Výpočet vzpěru sloupu

O výpočtu vzpěru sloupu

Tato kalkulačka ověřuje sloupek (stojku) na pevnost a stabilitu při osovém tlaku. Výpočet je založen na porovnání skutečných napětí s návrhovou pevností materiálu a na zohlednění vzpěru sloupu pomocí součinitele podélného vzpěru. Hodí se pro předběžný návrh průřezu a pro odhad rezervy při zadané délce a osové síle.

Doporučení a praktické orientační hodnoty

Návrhové normy. Pro ocel se běžně používá EN 1993-1-1 (Eurocode 3). Pro dřevo EN 1995-1-1 (Eurocode 5). Pro železobeton EN 1992-1-1 (Eurocode 2). Obecné zásady spolehlivosti a kombinace zatížení řeší EN 1990 (Eurocode 0).

Účinná délka sloupku. Nejprve se určí účinná délka l₀ (m) jako geometrická délka L (m) násobená součinitelem účinné délky m:

l0 = m · L

Kalkulačka používá typické hodnoty m pro vyjádření způsobu uložení konců. Zvolené m se zaokrouhlí na tyto hodnoty: 1.0, 0.8, 0.65, 2.2.

Plocha průřezu. Plocha A se používá v mm². Pro plný kruhový průřez:

A = π · d² / 4

Pro kruhovou trubku je plocha rozdíl ploch vnějšího a vnitřního kruhu. Vnitřní průměr se bere jako d - 2t.

Poloměr setrvačnosti. Pro posouzení štíhlosti je potřeba poloměr setrvačnosti i (mm). U I-průřezu se nejprve stanoví druhé momenty plochy I_x, I_y (mm⁴) a poloměry setrvačnosti podle os:

i_x = √(I_x / A), i_y = √(I_y / A)

Štíhlost se pak posuzuje podle „nejhorší“ osy (použije se maximální hodnota). To znamená, že sloupek se ověřuje ve směru, ve kterém nejdříve ztrácí stabilitu.

Štíhlost. Štíhlost λ (bezrozměrná) se vypočte z účinné délky a poloměru setrvačnosti:

λ = l0 · 1000 / i

Násobek 1000 převádí metry na milimetry, aby byly jednotky vzájemně konzistentní.

Napětí od osové síly. Při osové síle N v kN se napětí σ vypočte v MPa (protože 1 N/mm² = 1 MPa):

σ = N · 1000 / A

Pokud je σ menší nebo rovno návrhové pevnosti materiálu R_d (MPa), je podmínka pevnosti splněna.

Součinitel podélného vzpěru. Stabilita se zohledňuje součinitelem φ, který s rostoucí štíhlostí snižuje únosnost.

U dřevěných prvků se používá kusová závislost se zlomem při λ = 70:

pro λ ≤ 70: φ = 1 − 0.8 · (λ/100)²

pro λ > 70: φ = 3000 / λ²

Pro ostatní skupiny materiálů se použije tabulková/lineární závislost φ(λ) v rozsahu 0…200, která se postupně snižuje přibližně z 1.00 na 0.16. Pro λ > 200 se požadavek na štíhlost považuje za nesplněný.

Kontrola stability podle únosnosti. Vypočte se míra využití (bezrozměrná):

η = N · 1000 / (A · φ · R_d)

Pokud η ≤ 1, je stabilita podle únosnosti splněna. Je to ekvivalentní kontrole σ ≤ φ · R_d.

Mezní štíhlost. Dále se stanoví mezní štíhlost λ_lim jako funkce míry využití η. Interně se používá parametr α, omezený na 0.5…1.0, a poté:

α = clamp( σ / (φ · R_d), 0.5, 1.0 )

λ_lim = 180 − 60 · α

Tím vychází λ_lim zhruba od 150 (při nižších napětích) do 120 (při vyšším využití). Podmínka je splněna, pokud λ < λ_lim.

Místní stabilita pro I-průřezy. U některých tenkostěnných průřezů se navíc používá „redukovaná štíhlost“:

λ̄ = λ · √(R_d / E)

Zde E je modul pružnosti (MPa). Typické hodnoty použité v kalkulačce jsou: E = 10000 (dřevo), E = 200000 (ocel), E = 30000 (železobeton). Podle λ̄ se volí mezní hodnoty pro stojinu a pásnici. Poté se štíhlost stojiny a pásnice vypočte z poměrů šířka/tloušťka a porovná s mezemi. Pro orientaci může kalkulačka zobrazit i doporučený rozestup výztužných žeber:

s ≈ 3 · h_w

kde h_w je účinná výška stojiny (mm) nebo obdobný charakteristický rozměr pro zvolený tenkostěnný prvek.

FAQs

Proč se zatížení zadává v kN, ale napětí je v MPa?

Výpočet používá σ = N·1000/A. Síla N v kN se převede na N vynásobením 1000 a plocha je v mm². Výsledek je v N/mm², což je číselně stejné jako MPa.

Proč je potřeba součinitel účinné délky m?

Vyjadřuje, jak uložení konců ovlivňuje vzpěr. Při menším zajištění konců roste účinná délka, štíhlost se zvětšuje a součinitel vzpěru φ klesá.

Proč se používá maximální štíhlost podle dvou os?

U nesouměrných nebo tenkostěnných průřezů se stabilita liší podle směru. Kalkulačka bere nejhorší osu, protože k vybočení dojde kolem osy s největší štíhlostí.

Co znamená podmínka η ≤ 1 v kontrole stability?

Znamená to, že zatížení nepřekračuje redukovanou únosnost se zohledněním vzpěru: N ≤ A·φ·R_d/1000. Pokud je η větší než 1, sloupek je při daných předpokladech přetížen.

Proč je navíc kontrola λ < λ_lim?

Omezuje příliš štíhlé prvky i tehdy, když kontrola podle únosnosti vychází příznivě. V této kalkulačce se λ_lim automaticky snižuje s rostoucím využitím, takže požadavek na štíhlost je přísnější pro více zatížené sloupky.