Kalkulator kratownicy dachowej

Metoda obliczania kratownicy dachowej

Ten kalkulator kratownicy dachowej wykonuje obliczenia sił i wytrzymałości kratownic dachowych i zadaszeń z metalu lub drewna. Na podstawie zadanej geometrii, kątów i obciążenia wyznacza siły osiowe w prętach oraz reakcje podpór, dobiera przekroje z wbudowanych szeregów wymiarowych, sprawdza rozciąganie, ściskanie i stateczność, uwzględnia ciężar własny oraz oblicza ugięcie kratownicy. Elementy stalowe i drewniane są obliczane oddzielnie z uwzględnieniem właściwości wybranego materiału, długości prętów oraz bocznego stężenia pasa górnego i dolnego poza płaszczyzną kratownicy.

Wartości orientacyjne i zalecenia

Model konstrukcyjny i rozkład obciążenia

Model kratownicy. Kratownica jest traktowana jako płaski układ prętów połączonych przegubowo. Każdy pręt przenosi osiową siłę rozciągającą lub ściskającą, a jego długość geometryczna jest przyjmowana jako odległość między środkami sąsiednich węzłów. Lewa podpora blokuje przemieszczenie poziome i pionowe, natomiast prawa blokuje przemieszczenie pionowe i umożliwia przemieszczenie poziome.

Obciążenia węzłowe. Obciążenie pionowe jest przykładane do węzłów pasa górnego. Każdy obciążony węzeł wewnętrzny otrzymuje pełne obciążenie węzłowe P, natomiast dwa skrajne węzły pasa górnego otrzymują po P / 2. Dzięki temu suma przyłożonych obciążeń odpowiada obciążeniu działającemu na całej rozpiętości kratownicy.

Obciążenie powierzchniowe. Jeżeli obciążenie wejściowe podano jako q w kN/m² lub kg/m², najpierw obliczane jest całkowite obciążenie przypadające na jedną kratownicę:

Q = q · L · s

Gdzie L jest rozpiętością kratownicy w metrach, a s rozstawem sąsiednich kratownic w metrach. Jeżeli pas górny jest podzielony na n pól, pełne obciążenie węzłowe dla węzłów wewnętrznych wynosi:

P = Q / n

Węzły skrajne otrzymują po P / 2. Gdy obciążenie jest podawane w kilogramach-siły, stosowane jest przeliczenie 1 kN = 101,9716 kgf; wewnętrzne obliczenia sił wykonywane są w kN.

Reakcje podpór, siły w prętach i ciężar własny

Równowaga kratownicy. Dla każdego węzła tworzone są równania równowagi w kierunku poziomym i pionowym. Rozwiązanie całego układu równań daje reakcje podpór oraz siłę osiową N w każdym pręcie. Siła dodatnia jest traktowana jako rozciąganie, a ujemna jako ściskanie.

Ciężar własny. Po wstępnym doborze przekrojów masa każdego pręta jest obliczana na podstawie pola przekroju, rzeczywistej długości i gęstości materiału. Ciężar jest przeliczany na siłę przy użyciu g = 9,80665 m/s2 i dzielony po równo między dwa węzły pręta. Następnie siły w prętach i przekroje są obliczane ponownie, dzięki czemu zwiększony ciężar większych przekrojów jest uwzględniany w kolejnym cyklu obliczeń.

Dobór przekroju. Dla każdego obciążonego pręta kalkulator sprawdza dostępne wymiary wybranego typu przekroju w kolejności rosnącej i wybiera pierwszy przekrój spełniający warunki nośności, a dla prętów ściskanych również stateczności. Prętowi o praktycznie zerowej obliczonej sile przypisywany jest przekrój nie mniejszy niż najmniejszy przekrój zastosowany dla obciążonych prętów odpowiedniej grupy i materiału.

Rezerwa nośności. Po sprawdzeniu obliczany jest stopień wykorzystania η, przy czym η = 1 odpowiada granicy obliczeniowej. Rezerwa w procentach jest obliczana jako:

Rezerwa = (1 / η - 1) · 100%

Na przykład η = 0,80 odpowiada rezerwie 25%. Dla prętów nieobciążonych wartość liczbowa rezerwy nie jest wyświetlana.

