Kalkulator długości krokwi

Metoda obliczania długości krokwi

Ten kalkulator długości krokwi oblicza długość, wymagane wymiary i obciążenia drewnianej krokwi na podstawie kąta nachylenia dachu, rozpiętości i rozstawu krokwi. Obliczenia uwzględniają długość krokwi, wpływ rozstawu, obciążenie śniegiem, wiatrem i obciążenia stałe, moment zginający, ugięcie oraz wymagany prostokątny przekrój drewna konstrukcyjnego. Model statyczny obejmuje dwie podpory i jeden wspornikowy okap dachu oraz pozwala oszacować wymagany przekrój i nośność krokwi.

Przekrój krokwi jest sprawdzany zarówno pod względem wytrzymałości na zginanie, jak i dopuszczalnego ugięcia. Kombinacje obciążeń obejmują oddziaływania stałe, śnieg i wiatr, natomiast właściwości drewna są przyjmowane według wybranej klasy wytrzymałości C16, C24 lub C30.

Wartości orientacyjne i zalecenia

Geometria dachu

Kąt nachylenia dachu. Pozioma odległość B jest mierzona między osiami podpór. Wysokość H oznacza pionową różnicę poziomów podparcia krokwi. Jeżeli podano wysokość, kąt nachylenia dachu α jest obliczany z trójkąta prostokątnego:

α = arctan(H / B)

Jeżeli zamiast wysokości podano kąt nachylenia dachu, wysokość dachu jest obliczana odwrotnie:

H = B · tan(α)

Rozpiętość i okap. Długość krokwi między podporami oraz długość wspornikowego okapu są obliczane oddzielnie. Poziomy wysięg okapu S nie wpływa na kąt nachylenia dachu.

Ls = B / cos(α)

Lo = S / cos(α)

Geometryczna długość wzdłuż połaci dachu jest sumą tych dwóch odcinków:

Lg = Ls + Lo

Wymagana długość elementu krokwi. Wynik uwzględnia nie tylko geometryczną długość wzdłuż połaci, ale również dodatkową długość potrzebną na pionowe cięcia końcowe. Po wyznaczeniu wysokości przekroju krokwi h wymagana długość elementu jest obliczana jako:

L = Lg + h · tan(α)

Dodatek h · tan(α) uwzględnia całkowitą różnicę długości między górną i dolną krawędzią krokwi wynikającą z dwóch pionowych cięć końcowych.

Obciążenie śniegiem

Charakterystyczne obciążenie śniegiem. Wartość wejściowa S_g,k oznacza charakterystyczne obciążenie śniegiem gruntu przyjęte z krajowych danych projektowych dla lokalizacji obiektu. Kalkulator przelicza je na charakterystyczne obciążenie śniegiem dachu za pomocą współczynnika kształtu μ. W modelu obliczeniowym współczynnik ekspozycji i współczynnik termiczny przyjęto jako 1.0.

Sr,k = μ · Sg,k

Współczynnik kształtu zależy od kąta nachylenia dachu:

• dla α ≤ 30°: μ = 0.8
• dla 30° < α < 60°: μ = 0.8 · (60 − α) / 30
• dla α ≥ 60°: μ = 0

Zależność ta odpowiada przypadkowi równomiernego obciążenia śniegiem dachu pochyłego: współczynnik pozostaje stały do 30°, a następnie liniowo maleje do zera przy 60°.

Obciążenia stałe i obciążenie wiatrem

Obciążenie stałe. Charakterystyczne obciążenie stałe G_k jest sumą ciężaru wybranego pokrycia dachowego i dodatkowego obciążenia stałego od pozostałych warstw dachu.

Gk = Groof + Gadd

Obciążenie wiatrem. Podane charakterystyczne obciążenie wiatrem W_k jest w modelu obliczeniowym traktowane jako obciążenie działające prostopadle do połaci dachu. Wartość wejściową należy przyjąć z krajowych danych projektowych dla lokalizacji obiektu.

