Výpočet vzpěru sloupu

O výpočtu vzpěru sloupu

Výpočet vzpěru sloupu umožňuje posoudit pevnost, stabilitu, štíhlost a vzpěrnou únosnost ocelových, dřevěných a železobetonových sloupů při osovém tlaku. U železobetonových sloupů výpočet zohledňuje také únosnost průřezu v ohybu.

Výpočet stanovuje únosnost sloupu v kN, posuzuje pevnost a vzpěrnou stabilitu a určuje nejnepříznivější směr ztráty stability. Metodika zohledňuje vlastnosti materiálu, geometrii průřezu, délku sloupu a podmínky jeho podepření.

Pokyny a doporučení

Obecné principy výpočtu sloupu

Geometrické charakteristiky. Z rozměrů průřezu se vypočítá plocha A v mm² a plošné momenty setrvačnosti I_y a I_z v mm⁴. U dutých průřezů se od plochy vnějšího obrysu odečítá plocha vnitřní dutiny. U obdélníkových ocelových dutých profilů se zohledňuje zaoblení rohů, zatímco u úhelníků se určují hlavní osy setrvačnosti.

Poloměry setrvačnosti vzhledem ke dvěma osám se vypočítají z plochy průřezu a odpovídajících plošných momentů setrvačnosti:

iy = √(Iy / A)

iz = √(Iz / A)

Vzpěrná délka. Zohledňuje vliv podepření konců sloupu na jeho vzpěrnou stabilitu. Vypočítá se podle následujícího vztahu:

Lcr = K × L

Zde L představuje skutečnou délku sloupu v metrech a K je součinitel vzpěrné délky. Používají se následující hodnoty:

• Kloubové uložení na obou koncích: K = 1.0.
• Vetknutí na jednom konci a kloubové uložení na druhém: K = 0.7.
• Vetknutí na obou koncích: K = 0.5.
• Vetknutí na jednom konci a volný druhý konec: K = 2.0.

Geometrická štíhlost. Vyjadřuje poměr vzpěrné délky k poloměru setrvačnosti průřezu. Vypočítává se samostatně pro každý směr:

λ = Lcr / i

Při výpočtu štíhlosti se vzpěrná délka i poloměr setrvačnosti vyjadřují v milimetrech. Vyšší štíhlost zvyšuje vliv vzpěru na únosnost sloupu. Neexistuje jediná univerzální mezní hodnota štíhlosti použitelná pro všechny materiály a průřezy.

Výpočet ocelového sloupu podle Eurokódu 3

Ocelové sloupy se počítají podle ustanovení normy EN 1993-1-1 „Eurokód 3: Navrhování ocelových konstrukcí - Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby“.

Pevnost oceli. Návrhová únosnost se stanovuje na základě meze kluzu f_y. Pro tloušťky prvků do 16 mm se používají hodnoty 235 MPa pro S235, 275 MPa pro S275 a 355 MPa pro S355. Při větších tloušťkách se mez kluzu snižuje. Například ocel S355 s tloušťkou větší než 16 mm a nejvýše 40 mm má mez kluzu 345 MPa.

Průřez se nejprve zatřídí podle poměru šířky k tloušťce nebo průměru k tloušťce jednotlivých prvků průřezu. Výpočty se provádějí pro průřezy tříd 1, 2 a 3. Pro průřezy třídy 4, které vyžadují stanovení účinné plochy se zohledněním lokálního boulení, se výsledek neposkytuje.

Únosnost průřezu v tlaku. Stanovuje se vynásobením plochy průřezu mezí kluzu oceli:

Nc,Rd = A × fy

Plocha A se vyjadřuje v mm² a mez kluzu v MPa. Výsledná síla je v newtonech a na kN se převádí dělením 1000. Při výpočtu únosnosti se používají dílčí součinitele bezpečnosti γ_M0 = 1.0 a γ_M1 = 1.0.

