Obliczenie belki żelbetowej

Metoda obliczania belki żelbetowej

Internetowy kalkulator belki żelbetowej wykonuje obliczenia zbrojenia, wytrzymałości i nośności prostokątnej belki z betonu zbrojonego podpartej swobodnie lub pracującej jako wspornik. Dla zadanej nośności stropu lub innego obciążenia, rozpiętości, wymiarów przekroju, klasy betonu i parametrów zbrojenia wyznacza moment zginający, siłę tnącą, wymagany przekrój zbrojenia, odpowiednią średnicę prętów oraz stopień wykorzystania nośności. Są to podstawowe parametry wykorzystywane przy ocenie wytrzymałości i ugięcia belki żelbetowej.

Obliczenia są wykonywane etapami. Najpierw zadane obciążenie jest łączone z ciężarem własnym belki, następnie wyznaczane są siły wewnętrzne, wysokość użyteczna przekroju i wymagana powierzchnia zbrojenia. Po dobraniu standardowej średnicy prętów kalkulator ponownie sprawdza geometrię przekroju, możliwość rozmieszczenia prętów w belce oraz nośność na zginanie i ścinanie.

Wartości orientacyjne i zalecenia

Kolejność obliczeń

Obciążenia i jednostki. Wymiary przekroju i długość belki są wprowadzane w milimetrach. Przed wykonaniem obliczeń konstrukcyjnych długość jest przeliczana na metry. Obciążenie równomiernie rozłożone jest używane w kN/m, a obciążenie skupione w kN. Jeżeli obciążenie podano w kg/m lub kg, kalkulator przelicza je na siłę przyjmując przyspieszenie ziemskie 9.81 m/s2.

q = qkg · 9.81 / 1000

P = Pkg · 9.81 / 1000

Ciężar własny. Ciężar własny jest obliczany automatycznie na podstawie rzeczywistych wymiarów przekroju. Gęstość żelbetu przyjęto jako 2500 kg/m3.

g = b · h · 2500 · 9.81 / 109

W tym wzorze b i h są podawane w mm, a wynik g otrzymywany jest w kN/m. W przypadku obciążenia rozłożonego ciężar własny jest dodawany do obciążenia zewnętrznego.

Moment zginający i siła tnąca

Belka swobodnie podparta. Dla obciążenia równomiernie rozłożonego na całej rozpiętości stosowane są standardowe zależności dla maksymalnego momentu zginającego w środku przęsła i reakcji podporowej.

MEd = (q + g) · L2 / 8

VEd = (q + g) · L / 2

Belka wspornikowa. Przy równomiernie rozłożonym obciążeniu największe siły wewnętrzne występują przy utwierdzeniu.

MEd = (q + g) · L2 / 2

VEd = (q + g) · L

Obciążenie skupione. Dla belki swobodnie podpartej przyjmuje się, że siła skupiona działa w środku rozpiętości. Dla wspornika przyjmuje się jej działanie na wolnym końcu. Ciężar własny belki pozostaje obciążeniem równomiernie rozłożonym.

MEd = g · L2 / 8 + P · L / 4

MEd,c = g · L2 / 2 + P · L

Współczynniki obciążenia. Kalkulator nie stosuje dodatkowo współczynników częściowych γG i γQ do wprowadzonego obciążenia zewnętrznego. Jeżeli wymagane jest obliczeniowe połączenie oddziaływań, należy je utworzyć przed wprowadzeniem obciążenia do kalkulatora.

Beton i stal zbrojeniowa

Podstawa normowa. Zależności obliczeniowe są zgodne z podejściem PN-EN 1992-1-1, Eurokod 2: Projektowanie konstrukcji z betonu. Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków. Dokumentami powiązanymi w zakresie oddziaływań są PN-EN 1990, Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji, oraz PN-EN 1991-1-1, Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 1-1: Oddziaływania ogólne, ciężary objętościowe, ciężar własny i obciążenia użytkowe w budynkach. Klasy ekspozycji betonu są związane z PN-EN 206, Beton: Wymagania, właściwości, produkcja i zgodność.