Współczynniki obliczeniowe. Dla obliczeń nośności w stanie granicznym nośności kalkulator stosuje współczynnik 1.35 dla obciążeń stałych oraz 1.50 dla zmiennych obciążeń śniegiem i wiatrem:

Gd = 1.35 · Gk

Sd = 1.50 · Sr,k

Wd = 1.50 · Wk

Kombinacje obciążeń

Najbardziej niekorzystna kombinacja obciążeń. Śnieg i wiatr nie są po prostu sumowane jako dwa maksymalne obciążenia działające jednocześnie. Kalkulator sprawdza dwie kombinacje: śnieg jako wiodące oddziaływanie zmienne oraz wiatr jako wiodące oddziaływanie zmienne. Dla towarzyszącego wiatru stosowany jest współczynnik kombinacyjny ψW = 0.60, a dla towarzyszącego śniegu ψS = 0.70.

Dla kombinacji ze śniegiem jako oddziaływaniem wiodącym:

pS = 1.35 · Gk · cos(α) + 1.50 · Sr,k · cos2(α) + 1.50 · 0.60 · Wk

Dla kombinacji z wiatrem jako oddziaływaniem wiodącym:

pW = 1.35 · Gk · cos(α) + 1.50 · Wk + 1.50 · 0.70 · Sr,k · cos2(α)

Do dalszych obliczeń nośności przyjmowana jest większa wartość:

pULS = max(pS, pW)

Rzutowanie obciążeń. Obciążenie stałe od ciężaru własnego działa pionowo i jest przeliczane na składową powodującą zginanie krokwi za pomocą cos(α). Obciążenie śniegiem jest podawane na jednostkę poziomego rzutu dachu, dlatego przy przeliczaniu go na obciążenie zginające pochyloną krokiew stosuje się cos2(α). W przyjętym modelu obciążenie wiatrem jest już traktowane jako działające prostopadle do połaci.

Obciążenie liniowe i obciążenie jednej krokwi

Obciążenie liniowe. Obliczeniowe obciążenie powierzchniowe jest przeliczane na równomiernie rozłożone obciążenie liniowe za pomocą rozstawu krokwi D. Jeżeli p_ULS jest wyrażone w kN/m², a D w milimetrach:

q = pULS · D / 1000

Otrzymana wartość q jest wyrażona w kN/m. Do przeliczania jednostek kalkulator stosuje zależność 1 kN/m² ≈ 101.97 kg/m².

Powierzchnia przypisana do jednej krokwi. Do orientacyjnego określenia całkowitego obciążenia jednej krokwi stosowana jest geometryczna długość połaci bez dodatku na cięcia końcowe:

A = Lg · D / 1 000 000

Wartości L_g i D są podawane w milimetrach, a wynikowa powierzchnia A jest wyrażona w m².

Moment zginający

Model statyczny. Krokiew jest traktowana jako belka oparta na dwóch podporach, z lewostronnym wspornikowym okapem i równomiernie rozłożonym obciążeniem na całej długości. W obliczeniach stosuje się pochyłą rozpiętość między podporami L_s oraz pochyłą długość okapu L_o.

Dodatni moment zginający w przęśle jest obliczany z uwzględnieniem wpływu wspornikowego okapu:

Ms = q · (Ls2 − Lo2)2 / (8 · Ls2)

Ta wartość jest stosowana, gdy Lo < Ls. Moment przy podporze wywołany wspornikowym okapem wynosi:

Mo = q · Lo2 / 2

Do wymiarowania przekroju krokwi przyjmowana jest większa wartość bezwzględna:

M = max(Ms, Mo)

Wytrzymałość drewna i wymiarowanie krokwi

Obliczeniowa wytrzymałość na zginanie. Dla klas wytrzymałości drewna C16, C24 i C30 przyjmuje się charakterystyczną wytrzymałość na zginanie odpowiednio 16, 24 i 30 N/mm². Kalkulator stosuje współczynnik modyfikujący kmod = 0.70 oraz współczynnik materiałowy γM = 1.30.