Eulerovo kritické vzpěrné zatížení. Pro každou hlavní osu se vypočítá zatížení, při kterém může ideální přímý sloup ztratit vzpěrnou stabilitu:

Ncr = π2 × E × I / Lcr2

Modul pružnosti oceli se uvažuje E = 210000 MPa. Menší plošný moment setrvačnosti nebo větší vzpěrná délka snižují kritické vzpěrné zatížení.

Snížení únosnosti. Pro zohlednění počátečních imperfekcí a vlastností ocelových profilů se používají vzpěrnostní křivky a, b, c a d. Jejich součinitele imperfekce α jsou postupně 0.21, 0.34, 0.49 a 0.76.

Vzpěrnostní křivka se vybírá podle tvaru průřezu, směru vybočení a způsobu výroby. Pro duté profily tvářené za tepla podle EN 10210 se používá křivka a, zatímco pro duté profily tvářené za studena podle EN 10219 se používá křivka c. U profilů I závisí výběr také na poměru výšky k šířce, tloušťce pásnic a způsobu výroby.

Poměrná štíhlost a součinitel vzpěrnosti χ se vypočítají postupně:

λrel = √(A × fy / Ncr)

Φ = 0.5 × [1 + α(λrel - 0.2) + λrel2]

χ = 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)]

Součinitel χ je omezen maximální hodnotou 1.0. Pokud poměrná štíhlost nepřesahuje 0.2, používá se χ = 1.0. Vzpěrná únosnost se následně vypočítá jako:

Nb,Rd = χ × A × fy

Únosnost při torzním vzpěru. U otevřených průřezů, včetně profilů I, U a úhelníků, se navíc posuzuje možnost ztráty stability spojené s pootočením průřezu. Při výpočtu se používají torzní konstanta J, výsečový moment setrvačnosti I_w a modul pružnosti ve smyku G = E / 2.6, přibližně 80769 MPa. Vzpěrná délka pro torzní vzpěr se uvažuje nejméně rovna skutečné délce sloupu.

Konečná vzpěrná únosnost ocelového sloupu se určí jako nejnižší hodnota únosnosti při ohybovém vzpěru kolem hlavních os a při odpovídajících formách torzního nebo ohybově-torzního vzpěru.

Výpočet dřevěného sloupu podle Eurokódu 5

Dřevěné sloupy se počítají podle ustanovení normy EN 1995-1-1 „Eurokód 5: Navrhování dřevěných konstrukcí - Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby“. Vlastnosti konstrukčního dřeva vycházejí z pevnostních tříd definovaných normou EN 338.

Pevnost dřeva v tlaku. Pro pevnostní třídy C16, C18, C24 a C30 činí charakteristická pevnost v tlaku rovnoběžně s vlákny f_c,0,k postupně 17, 18, 21 a 23 MPa. Pětiprocentní kvantil modulu pružnosti E_0,05 se uvažuje v hodnotách 5400, 6000, 7400 a 8000 MPa.

Vliv provozních podmínek. Návrhová pevnost dřeva se upravuje modifikačním součinitelem k_mod, který zohledňuje vlhkostní podmínky a dobu trvání zatížení. Pro stálé, dlouhodobé, střednědobé, krátkodobé a okamžité zatížení se používají následující hodnoty:

• Třídy provozu 1 a 2: 0.60, 0.70, 0.80, 0.90 a 1.10.
• Třída provozu 3: 0.50, 0.55, 0.65, 0.70 a 0.90.

