Metoda obliczania ugięcia belki
Wyniki mają charakter orientacyjny. Przed użyciem należy zweryfikować obliczenia zgodnie z obowiązującymi normami i skonsultować się ze specjalistą. Autor nie ponosi odpowiedzialności za skutki użycia bez weryfikacji projektowej.
Kalkulator ugięcia i wytrzymałości belki oblicza ugięcie i wytrzymałość belki stalowej pod działaniem statycznego obciążenia równomiernie rozłożonego lub siły skupionej. Na podstawie wymiarów przekroju wyznacza jego parametry geometryczne, następnie uwzględnia ciężar własny belki i oblicza maksymalny moment zginający, siłę tnącą, ugięcie, naprężenie normalne oraz naprężenie styczne.
Obliczenia dotyczą prostych belek stalowych o stałym przekroju, małych odkształceniach i liniowo-sprężystym zachowaniu materiału. W przypadku siły skupionej działa ona w środku rozpiętości dla belek podpartych na obu końcach oraz na wolnym końcu dla wspornika.
Wartości orientacyjne i zalecenia
Model obliczeniowy
Ugięcie belki. Obliczenia opierają się na klasycznej teorii zginania belek. Przyjmowany jest moduł sprężystości stali E = 210000 MPa oraz moment bezwładności przekroju I. Im większy moment bezwładności, tym mniejsze ugięcie przy tej samej rozpiętości i obciążeniu.
Geometria przekroju. Na podstawie wprowadzonych wymiarów obliczane są pole przekroju A w mm2, moment bezwładności I w mm4, sprężysty wskaźnik wytrzymałości przekroju W w mm3 oraz moment statyczny Q w mm3. Przekrój jest traktowany jako wyidealizowany kształt geometryczny bez promieni zaokrągleń i pochylenia półek.
Sprężysty wskaźnik wytrzymałości przekroju jest wyznaczany na podstawie odległości między osią obojętną a najbardziej oddalonym punktem przekroju:
W = I / ymax
Dla przekroju niesymetrycznego względem osi zginania najpierw obliczane jest położenie środka ciężkości. Dla kątownika przyjmuje się zginanie w płaszczyźnie odpowiadającej orientacji pokazanej w kalkulatorze.
Materiał i właściwości stali
Moduł sprężystości. Dla wszystkich gatunków stali przyjmowane jest E = 210000 MPa. Wartość ta jest używana przy obliczaniu ugięcia belki i opisuje sztywność stali w zakresie sprężystym.
Gęstość. Do obliczania masy i ciężaru własnego belki kalkulator przyjmuje gęstość stali ρ = 7850 kg/m3 oraz przyspieszenie ziemskie g = 9.80665 m/s2.
Granica plastyczności. Dla stali S235, S275, S355 i S420 kalkulator przyjmuje odpowiednio fy = 235, 275, 355 i 420 MPa. Wartości te są wykorzystywane do sprawdzania naprężeń. Dla konkretnego wyrobu stalowego rzeczywista wartość fy może zależeć od jego grubości i odpowiedniej normy wyrobu.
Jednostki obciążenia i ciężar własny
Obciążenie równomiernie rozłożone. Można je podać w kg/m lub kN/m. Wartość w kg/m jest traktowana jako kgf/m i przeliczana na jednostki siły przy użyciu g = 9.80665 m/s2:
1 kgf/m = 0.00980665 kN/m
Siła skupiona. Można ją podać w kg lub kN. Wartość podana w kilogramach jest traktowana jako kilogram-siła:
1 kgf = 9.80665 N
Ciężar własny. Najpierw z wprowadzonych wymiarów obliczane jest pole przekroju A, a następnie masa belki na podstawie jej objętości i gęstości stali. Ciężar własny jest przeliczany na równomiernie rozłożone obciążenie działające na całej długości belki:
qself = ρ · A · g
Przy zewnętrznym obciążeniu równomiernie rozłożonym całkowite obciążenie wynosi:
q = qext + qself
Gdy działa zewnętrzna siła skupiona P, ciężar własny belki nadal działa jako obciążenie rozłożone qself. Dlatego ciężar własny belki jest uwzględniany dla każdej konfiguracji podpór i obciążenia.
Moment zginający i siła tnąca
Siły wewnętrzne. Po wyznaczeniu całkowitego obciążenia kalkulator określa maksymalną wartość bezwzględną momentu zginającego M oraz maksymalną siłę tnącą V. Wzory zależą od sposobu podparcia.