Obliczeniowa wytrzymałość betonu. Dla wszystkich klas betonu stosowany jest współczynnik materiałowy γc=1.5. Podstawową obliczeniową wytrzymałość na ściskanie otrzymuje się przez podzielenie wytrzymałości charakterystycznej fck przez 1.5. Dla klas do C50/60 stosuje się dodatkowo αc=1.00, natomiast dla C55/67 i wyższych αc=0.95.

fcd = fck / 1.5

Parametry bloku naprężeń betonu. Dla klas C8/10-C50/60 w obliczeniach stosuje się εcu=3.5‰, ω=0.810 oraz k2=0.416. Dla betonów o większej wytrzymałości wartości te są zmniejszane:

• C55/67: εcu=3.2‰, ω=0.754, k2=0.403.
• C60/75: εcu=3.0‰, ω=0.694, k2=0.380.
• C70/85: εcu=2.8‰, ω=0.642, k2=0.371.
• C80/95: εcu=2.8‰, ω=0.605, k2=0.366.
• C90/105: εcu=2.8‰, ω=0.590, k2=0.366.

Wytrzymałość betonu na rozciąganie. Przy obliczaniu zbrojenia minimalnego stosowane są wartości fctm zależne od klasy betonu. Dla C8/10-C25/30 wynoszą one odpowiednio 1.2, 1.6, 1.9, 2.2 i 2.6 MPa; dla C30/37-C50/60: 2.9, 3.2, 3.5, 3.8 i 4.1 MPa; a dla C55/67-C90/105: 4.2, 4.4, 4.6, 4.8 i 5.0 MPa.

Stal zbrojeniowa. Dla B500A, B500B i B500C charakterystyczną granicę plastyczności przyjmuje się jako fyk=500 MPa, współczynnik materiałowy jako γs=1.15, a moduł sprężystości jako Es=200000 MPa. Wynikowa obliczeniowa granica plastyczności wynosi zatem fyd=434.783 MPa.

Otulina betonu i wysokość użyteczna

Otulina betonu. Przy uproszczonym wyborze według warunków ekspozycji kalkulator stosuje 20 mm dla wnętrza o normalnej wilgotności, 25 mm dla wnętrza o podwyższonej wilgotności, 30 mm dla warunków zewnętrznych i 40 mm przy kontakcie z gruntem.

Klasy ekspozycji. Kalkulator stosuje następujące stałe wartości: X0 = 20 mm; XC1 = 30 mm; XC2, XC3, XC4 = 35 mm; XD1, XD2, XD3 = 50 mm; XA1 = 25 mm; XA2 = 30 mm; XA3 = 40 mm; XF = 40 mm; XS = 50 mm.

Wysokość użyteczna. Obliczenia odnoszą się do środka podłużnego pręta zbrojeniowego. Po ustaleniu średnicy pręta wysokość użyteczna jest więc równa wysokości całkowitej pomniejszonej o otulinę betonu i połowę średnicy pręta.

d = h - z1 - φ1/2

Dla drugiej warstwy zbrojenia położenie środka prętów jest wyznaczane w ten sam sposób:

d2 = z2 + φ2/2

Obliczenia iteracyjne. Średnica pręta wpływa na wysokość użyteczną, a wysokość użyteczna wpływa na wymaganą powierzchnię zbrojenia. Dlatego obliczenia rozpoczynają się od założonej średnicy 12 mm, następnie dobierana jest średnica, ponownie obliczana wysokość użyteczna i cały proces jest powtarzany. Wykonywanych jest maksymalnie 12 iteracji.

Wymagana powierzchnia zbrojenia głównego

Znormalizowany moment zginający. Po wyznaczeniu momentu obliczeniowego określany jest bezwymiarowy parametr opisujący stopień wykorzystania przekroju betonowego:

αm = MEd / (αc · fcd · b · d2)

Obliczenia są kontynuowane tylko wtedy, gdy wartość pozostaje w zakresie ważności przyjętego modelu. Warunek graniczny ma postać αm / (ω/k2) ≤ 0.25.

Ramię sił wewnętrznych. Dla poprawnego przekroju wyznaczany jest współczynnik ζ:

ζ = 0.5 + √(0.25 - αm / (ω/k2))

Obliczeniowa powierzchnia zbrojenia rozciąganego jest następnie wyznaczana z warunku równowagi momentu zginającego:

As,calc = MEd / (fyd · ζ · d)

Zbrojenie minimalne. Jednocześnie obliczana jest minimalna powierzchnia zbrojenia podłużnego. Przyjmowana jest większa z dwóch wartości wynikających z zależności normowych:

As,min = max(0.26 · fctm/fyk; 0.0013) · b · d

Warunek końcowy. Zbrojenie główne musi spełniać zarówno wymaganie wynikające z obliczeń na zginanie, jak i wymaganie dotyczące zbrojenia minimalnego.