Návrhová pevnost v tlaku se vypočítá s použitím dílčího součinitele bezpečnosti materiálu γ_M = 1.3:

fc,0,d = kmod × fc,0,k / 1.3

Únosnost průřezu v tlaku je součinem plochy a návrhové pevnosti dřeva v tlaku:

Nc,Rd = A × fc,0,d

Vzpěr dřevěného sloupu. Poměrná štíhlost se vypočítá pro každou hlavní osu pomocí vzpěrné délky, poloměru setrvačnosti a vlastností dřeva:

λrel = Lcr / (π × i) × √(fc,0,k / E0,05)

Snížení únosnosti se zohledňuje součinitelem vzpěrnosti k_c. Pro jeho stanovení se používá součinitel počátečních imperfekcí β_c = 0.2. Pokud poměrná štíhlost nepřesahuje 0.3, používá se k_c = 1.0. Při větší štíhlosti platí následující vztahy:

k = 0.5 × [1 + 0.2(λrel - 0.3) + λrel2]

kc = 1 / [k + √(k2 - λrel2)]

Vzpěrná únosnost se vypočítá jako k_c × A × f_c,0,d. Výpočet se provádí pro obě osy a vybere se nižší hodnota.

Výpočet železobetonového sloupu podle Eurokódu 2

Železobetonové sloupy se posuzují pomocí výpočtového modelu založeného na normě EN 1992-1-1 „Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby“. Posouzení zohledňuje únosnost betonu a výztuže, počáteční excentricitu osového zatížení a účinky druhého řádu.

Návrhové vlastnosti materiálů. Pro pevnostní třídy betonu od C20/25 do C90/105 se návrhová pevnost v tlaku vypočítá podle vztahu:

fcd = 0.85 × fck / 1.5

Zde f_ck představuje charakteristickou válcovou pevnost betonu v tlaku v MPa. Pro podélnou výztuž B500 s mezí kluzu 500 MPa a dílčím součinitelem bezpečnosti 1.15 je návrhová mez kluzu:

fyd = 500 / 1.15 = 434.78 MPa

Plocha výztuže. Vypočítává se z počtu a průměru podélných prutů. U obdélníkových průřezů jsou pruty rozmístěny po obvodu, zatímco u kruhových průřezů jsou rozmístěny po kružnici. Polohy jejich středů se určují s ohledem na krycí vrstvu betonu a příčnou výztuž o průměru 8 mm.

Minimální plocha podélné výztuže se uvažuje nejméně 0.2% plochy betonového průřezu a nejméně 10% návrhové osové síly dělené návrhovou mezí kluzu výztuže. Maximální stupeň vyztužení je omezen na 4%. Kontrolují se také vzdálenosti mezi pruty a možnost jejich rozmístění v zadaném průřezu.

Únosnost průřezu. Pro beton do třídy C50/60 se používá parabolicko-obdélníkový pracovní diagram napětí a přetvoření s přetvořením 2.0‰ při dosažení maximálního napětí a mezním přetvořením 3.5‰. U vyšších pevnostních tříd betonu se parametry diagramu mění podle pevnosti betonu. Modul pružnosti výztuže se uvažuje 200000 MPa.

Z rozdělení přetvoření se vypočítají síly v betonu a v každém výztužném prutu. Z těchto sil se stanovují dvojice hodnot osové síly N a ohybové únosnosti M pro každou hlavní osu. Tím vzniká interakční diagram osové síly a ohybového momentu, podle kterého se určuje maximální přípustné zatížení.

Počáteční excentricita. I při osovém tlaku se uvažuje minimální odchylka působiště zatížení od středu průřezu:

emin = max(20 mm, h / 30)

Zde h představuje rozměr průřezu v posuzovaném směru. Při posouzení vzpěrné stability se navíc zohledňuje počáteční imperfekce L_cr / 400. Jako počáteční excentricita se použije větší z těchto hodnot.

Účinky druhého řádu. Zvýšení ohybového momentu způsobené deformací tlačeného sloupu se posuzuje metodou jmenovité křivosti. Uvažuje se součinitel dotvarování betonu φ = 2.0. Mezní štíhlost, při jejímž překročení se zohledňuje dodatečný ohyb, závisí na úrovni osového tlaku, množství výztuže a dotvarování.

V případě potřeby se dodatečná excentricita vypočítá ze druhé mocniny vzpěrné délky a křivosti:

e2 = Lcr2 / 10 × fyd / (200000 × 0.45deff) × kr × kφ

Zde d_eff představuje účinnou výšku výztuže, k_r zohledňuje úroveň osového zatížení a k_φ zohledňuje dotvarování. Výsledná excentricita zvyšuje návrhový ohybový moment.