fm,d = kmod · fm,k / γM

• C16: fm,d = 8.62 N/mm²
• C24: fm,d = 12.92 N/mm²
• C30: fm,d = 16.15 N/mm²

Wymagany wskaźnik wytrzymałości przekroju jest wyznaczany na podstawie maksymalnego momentu zginającego:

Wreq = M / fm,d

Dla prostokątnego przekroju krokwi:

W = b · h2 / 6

Jeżeli podano stosunek r = h/b, minimalna wysokość krokwi wymagana ze względu na wytrzymałość jest obliczana jako:

h = (6 · Wreq · r)1/3

Jeżeli szerokość krokwi b jest podana bezpośrednio:

h = (6 · Wreq / b)1/2

Sprawdzenie ugięcia

Moduł sprężystości. Do obliczania ugięcia stosowane są średnie wartości modułu sprężystości: 8000 N/mm² dla C16, 11000 N/mm² dla C24 oraz 12000 N/mm² dla C30.

Kombinacja obciążeń w stanie granicznym użytkowalności. Współczynniki 1.35 i 1.50 nie są stosowane przy sprawdzaniu ugięcia. Sprawdzane są dwie kombinacje obciążeń użytkowych:

pSLS,S = Gk · cos(α) + Sr,k · cos2(α) + 0.60 · Wk

pSLS,W = Gk · cos(α) + Wk + 0.70 · Sr,k · cos2(α)

pSLS = max(pSLS,S, pSLS,W)

Dopuszczalne ugięcie. Wartość graniczna jest określana na podstawie pochyłej rozpiętości między podporami. Dla wybranego współczynnika k równego 200, 250 lub 300:

flim = Ls / k

Większy mianownik oznacza bardziej rygorystyczne wymaganie dotyczące sztywności.

Obliczone ugięcie. Moment bezwładności prostokątnego przekroju wynosi:

I = b · h3 / 12

Ugięcie jest obliczane na całej rozpiętości między podporami z uwzględnieniem równomiernie rozłożonego obciążenia na wspornikowym okapie. Dla współrzędnej x mierzonej od lewej podpory stosowana jest zależność:

f(x) = q / (24 · E · I) · [−6 · Lo2 · x2 + 2 · (Ls2 + Lo2) · x3 / Ls − x4 − Ls · (Ls2 − 4 · Lo2) · x]

Maksymalne bezwzględne ugięcie jest wyznaczane numerycznie wzdłuż rozpiętości z krokiem Ls / 1000. Po wstępnym dobraniu przekroju rzeczywiste ugięcie jest obliczane ponownie. Jeżeli przekracza wartość dopuszczalną, wysokość krokwi h jest zwiększana co 1 mm aż do spełnienia warunku f ≤ flim.

Jak dobierany jest końcowy przekrój krokwi

Dwa niezależne warunki. Przekrój krokwi musi jednocześnie spełniać wymagania dotyczące wytrzymałości na zginanie i ugięcia. Minimalna wysokość wymagana ze względu na wytrzymałość oraz minimalna wysokość wymagana ze względu na sztywność są obliczane oddzielnie, po czym przyjmowana jest większa wartość.

Jeżeli podano stosunek h/b, szerokość jest obliczana z tego stosunku, a oba wymiary są zaokrąglane w górę. Jeżeli szerokość jest podana bezpośrednio, pozostaje stała, natomiast wysokość jest zwiększana aż do spełnienia obu warunków. Końcowe wymiary przekroju są zaokrąglane w górę do pełnych milimetrów.

Praktyczne wartości orientacyjne

Rozstaw krokwi. W dachach budynków niskich często stosuje się rozstaw krokwi około 600-900 mm, jednak rzeczywista wartość zależy od rozpiętości, obciążeń, układu warstw dachu i wybranego przekroju krokwi.

Proporcje przekroju. Dla prostokątnych krokwi z drewna konstrukcyjnego często stosuje się proporcje h/b od około 1.5 do 3. Gdy decydującym warunkiem jest ugięcie, zwiększenie wysokości krokwi jest zwykle znacznie skuteczniejsze niż zwiększenie szerokości, ponieważ moment bezwładności zależy od h³.