Obliczenia elementów stalowych

Moduł sprężystości. Odkształcenia stali są obliczane przy użyciu E = 210000 MPa. Dla gatunków S235, S275, S355 i S420 granica plastyczności stosowana w obliczeniach zależy od grubości ścianki lub półki przekroju.

• dla grubości do 16 mm włącznie: S235 - 235 MPa, S275 - 275 MPa, S355 - 355 MPa, S420 - 420 MPa;
• dla grubości powyżej 16 mm do 40 mm: odpowiednio 225, 265, 345 i 400 MPa;
• dla grubości powyżej 40 mm: odpowiednio 215, 255, 335 i 390 MPa.

Rozciąganie. Dla pręta rozciąganego stopień wykorzystania jest obliczany na podstawie siły osiowej i nośności pełnego przekroju:

η = N / (A · fy)

Gdzie N jest podawane w N, A jest polem przekroju w mm², a f_y granicą plastyczności w MPa. Warunek jest spełniony, gdy η ≤ 1.

Ściskanie i stateczność ogólna. Najpierw obliczana jest smukłość w obu głównych kierunkach:

λ = Leff / i

Dla każdego kierunku następnie obliczana jest smukłość względna:

λrel = λ / π · √(fy / E)

Współczynnik imperfekcji przyjmuje wartość α = 0,49 dla kwadratowych i prostokątnych profili zamkniętych oraz rur okrągłych, a α = 0,76 dla pojedynczych kątowników i ceowników. Współczynnik redukcyjny stateczności jest obliczany jako:

Φ = 0,5 · [1 + α · (λrel - 0,2) + λrel2]

χ = min(1; 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)])

Obliczenie jest wykonywane w obu kierunkach i przyjmowana jest mniejsza wartość χ. Sprawdzenie pręta ściskanego ma postać:

η = N / (χ · A · fy) ≤ 1

Stateczność miejscowa przekrojów stalowych. Przed sprawdzeniem wyboczenia ogólnego dla prętów ściskanych kontrolowane są stosunki szerokości lub średnicy do grubości. Stosowane jest ε = √(235 / fy). Dla kwadratowych i prostokątnych profili zamkniętych obowiązuje warunek (max(h,b) - 2t) / t ≤ 42ε, dla rur okrągłych D / t ≤ 90ε2, a dla kątowników a / t ≤ 14ε. W ceownikach środnik jest sprawdzany względem 42ε, a wystająca część półki względem 14ε.

Obliczenia elementów drewnianych

Właściwości obliczeniowe drewna. Kalkulator wykorzystuje klasy wytrzymałości C16, C24 i C30. Stosowane są następujące wartości wytrzymałości na rozciąganie, wytrzymałości na ściskanie, modułu sprężystości i średniej gęstości:

• C16: f_t = 10 MPa, f_c = 17 MPa, E_0,05 = 5400 MPa, E_mean = 8000 MPa, gęstość 370 kg/m³;
• C24: f_t = 14,5 MPa, f_c = 21 MPa, E_0,05 = 7400 MPa, E_mean = 11000 MPa, gęstość 420 kg/m³;
• C30: f_t = 18 MPa, f_c = 23 MPa, E_0,05 = 8000 MPa, E_mean = 12000 MPa, gęstość 460 kg/m³.

Współczynniki dla drewna. W sprawdzeniu nośności stosowany jest współczynnik modyfikujący kmod = 0,60 oraz współczynnik materiałowy γM = 1,30. Podstawowa wytrzymałość obliczeniowa jest więc uzyskiwana przez pomnożenie wytrzymałości charakterystycznej przez 0,60 / 1,30.