- Belka swobodnie podparta:
M = qL2/8 + PL/4, V = qL/2 + P/2.
- Utwierdzenie-przegub:
M = qL2/8 + 3PL/16, V = 5qL/8 + 11P/16.
- Utwierdzenie-utwierdzenie:
M = qL2/12 + PL/8, V = qL/2 + P/2.
- Wspornik:
M = qL2/2 + PL, V = qL + P.
Tutaj L oznacza rozpiętość belki, q całkowite równomiernie rozłożone obciążenie wraz z ciężarem własnym, a P zewnętrzną siłę skupioną. Przy zewnętrznym obciążeniu rozłożonym P = 0.
Maksymalne ugięcie belki
Belka swobodnie podparta. Maksymalne ugięcie od obciążenia rozłożonego i siły skupionej przyłożonej w środku rozpiętości jest obliczane metodą superpozycji:
d = 5qL4/(384EI) + PL3/(48EI)
Belka utwierdzona na obu końcach. Utwierdzenie obu końców znacznie zmniejsza ugięcie:
d = qL4/(384EI) + PL3/(192EI)
Wspornik. Maksymalne ugięcie występuje na wolnym końcu:
d = qL4/(8EI) + PL3/(3EI)
Belka utwierdzona z jednej strony i przegubowo podparta z drugiej. Położenie maksymalnego ugięcia zależy od stosunku obciążenia rozłożonego do siły skupionej. Przy działaniu wyłącznie obciążenia rozłożonego:
d = (39 + 55√33)qL4/(65536EI)
Przy działaniu wyłącznie siły skupionej w środku rozpiętości:
d = √5 · PL3/(240EI)
Gdy jednocześnie działa siła skupiona i rozłożony ciężar własny, ich linie ugięcia są sumowane. Następnie maksymalna wartość jest wyznaczana wzdłuż długości belki, ponieważ jej położenie nie musi pokrywać się ze środkiem rozpiętości.
Jak wyznaczane jest ugięcie graniczne
Ugięcie graniczne. Obliczone ugięcie belki jest porównywane z wartością graniczną wyrażoną jako L/n. Im większy współczynnik n, tym mniejsze dopuszczalne ugięcie:
dlim = L / n
Jeżeli użytkownik nie poda własnej wartości n, kalkulator stosuje wbudowaną praktyczną wartość orientacyjną zależną od rozpiętości belki:
- dla L ≤ 1000 mm: n = 120;
- dla 1000 < L ≤ 3000 mm: n rośnie liniowo od 120 do 150;
- dla 3000 < L ≤ 6000 mm: n rośnie liniowo od 150 do 200;
- dla 6000 < L ≤ 24000 mm: n rośnie liniowo od 200 do 250;
- dla 24000 < L ≤ 36000 mm: n rośnie liniowo od 250 do 300;
- dla L > 36000 mm: n = 300.
W każdym przedziale pośrednim n nie zmienia się skokowo, lecz jest interpolowane liniowo pomiędzy podanymi wartościami granicznymi. Na przykład dla rozpiętości 4000 mm otrzymujemy n ≈ 166.7 i ugięcie graniczne około 24 mm. Jeżeli użytkownik poda własną wartość L/n, zastępuje ona wartość automatyczną.
Sprawdzenie wytrzymałości
Naprężenie normalne. Maksymalne naprężenie zginające jest obliczane z maksymalnego momentu zginającego i sprężystego wskaźnika wytrzymałości przekroju:
σ = M / W
Warunek wytrzymałości ma postać:
σ ≤ fy / γM0
Kalkulator przyjmuje γM0 = 1.0. Dlatego na przykład dla stali S235 obliczone naprężenie normalne jest porównywane z 235 MPa.
Naprężenie styczne. Jest obliczane na podstawie maksymalnej siły tnącej V, momentu statycznego Q, momentu bezwładności I i odpowiedniej szerokości materiału b:
τ = V · Q / (I · b)
Odpowiednia wartość graniczna wynosi:
τlim = fy / (√3 · γM0)
Przy γM0 = 1.0 odpowiada to około 135.7 MPa dla S235, 158.8 MPa dla S275, 205.0 MPa dla S355 i 242.5 MPa dla S420. Naprężenie normalne i naprężenie styczne są sprawdzane oddzielnie względem odpowiednich wartości granicznych.
Jak interpretować wynik
Sztywność. Obliczone ugięcie belki jest porównywane z dlim. Jeżeli d ≤ dlim, wybrana belka spełnia przyjęte kryterium ugięcia. Jeżeli obliczone ugięcie przekracza wartość graniczną, potrzebne jest sztywniejsze połączenie rozpiętości i przekroju albo inne określone kryterium L/n.
