg/m³), A to pole (mm², przeliczane na m²), a g = 9.80665. Następnie G jest przeliczane na kN/m lub kg/m zgodnie z wybranymi jednostkami.

Właściwości przekroju są obliczane na podstawie wprowadzonych wymiarów. W obliczeniach stosuje się:

• A pole (mm²).
• I moment bezwładności względem osi zginania (mm⁴).
• W wskaźnik wytrzymałości przekroju (mm³), zwykle W = I / y, gdzie y to odległość od osi obojętnej do włókna skrajnego (mm).

Schemat podparcia wpływa na maksymalny moment zginający i ugięcie przez współczynniki. Dla obciążenia równomiernie rozłożonego q stosowane są następujące współczynniki liczbowe:

• Przegub-przegub: współczynnik ugięcia k_f = 0.0130208333 (to jest 5/384). Współczynnik momentu k_M = 0.125001 (≈ 1/8).
• Utwierdzenie-przegub: k_f = 0.0054054054 (to jest 1/185). k_M = 0.125 (to jest 1/8).
• Utwierdzenie-utwierdzenie: k_f = 0.0026041667 (to jest 1/384). k_M = 0.08333333 (to jest 1/12).
• Konsola: k_f = 0.125 (to jest 1/8). k_M = 0.5 (to jest 1/2).

Oddziaływania wewnętrzne dla obciążenia równomiernego oblicza się tak:

Mmax = kM · q · L²

gdzie q to całkowite obciążenie liniowe (kN/m lub N/m), a L to rozpiętość (m lub mm, przeliczana do spójnych jednostek).

Ugięcie dla obciążenia równomiernego oblicza się tak:

d = kf · q · L⁴ / (E · I)

gdzie E to moduł sprężystości (MPa), I to moment bezwładności (mm⁴), a d jest podawane w mm po przeliczeniu jednostek.

Siła skupiona jest liczona ze standardowych wzorów dla siły przyłożonej w środku. Dla ugięcia stosuje się współczynnik k_p (zamiast k_f), zależny od schematu podparcia:

• Przegub-przegub: k_p = 0.020833 (to jest 1/48).
• Utwierdzenie-przegub: k_p = 0.00912.
• Utwierdzenie-utwierdzenie: k_p = 0.0052.
• Konsola: k_p = 0.3333333 (to jest 1/3).

Następnie ugięcie od siły P (N lub kN) oblicza się tak:

d = kp · P · L³ / (E · I)

gdzie L jest długością efektywną dla wybranego schematu. Dla konsoli w sprawdzeniu ugięcia dopuszczalnego stosuje się długość powiększoną: L_eff = 2 · L.

Ugięcie dopuszczalne jest określane przez dzielnik n w regule d_lim = L_eff / n. Dzielnik n dobierany jest automatycznie w zależności od długości (mm):

• L_eff ≤ 1000: n = 120.
• 1000 < L_eff ≤ 3000: n liniowo od 120 do 150.
• 3000 < L_eff ≤ 6000: n liniowo od 150 do 200.
• 6000 < L_eff ≤ 24000: n liniowo od 200 do 250.
• 24000 < L_eff ≤ 36000: n liniowo od 250 do 300.
• L_eff > 36000: n = 300.

Ten dobór odpowiada powszechnej praktyce stanu granicznego użytkowalności. Dla stropów mieszkalnych i użyteczności publicznej często stosuje się zakres L/200…L/300. Dla konsoli wymagania są zwykle bardziej rygorystyczne, dlatego przyjmuje się L_eff = 2·L.

Sprawdzenie naprężenia normalnego porównuje naprężenie obliczeniowe z wartością dopuszczalną dla wybranego materiału i klasy:

σ = Mmax / W

gdzie σ to naprężenie normalne (MPa). Kryterium: σ ≤ v, gdzie v to przyjęta wartość wytrzymałości (MPa). Zapas jest pokazywany w procentach jako v/σ − 1.

Sprawdzenie naprężenia tnącego porównuje naprężenie tnące τ z limitem v · k_v:

τ ≤ v · kv

gdzie dla stali przyjmuje się k_v = 0.58, a dla drewna k_v = 0.10. Daje to jednoznaczny, liczbowy limit dla ścinania bez zbędnego komplikowania obliczeń.

Łączny efekt naprężeń dla niektórych przekrojów jest szacowany naprężeniem równoważnym i porównywany z progiem 0.87 · v:

σeq ≤ 0.87 · v

To kryterium jest używane jako inżynierskie sprawdzenie, gdy jednocześnie występują naprężenia normalne i tnące.

Uproszczone sprawdzenia środnika i półki dla elementów cienkościennych wykorzystują kryteria bezwymiarowe. Dla środnika stosuje się limit: λ ≤ 2.5. Dla półki rzeczywisty stosunek jest porównywany z wartością graniczną:

w = 0.5 · √(206000 / v)

Jeżeli warunki nie są spełnione, praktyczną rekomendacją jest zwiększenie grubości lub zastosowanie usztywnień.

FAQs

Dlaczego ugięcie i ugięcie dopuszczalne dla konsoli opierają się na różnych długościach?

W belkach wspornikowych ugięcia są bardziej zauważalne, a wymagania użytkowalności często są ostrzejsze. Dlatego w sprawdzeniu ugięcia dopuszczalnego stosuje się L_eff = 2·L zamiast samej długości geometrycznej. To czyni kryterium bardziej zachowawczym dla tej samej rozpiętości.

Co wchodzi w skład całkowitego obciążenia liniowego?

Całkowite obciążenie liniowe q jest sumą obciążenia zewnętrznego i masy własnej belki. Masa własna jest liczona z gęstości materiału i pola przekroju z użyciem g = 9.80665. Dlatego ugięcie i naprężenia zmieniają się nawet przy tym samym obciążeniu zewnętrznym, gdy zmienia się materiał lub geometria.

Jakie wartości wytrzymałości są używane dla stali i drewna?

Dla stali stosowane są stałe poziomy (MPa): S235 → 197, S275 → 231, S355 → 298, S420 → 353. Dla drewna: C16 → 8.62, C24 → 12.92, C30 → 16.15. Te wartości są używane jako limity w sprawdzeniu naprężenia normalnego.

Dlaczego potrzebne jest sprawdzenie na ścinanie, skoro wykonano już sprawdzenie na zginanie?

Zginanie decyduje o naprężeniach w włóknach skrajnych, ale ścinanie może być krytyczne w pobliżu podpór i w cienkich środnikach. Sprawdzenie τ ≤ v·k_v dodaje więc kontrolę zachowania środnika i stref o dużych siłach tnących. Dla stali używa się k_v = 0.58. Dla drewna używa się k_v = 0.10.

Jakie limity ugięcia są często stosowane w praktyce?

Często stosuje się zakres L/200…L/300 w zależności od przeznaczenia konstrukcji i wrażliwości wykończeń. W tym kalkulatorze dzielnik n zmienia się od 120 do 300 wraz z długością belki, co obejmuje typowe cele inżynierskie. Jeżeli wymagany jest ostrzejszy limit, należy użyć górnej części zakresu i zastosować ograniczenia dla konsoli.