Rozciąganie drewna. Dla elementów, których największy wymiar przekroju h jest mniejszy niż 150 mm, stosowany jest dodatkowo współczynnik wymiaru:

kh = min[(150 / h)0,2; 1,30]

Dla h równego lub większego niż 150 mm przyjmuje się kh = 1. Sprawdzenie na rozciąganie ma postać:

η = N / [A · ft · kmod · kh / γM]

Ściskanie drewna. Dla każdego kierunku najpierw obliczana jest smukłość geometryczna λ, a następnie smukłość względna:

λrel = λ / π · √(fc / E0,05)

Gdy λrel ≤ 0,30, przyjmuje się kc = 1. Dla większej smukłości:

Φ = 0,5 · [1 + 0,20 · (λrel - 0,30) + λrel2]

kc = min(1; 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)])

Przyjmowana jest mniejsza wartość k_c z obu kierunków. Ostateczne sprawdzenie ściskanego pręta drewnianego ma postać:

η = N / [kc · A · fc · kmod / γM] ≤ 1

Stężenia i długość efektywna

W płaszczyźnie kratownicy. Długość efektywna stosowana przy obliczaniu smukłości jest przyjmowana jako pełna długość geometryczna pręta między sąsiednimi węzłami. Podział pasa przez węzły kratownicy dzieli go więc również na oddzielne pręty obliczeniowe w płaszczyźnie kratownicy.

Poza płaszczyzną kratownicy. Dla pasa górnego i dolnego długość efektywna jest określana przez stężenia. Gdy podany jest rozstaw stężeń, wprowadzona wartość w milimetrach jest bezpośrednio stosowana jako L_y,eff. Gdy wybierane są poszczególne stężone węzły, kalkulator wyznacza największą odległość między sąsiednimi punktami bocznego podparcia odpowiedniego pasa. Dla prętów środnika długość efektywna poza płaszczyzną jest przyjmowana jako pełna długość pręta.

Orientacja przekrojów prostokątnych. Dla prostokątnych profili zamkniętych i prostokątnych elementów drewnianych zakłada się, że większy wymiar przekroju znajduje się w płaszczyźnie kratownicy, a mniejszy poza nią. Stateczność poza płaszczyzną może więc być decydująca nawet wtedy, gdy smukłość w płaszczyźnie jest stosunkowo mała.

Wskazówka praktyczna. Punkt stężenia należy uznawać za skuteczny tylko wtedy, gdy połączony element lub węzeł rzeczywiście zapobiega bocznemu przemieszczeniu pasa. Pas górny jest często usztywniany przez płatwie, łaty lub układ stężeń, natomiast pas dolny może być podparty przez stężenia między kratownicami albo inne elementy zapewniające rzeczywiste podparcie boczne.

Obliczanie ugięcia i dobór przekrojów według sztywności

Ugięcie sprężyste. Po dobraniu przekrojów kalkulator tworzy macierz sztywności całej kratownicy. Sztywność osiowa każdego pręta jest określana jako E · A / L. Obliczane są poziome i pionowe przemieszczenia wszystkich węzłów, a największe bezwzględne przemieszczenie pionowe jest przyjmowane jako obliczone ugięcie kratownicy.

Moduł sprężystości. Ugięcie stali jest obliczane przy użyciu E = 210000 MPa. Dla drewna stosowane są średnie moduły sprężystości E_mean: 8000 MPa dla C16, 11000 MPa dla C24 i 12000 MPa dla C30.

Poprawka na rzeczywistą podatność konstrukcji. Idealny model kratownicy przegubowej uwzględnia wyłącznie osiowe odkształcenia prętów i zwykle daje mniejsze ugięcie niż rzeczywista konstrukcja. Dlatego obliczone ugięcie sprężyste jest mnożone przez wewnętrzny współczynnik korekcyjny 1,15 dla kratownicy stalowej i 1,50 dla kratownicy drewnianej. Są to konserwatywne założenia kalkulatora, a nie współczynniki obliczeniowe Eurokodów.

Graniczne ugięcie. Wybrany poziom sztywności określa maksymalne dopuszczalne ugięcie:

flim = L / 200, L / 250 lub L / 300

Większy mianownik oznacza mniejsze dopuszczalne ugięcie. W kalkulatorze L/200 jest stosowane jako normalny poziom sztywności, L/250 jako podwyższony, a L/300 jako najbardziej sztywny wariant.