Wytrzymałość. Naprężenia normalne i styczne są sprawdzane oddzielnie względem swoich wartości granicznych. Gdy warunek jest spełniony, kalkulator pokazuje również zapas w procentach obliczony ze stosunku naprężenia granicznego do naprężenia obliczonego:
zapas = (σlim/σ - 1) · 100%
Ten sam sposób jest stosowany dla naprężenia stycznego z τ i τlim.
Powiązane normy europejskie
EN 1990 „Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji”. Norma określa ogólne zasady projektowania konstrukcji, w tym sprawdzanie stanów granicznych nośności i użytkowalności. Dopuszczalne ugięcie zależy od przeznaczenia konstrukcji i obowiązujących kryteriów użytkowalności, dlatego wbudowana skala L/n jest stosowana przez kalkulator jako praktyczna wartość orientacyjna.
EN 1991 „Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje”. Ta seria norm określa zasady wyznaczania oddziaływań i obciążeń działających na konstrukcje. Obciążenie wykorzystane przy obliczaniu belki powinno odpowiadać analizowanej sytuacji obciążeniowej.
EN 1993-1-1 „Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków”. Norma dotyczy właściwości stali wykorzystywanych w sprawdzeniach wytrzymałości, nośności przekroju oraz współczynnika γM0. Kalkulator przyjmuje γM0 = 1.0.
EN 10025-2 „Wyroby walcowane na gorąco ze stali konstrukcyjnych - Część 2: Warunki techniczne dostawy stali konstrukcyjnych niestopowych”. Norma określa właściwości mechaniczne powszechnie stosowanych stali konstrukcyjnych. Nominalne wartości fy używane przez kalkulator dla S235, S275, S355 i S420 należy rozpatrywać wraz z rzeczywistą grubością i rodzajem wyrobu stalowego.
FAQs
Dlaczego belka może spełniać warunek wytrzymałości, ale nie spełniać warunku ugięcia?
Wytrzymałość i sztywność są różnymi kryteriami. Naprężenie zginające zależy głównie od stosunku M/W, natomiast ugięcie belki jest również bardzo wrażliwe na rozpiętość i moment bezwładności I. Belka stalowa może więc mieć wystarczającą wytrzymałość, a mimo to uginać się bardziej niż przyjęta wartość graniczna.
Dlaczego wysokość przekroju ma tak duży wpływ na ugięcie belki?
Dla przekroju prostokątnego moment bezwładności wynosi I = bh3/12, dlatego wysokość przekroju występuje w trzeciej potędze. Nawet umiarkowane zwiększenie wysokości może znacząco zwiększyć sztywność i zmniejszyć ugięcie belki. Szerokość również wpływa na wynik, ale dla tego kształtu przekroju jej wpływ jest liniowy.
Dlaczego uwzględniać ciężar własny, jeśli obciążenie zewnętrzne jest znacznie większe?
Ciężar własny działa nieprzerwanie na całej długości belki i powoduje dodatkowy moment zginający oraz ugięcie. Przy ciężkim przekroju lub dużej rozpiętości jego udział może stać się istotny. Kalkulator wyznacza go automatycznie na podstawie pola przekroju, gęstości stali 7850 kg/m3 i długości belki.
Jak wybrać graniczne ugięcie L/n?
Jeżeli nie określono osobnego kryterium, automatyczna wartość stosowana przez kalkulator ugięcia i wytrzymałości belki może służyć jako praktyczna wartość orientacyjna i zmienia się stopniowo od około L/120 dla krótkich belek do L/300 dla dużych rozpiętości. Jeżeli dla konstrukcji ustalono konkretny limit, na przykład L/250 lub L/300, należy podać odpowiadającą mu wartość n. Im większe n, tym bardziej rygorystyczne ograniczenie ugięcia.
Dlaczego obliczone parametry przekroju mogą nieznacznie różnić się od tabel profili stalowych?
Kalkulator wyznacza A, I i W bezpośrednio z wprowadzonych wymiarów wyidealizowanego przekroju. Rzeczywiste profile walcowane mogą mieć promienie zaokrągleń, szczegóły geometryczne i wymiary produkcyjne uwzględnione w tabelarycznych parametrach przekroju. Dlatego niewielka różnica względem wartości katalogowych jest możliwa nawet przy takich samych podstawowych wymiarach.