Výpočet momentu setrvačnosti a modulu průřezu

O výpočtu momentu setrvačnosti a modulu průřezu

Kalkulačka určuje geometrické vlastnosti průřezu, včetně momentu setrvačnosti a modulu průřezu: plochu A, druhé momenty plochy I, průřezové moduly W a poloměry setrvačnosti i. Tyto hodnoty se používají při kontrolách únosnosti a průhybu nosníků, sloupů a podobných prvků a také při volbě nebo porovnání tvarů průřezů.

Výpočet je prováděn pro typické tvary průřezů zadané lineárními rozměry. Výsledky se vztahují k osám procházejícím těžištěm průřezu, není-li uvedeno jinak.

Doporučení a orientační hodnoty

Co se počítá a v jakých jednotkách

Plocha průřezu A se vypočítá z lineárních rozměrů a představuje množství materiálu v průřezu. Jednotky: mm² (nebo ekvivalent po převodu).

Druhé momenty plochy I_x a I_y popisují rozložení plochy vzhledem k osám x a y a používají se ve výpočtech průhybu a vzpěru. Jednotky: mm⁴.

Průřezové moduly W_x a W_y se používají pro vztah mezi ohybovým momentem a maximálním ohybovým napětím. Jednotky: mm³.

Poloměry setrvačnosti i_x a i_y se používají při kontrolách stability prutů (například štíhlosti). Jednotky: mm.

Základní vztahy použité ve výpočtu

Z druhého momentu plochy na poloměr setrvačnosti kalkulačka používá definici poloměru setrvačnosti.

ix = √( Ix / A ), iy = √( Iy / A )

Průřezový modul se počítá jako poměr druhého momentu plochy k vzdálenosti od neutrální osy k nejvzdálenějšímu vláknu.

Wx = Ix / ymax, Wy = Iy / xmax

Zde y_max a x_max jsou maximální vzdálenosti od osy k krajním bodům průřezu v příslušném směru. U symetrických tvarů je to obvykle polovina výšky nebo šířky. U nesymetrických tvarů se mohou vzdálenosti k hornímu a dolnímu okraji lišit a použijí se odpovídající krajní vzdálenosti.

Jak se počítají druhé momenty plochy u složených průřezů

Složený průřez (například I-profil, U-profil, úhelník nebo dutý profil) je vyjádřen jako součet a rozdíl jednoduchých tvarů. Pro každou část kalkulačka nejprve určí její plochu A_k, polohu těžiště a vlastní druhé momenty plochy vzhledem k osám procházejícím těžištěm dané části.

Přenos na společné osy se provede pomocí věty o rovnoběžných osách.

Ix = Σ( Ix,k + Ak·Δyk2 ), Iy = Σ( Iy,k + Ak·Δxk2 )

Zde Δx_k a Δy_k jsou posuny těžiště části vůči celkovému těžišti průřezu. Otvory a výřezy se berou jako „záporné“ části, tedy jejich plochy a momenty se odečítají.

Typické vzorce pro základní tvary

Obdélník (šířka b, výška h) se počítá standardními vztahy vzhledem k osám procházejícím těžištěm.

A = b·h, Ix = b·h3/12, Iy = h·b3/12

Kruh (průměr d) se počítá standardními vztahy vzhledem k libovolnému průměru procházejícímu středem.

A = π·d2/4, Ix = Iy = π·d4/64

Kruhový dutý profil (vnější průměr D, tloušťka stěny t) se počítá jako rozdíl dvou kruhů. Vnitřní průměr d se bere jako d = D − 2t (za podmínky D > 2t).

A = π·(D2 − d2)/4, Ix = Iy = π·(D4 − d4)/64

Jak se volí výsledná hodnota při více osách a krajních vzdálenostech

Jednotlivé osy se vyhodnocují odděleně: I_x, W_x, i_x se vztahují k ohybu a stabilitě kolem osy x a I_y, W_y, i_y kolem osy y.

Minimální hodnoty mohou být zobrazeny jako „nejhorší případ“ pro stabilitu, zejména u nesymetrických průřezů. Často se používá i_min = min(i_x, i_y) a I_min = min(I_x, I_y).

Praktické využití výsledků

Ohyb a napětí se často posuzují pomocí průřezového modulu. Při stejném ohybovém momentu větší W znamená menší ohybové napětí.

Průhyb je citlivý na druhý moment plochy. Při stejném materiálu a podmínkách rozpětí je průhyb nepřímo úměrný I. Zvětšení výšky průřezu obvykle zvyšuje I_x výrazně více než zvětšení šířky.

Stabilita prutů se často váže na poloměr setrvačnosti a štíhlost. Běžný vztah používá poměr L/i, kde menší i dává kritičtější případ.

Odkaz na normy EU

EN 1993-1-1 (Eurocode 3) používá geometrické vlastnosti (plocha, druhé momenty plochy, poloměry setrvačnosti, průřezové moduly) při navrhování ocelových prvků.

EN 1995-1-1 (Eurocode 5) používá stejné vlastnosti pro dřevěné prvky při kontrolách únosnosti a použitelnosti.

EN 1999-1-1 (Eurocode 9) obdobně používá vlastnosti průřezu pro hliníkové konstrukce.

V těchto dokumentech jsou geometrické vzorce zpravidla brány jako standardní základ a vypočtené vlastnosti se pak používají v posouzeních pevnosti a stability.

FAQs

Jaký je rozdíl mezi druhým momentem plochy a průřezovým modulem

Druhý moment plochy I popisuje rozložení plochy a přímo ovlivňuje tuhost a průhyb. Průřezový modul W navíc zohledňuje vzdálenost ke krajním vláknům, takže je vhodný pro odhad ohybového napětí. U nesymetrického průřezu se může W lišit pro různé strany.

Proč má jeden průřez různé hodnoty kolem os x a y

Průřez může být tuhý v jednom směru a poddajný v druhém. Například vysoký úzký tvar má obvykle velké I_x a malé I_y. Proto se ohyb a vzpěr posuzují zvlášť pro každou osu.

Jak se zohledňuje dutina v dutém profilu nebo otvory v průřezu

Dutina se zohlední odečtením vnitřního tvaru od vnějšího. Vnitřní plocha a druhé momenty plochy se berou se záporným znaménkem, protože tam není materiál. U kruhového dutého profilu musí platit podmínka D > 2t.

Lze různé tvary průřezů porovnávat pouze podle plochy

Plocha ukazuje hmotnost při stejné hustotě materiálu, ale nevyjadřuje tuhost ani odolnost v ohybu. Dva průřezy se stejnou plochou mohou mít velmi odlišné I a W. U nosníků v ohybu se běžně porovnává W pro napětí a I pro průhyb.

Které výsledky se nejčastěji používají pro stabilitu sloupů

Běžně se sledují poloměry setrvačnosti a bere se minimální i, protože dává nejkritičtější štíhlost. To je důležité zejména u složených a nesymetrických průřezů. Následné posouzení pak zohlední účinnou délku, způsob podepření a příslušná pravidla Eurokódů.