Obciążenia klimatyczne. Charakterystyczne wartości obciążenia śniegiem gruntu i obciążenia wiatrem należy przyjmować dla konkretnej lokalizacji obiektu z krajowych danych projektowych oraz odpowiednich Załączników Krajowych do Eurokodów.

Normy europejskie

Model obliczeniowy i oznaczenia są zgodne z ogólnym europejskim podejściem do projektowania konstrukcji. Kombinacje oddziaływań są związane z EN 1990 „Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji”. Oddziaływania śniegu opisuje EN 1991-1-3 „Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje - Część 1-3: Oddziaływania ogólne - Obciążenie śniegiem”, natomiast oddziaływania wiatru EN 1991-1-4 „Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje - Część 1-4: Oddziaływania ogólne - Oddziaływania wiatru”.

Klasy wytrzymałości C16, C24 i C30 są związane z EN 338 „Drewno konstrukcyjne - Klasy wytrzymałości”. Właściwości obliczeniowe elementów drewnianych oraz sprawdzenia nośności i użytkowalności są związane z EN 1995-1-1 „Eurokod 5: Projektowanie konstrukcji drewnianych - Część 1-1: Postanowienia ogólne - Reguły ogólne i reguły dotyczące budynków”. Załączniki Krajowe mogą określać inne dane klimatyczne i pozostałe parametry ustalane na poziomie krajowym.

FAQs

Dlaczego wysięg okapu S nie wpływa na kąt nachylenia dachu?

Kąt nachylenia dachu jest określony przez trójkąt między dwiema podporami, dlatego zależy od poziomej rozpiętości B i wysokości H. Wysięg S jest przedłużeniem już nachylonej krokwi poza lewą podporę. Zwiększenie wysięgu zwiększa długość krokwi i moment wspornikowy, ale nie zmienia kąta nachylenia dachu.

Dlaczego wymagana długość krokwi jest większa od geometrycznej długości połaci?

Geometryczna długość jest obliczana z rozpiętości między podporami i wysięgu okapu wzdłuż połaci. Po dobraniu wysokości krokwi kalkulator uwzględnia również pionowe cięcia końcowe, które wymagają dodatkowej długości h · tan(α). Wymagana długość elementu zależy więc zarówno od geometrii dachu, jak i od obliczonej wysokości krokwi.

Dlaczego całkowite obciążenie obliczeniowe nie jest prostą sumą obciążenia śniegiem, wiatrem i obciążeń stałych?

Śnieg i wiatr są oddziaływaniami zmiennymi, dlatego kalkulator sprawdza oddzielne kombinacje ze śniegiem jako oddziaływaniem wiodącym oraz z wiatrem jako oddziaływaniem wiodącym. Oddziaływanie towarzyszące jest redukowane współczynnikiem kombinacyjnym ψ, a obciążenia pionowe są dodatkowo przeliczane zależnie od kąta nachylenia dachu. Do obliczenia krokwi przyjmowana jest bardziej niekorzystna z dwóch kombinacji.

Jak kąt nachylenia dachu wpływa na wymagany przekrój krokwi?

Wraz ze wzrostem kąta nachylenia dachu zmieniają się pochyła rozpiętość między podporami oraz sposób przeliczania obciążeń stałych i śniegu. Powyżej 30° zaczyna również maleć współczynnik kształtu obciążenia śniegiem μ, który w przyjętym modelu obliczeniowym osiąga wartość zero przy 60°. Zmiana nachylenia dachu może więc jednocześnie wpływać na obciążenie, moment zginający i ugięcie.

Dlaczego dla C16, C24 i C30 otrzymuje się różne przekroje krokwi?

Te klasy wytrzymałości drewna mają różne charakterystyczne wytrzymałości na zginanie oraz różne moduły sprężystości. Wyższa wytrzymałość na zginanie zmniejsza wymagany wskaźnik wytrzymałości przekroju, a wyższy moduł sprężystości zmniejsza ugięcie przy tych samych wymiarach krokwi. Ostateczny przekrój jest określany przez warunek wymagający większego przekroju: wytrzymałość lub sztywność.