Stanovení únosnosti. Pro různé hodnoty osové síly se ověřuje, zda je ohybová únosnost průřezu alespoň rovna momentu vyvolanému touto silou a odpovídající excentricitou:

MRd(N) ≥ N × e(N)

Maximální přípustná osová síla se stanovuje samostatně pro oba hlavní směry. Při posouzení pevnosti se zohledňuje počáteční excentricita, zatímco při posouzení vzpěrné stability se navíc uvažují účinky druhého řádu. Za rozhodující únosnost se považuje nejnižší z vypočtených hodnot.

Interpretace výsledků výpočtu

Využití únosnosti. Udává procentuální podíl návrhové únosnosti využitý působícím osovým zatížením N_Ed. Vypočítává se samostatně pro pevnost a vzpěrnou únosnost:

η = NEd / NRd × 100%

Hodnota nižší než 100% znamená, že příslušné posouzení vyhovuje. Při 100% se návrhové zatížení rovná vypočtené únosnosti. Hodnota vyšší než 100% znamená nedostatečnou únosnost z hlediska posuzovaného kritéria.

Rozhodující podmínka. Aby celkové posouzení vyhovělo, musí být splněny obě kontroly. Pokud je pevnost průřezu dostatečná, ale vzpěrná únosnost nevyhovuje, sloup při výpočtu nevyhoví. U průřezů s rozdílnými vlastnostmi vzhledem k hlavním osám je rozhodující směr s nižší únosností.

FAQs

Proč sloup vyhovuje z hlediska pevnosti, ale nevyhovuje při posouzení vzpěru?

Pevnost vyjadřuje schopnost materiálu a průřezu přenášet tlakové zatížení. Vzpěrná únosnost závisí také na délce sloupu, podmínkách podepření a tuhosti průřezu. Dlouhý a relativně štíhlý sloup proto může ztratit stabilitu při zatížení výrazně nižším, než odpovídá mezi pevnosti materiálu.

Proč mají sloupy se stejnou plochou průřezu různou únosnost?

Stejná plocha průřezu neznamená stejnou tuhost. Materiál rozmístěný dále od středu průřezu může zajistit větší plošný moment setrvačnosti a lepší odolnost proti ohybovému vzpěru. Tvar průřezu a rozložení materiálu proto významně ovlivňují vypočtenou únosnost sloupu.

Jak výrazně ovlivňují podmínky podepření vzpěrnou únosnost sloupu?

Podmínky podepření určují vzpěrnou délku, která v Eulerově vzorci pro kritické vzpěrné zatížení vystupuje ve druhé mocnině ve jmenovateli. Například při stejné skutečné délce zvýšení součinitele K z 1.0 na 2.0 sníží ideální kritické zatížení čtyřnásobně. Skutečná návrhová vzpěrná únosnost závisí také na vlastnostech materiálu a příslušné vzpěrnostní křivce.

Proč nelze štíhlost sloupu posuzovat podle jediné mezní hodnoty?

Stejná geometrická štíhlost neznamená stejnou rezervu vzpěrné stability u oceli, dřeva a železobetonu. Každý materiál má odlišné deformační vlastnosti a vlastní výpočtový model. Kalkulačka proto používá štíhlost jako pomocnou charakteristiku, zatímco konečné posouzení vychází z poměru působícího zatížení k vypočtené únosnosti.

Proč se při osovém zatížení železobetonového sloupu zohledňuje ohyb?

I při nominálně centrickém tlaku se zohledňují malé geometrické imperfekce a odchylky v poloze působiště zatížení. Ty vytvářejí ohybový moment, který se může při deformaci sloupu zvětšovat. Vzpěrná stabilita železobetonového sloupu se proto posuzuje s ohledem na excentricitu a účinky druhého řádu, nikoli pouze podle plochy betonu a výztuže.