As,req = max(As,calc; As,min)

Kiedy obliczana jest druga warstwa zbrojenia

Granica przekroju pojedynczo zbrojonego. Jeżeli dodatkowa warstwa zbrojenia jest włączona, kalkulator określa granicę, powyżej której część oddziaływania zostaje przypisana drugiej grupie prętów. Dla stali B500 obliczeniowe odkształcenie przy granicy plastyczności wynosi około 2.174‰.

ξlim = εcu / (εcu + 2.174)

αm,lim = ω · ξlim · (1 - k2 · ξlim)

Jeżeli αm ≤ αm,lim, dodatkowe zbrojenie obliczeniowe nie jest wymagane. Jeżeli granica zostanie przekroczona i druga warstwa jest włączona, obliczana jest jej wymagana powierzchnia.

Współczynnik drugiej warstwy. W tej części obliczeń stosowana jest tabelaryczna zależność między współczynnikiem ξ i αm. Wartość jest interpolowana w zakresie od 0.04 do 0.40. Stosunek d2/d jest ograniczony do zakresu 0.04-0.16.

Dodatkowy współczynnik zależy od klasy stali: dla B500A stosuje się 3, dla B500B 5, a dla B500C 10. Otrzymana wartość jest ograniczana do maksimum 1.

ks = min((ξ - d2/d) · kclass; 1)

Powierzchnia dodatkowego zbrojenia. Druga warstwa zbrojenia przejmuje część momentu przekraczającą granicę dla przekroju pojedynczo zbrojonego. Jej powierzchnia również nie może być mniejsza od obliczonego As,min.

As2 = max(As,min; (MEd - Mlim) / (ks · fyd · (d-d2)))

Dla belki swobodnie podpartej przy rozpatrywanych tutaj obciążeniach główne zbrojenie rozciągane znajduje się w dolnej części przekroju. W przypadku wspornika główne zbrojenie robocze znajduje się u góry.

Dobór średnicy prętów zbrojeniowych

Standardowy szereg średnic. Po określeniu wymaganej powierzchni zbrojenia kalkulator nie zwraca dowolnej średnicy pręta. Kolejno sprawdzane są średnice 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 32, 36 i 40 mm.

Dla każdej średnicy obliczana jest łączna powierzchnia przekroju podanej liczby prętów:

As,prov = n · π · φ2 / 4

Zasada doboru. Wybierana jest pierwsza średnica z szeregu, dla której rzeczywista powierzchnia zbrojenia nie jest mniejsza od wymaganej. Wynik jest więc zawsze zaokrąglany w górę do najbliższej dostępnej średnicy. Jeżeli nawet pręty o średnicy 40 mm nie zapewniają wymaganej powierzchni przy wybranej liczbie prętów, kalkulator wskazuje konieczność zwiększenia liczby prętów.

Rozmieszczenie zbrojenia w przekroju

Minimalny prześwit. Po dobraniu średnicy kalkulator sprawdza, czy wszystkie pręty mieszczą się w szerokości belki. Prześwit pomiędzy sąsiednimi prętami przyjmuje się jako nie mniejszy niż 20 mm i jednocześnie nie mniejszy niż średnica pręta.

aclear = max(20 mm; φ)

Wymagana szerokość. Sprawdzenie uwzględnia otulinę betonu z obu stron, średnice wszystkich prętów oraz wolne przestrzenie pomiędzy nimi.

breq = 2z + nφ + (n-1) · aclear

Przyjmuje się, że zbrojenie mieści się w przekroju tylko wtedy, gdy breq ≤ b. Zbrojenie główne i dodatkowa warstwa zbrojenia są sprawdzane oddzielnie.

Zbrojenie maksymalne. Dla każdej dobranej grupy prętów stosowana jest górna granica równa 4% całkowitej powierzchni przekroju betonowego.