Automatyczne zwiększanie przekrojów. Jeżeli po sprawdzeniu nośności i stateczności ugięcie przekracza wybrany limit, kalkulator zwiększa docelowe pole przekroju obciążonych prętów. W każdym cyklu stosowany jest następujący współczynnik:

kA = min[2,50; max(1,05; 1,02 · f / flim)]

Po zwiększeniu przekrojów ponownie obliczane są ciężar własny, siły w prętach, nośność, stateczność i ugięcie. Wykonywanych jest maksymalnie 12 cykli. Przy wyborze kolejnego przekroju musi on również spełniać warunki nośności i stateczności.

Masa i europejska podstawa obliczeń

Masa kratownicy. Masa każdego pręta jest obliczana ze wzoru m = A · L · ρ, gdzie A jest przeliczane na m², L jest długością pręta w metrach, a ρ gęstością w kg/m³. Dla stali przyjmowana jest gęstość 7850 kg/m³. Dla drewna stosowane są odpowiednio wartości 370, 420 lub 460 kg/m³ dla klas C16, C24 i C30. Całkowita masa kratownicy jest sumą mas wszystkich obliczonych prętów.

Normy europejskie. Logika obliczeń opiera się na zasadach związanych z EN 1990 „Eurokod - Podstawy projektowania konstrukcji” oraz EN 1991 „Eurokod 1 - Oddziaływania na konstrukcje”. Sprawdzenia elementów stalowych wykorzystują podejścia z EN 1993-1-1 „Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków”. Dla elementów drewnianych stosowane są podejścia z EN 1995-1-1 „Eurokod 5 - Projektowanie konstrukcji drewnianych - Część 1-1: Postanowienia ogólne - Reguły wspólne i reguły dla budynków”, natomiast klasy wytrzymałości C16, C24 i C30 odpowiadają EN 338 „Drewno konstrukcyjne - Klasy wytrzymałości”.

FAQs

Dlaczego zmniejszenie rozstawu stężeń może znacznie zmniejszyć wymagany przekrój?

Rozstaw stężeń określa długość efektywną pasa poza płaszczyzną kratownicy. Krótsza długość efektywna zmniejsza smukłość, zwiększa współczynnik stateczności i może umożliwić przeniesienie tej samej siły ściskającej przez mniejszy przekrój. Efekt jest szczególnie wyraźny dla przekrojów prostokątnych o stosunkowo małej sztywności względem słabej osi.

Dlaczego przy niektórych prętach w kolumnie „Stateczność” widoczna jest kreska?

Stateczność na wyboczenie jest sprawdzana dla prętów ściskanych. Pręt rozciągany jest sprawdzany pod względem nośności na rozciąganie pełnego przekroju, dlatego przy stateczności wyświetlana jest kreska. Dla pręta ściskanego OK oznacza spełnienie przyjętego warunku stateczności, a NO jego niespełnienie.

Dlaczego wyższa klasa wytrzymałości stali lub drewna nie zawsze znacznie zmniejsza wymagany przekrój?

Wymagany przekrój nie zależy wyłącznie od wytrzymałości materiału. Dla prętów ściskanych decydujące mogą być smukłość i stateczność, natomiast dla całej kratownicy znaczenie może mieć również ugięcie. Wyższa wytrzymałość materiału nie zawsze pozwala więc zastosować kolejny mniejszy wymiar przekroju.

Czym wyświetlana rezerwa nośności różni się od współczynnika bezpieczeństwa?

Wyświetlana wartość procentowa jest obliczana na podstawie rzeczywistego stopnia wykorzystania wybranego przekroju. Na przykład wykorzystanie 80% daje rezerwę 25% według przyjętego sprawdzenia. Jest to pozostała obliczeniowa nośność wybranego elementu, a nie stały współczynnik bezpieczeństwa dodawany wcześniej do obciążenia.

Dlaczego obliczone ugięcie kratownicy może być znacznie mniejsze niż L/250?

Kratownica przenosi obciążenie głównie przez osiowe rozciąganie i ściskanie prętów, dlatego konstrukcja o odpowiedniej wysokości może mieć stosunkowo małe ugięcie sprężyste. Kalkulator dodatkowo mnoży idealizowane ugięcie przez 1,15 dla stali i 1,50 dla drewna, a po przekroczeniu wybranego limitu ugięcia automatycznie zwiększa przekroje prętów i ponownie wykonuje obliczenia kratownicy.