As,max = 0.04 · b · h

Nośność na zginanie

Przyjęte zbrojenie. Po dobraniu średnicy prętów obliczenia są powtarzane z użyciem rzeczywistej powierzchni przyjętego zbrojenia. Kalkulator określa największy moment zginający MRd, jaki zbrojenie może przenieść w ramach zastosowanego modelu obliczeniowego.

Wyszukiwanie numeryczne. Wartość MRd jest wyznaczana przez wielokrotne dzielenie zakresu wyszukiwania na połowy. Wykonywanych jest maksymalnie 80 iteracji, dzięki czemu wynik jest praktycznie niezależny od ręcznie przyjętego kroku wyszukiwania.

Stopień wykorzystania nośności. Końcowa wartość procentowa jest stosunkiem obliczeniowego momentu zginającego do obliczonej nośności na zginanie.

ηM = MEd / MRd · 100%

Wartość do 100% oznacza, że dobrane zbrojenie podłużne spełnia warunek nośności na zginanie. Wartość powyżej 100% oznacza przekroczenie obliczonej nośności na zginanie.

Sprawdzenie na ścinanie

Stopień zbrojenia podłużnego. W sprawdzeniu na ścinanie wykorzystywana jest rzeczywista powierzchnia głównego zbrojenia podłużnego. Stopień zbrojenia jest ograniczony do maksymalnej wartości 0.02.

ρl = min(0.02; Asl / (b · d))

Współczynnik wymiarowy. Wysokość użyteczna d jest używana w milimetrach:

k = min(2; 1 + √(200/d))

Nośność betonu na ścinanie. Stosowany jest współczynnik CRd,c=0.12. Kalkulator wyznacza podstawową wartość nośności oraz wartość minimalną, a następnie przyjmuje większą z nich.

vRd,c,1 = 0.12 · k · (100 · ρl · fck)1/3

vmin = 0.035 · k3/2 · √fck

VRd,c = max(vRd,c,1; vmin) · b · d

Wpływ podłużnego naprężenia ściskającego przyjmuje się w tym sprawdzeniu jako równy zero. Stopień wykorzystania nośności na ścinanie jest oceniany niezależnie od nośności na zginanie.

ηV = VEd / VRd,c · 100%

Najczęściej zadawane pytania

Dlaczego ciężar własny belki wpływa na wynik, nawet jeśli obciążenie zewnętrzne się nie zmienia?

Ciężar własny belki jest obliczany z szerokości i wysokości przekroju i automatycznie dodawany do przyłożonego obciążenia. Zwiększenie wymiarów belki może więc zwiększyć jej nośność, ale jednocześnie zwiększa także obciążenie rozłożone działające na belkę.

Dlaczego kalkulator dobiera inną średnicę prętów po zmianie ich liczby?

Wymagana powierzchnia zbrojenia jest rozdzielana pomiędzy zadaną liczbę prętów. Większa liczba prętów może zapewnić wymagany przekrój przy mniejszej średnicy, ale kalkulator sprawdza również, czy cała grupa mieści się w szerokości belki z zachowaniem wymaganych prześwitów.

Dlaczego włączenie dodatkowego zbrojenia nie zawsze powoduje zastosowanie drugiej warstwy?

Druga warstwa zbrojenia jest wykorzystywana tylko po przekroczeniu obliczonej granicy dla przekroju pojedynczo zbrojonego. Jeżeli zbrojenie główne może zapewnić wymaganą nośność w ramach przyjętego modelu, wymagana powierzchnia dodatkowego zbrojenia pozostaje równa zero.

Co oznacza wykorzystanie nośności na poziomie 70% lub 110%?

Wartość procentowa oznacza stosunek obliczeniowego efektu oddziaływania do obliczonej nośności. Na przykład 70% oznacza wykorzystanie około siedmiu dziesiątych dostępnej nośności, natomiast 110% oznacza przekroczenie obliczonej nośności o około jedną dziesiątą.

Dlaczego sprawdzenie na zginanie może być spełnione, a sprawdzenie na ścinanie nie?

Są to niezależne sprawdzenia. Nośność na zginanie jest oceniana na podstawie momentu zginającego i zbrojenia podłużnego, natomiast nośność na ścinanie zależy od betonu, wysokości użytecznej i stopnia zbrojenia podłużnego, dlatego wartości wykorzystania mogą się znacznie różnić.