Výpočet průhybu nosníku

O výpočtu průhybu nosníku

Kalkulačka počítá průhyb a kontroluje pevnost nosníku v ohybu pro rovnoměrně rozložené zatížení (kg/m nebo kN/m) nebo pro soustředěnou sílu (kg nebo kN). Výpočet je založen na klasických vzorcích pružnosti a pevnosti pro zvolené uložení a geometrii průřezu.

Zohledňuje se také vlastní tíha nosníku. Výstup obsahuje vypočtený průhyb d (mm), dovolený průhyb d_lim (mm) a kontroly napětí (normálové a smykové). U některých tenkostěnných průřezů se navíc uvádí zjednodušené kontroly stojiny a pásnice.

Doporučení a orientační hodnoty

Odkaz na normy odpovídá inženýrské logice používané v Eurokódech. Průhyb a vnitřní účinky se stanovují z lineární pružné analýzy. Doporučení pro materiály a kontroly vycházejí z EN 1990 (základy), EN 1991 (zatížení), EN 1993-1-1 (ocel), EN 1995-1-1 (dřevo).

Jednotky a převod zatížení používají standardní tíhové zrychlení g = 9.80665. Platí tyto převody:

1 kN = 1000 N

1 kg ≈ 9.80665 N

Proto se pro převod kg/m → kN/m používá faktor 9.80665 / 1000. Pro opačný převod se používá faktor 1000 / 9.80665.

Materiál určuje modul pružnosti E, hustotu pro vlastní tíhu a pevnostní hodnoty používané v kontrolách.

• Ocel (EN 1993-1-1). Modul pružnosti: E = 200000 MPa. Hustota: 7850 kg/m³. Mezní hodnota pevnosti použitá v této kalkulačce: S235 → 197 MPa, S275 → 231 MPa, S355 → 298 MPa, S420 → 353 MPa. Součinitel pro smyk: k_v = 0.58.
• Dřevo (EN 1995-1-1). Modul pružnosti: E = 10000 MPa. Hustota pro vlastní tíhu: 700 kg/m³. Mezní hodnota pevnosti použitá v kalkulačce: C16 → 8.62 MPa, C24 → 12.92 MPa, C30 → 16.15 MPa. Součinitel pro smyk: k_v = 0.10.

Vlastní tíha nosníku se přičítá k vnějšímu zatížení. Zatížení na 1 m se získá z plochy průřezu A a hustoty ρ:

G = ρ · A · g

kde G je rovnoměrně rozložené zatížení od vlastní tíhy (N/m), ρ je hustota (kg/m³), A je plocha (mm², převádí se na m²) a g = 9.80665. Poté se G převede na kN/m nebo kg/m podle zvolených jednotek.

Charakteristiky průřezu se vypočítají ze zadaných rozměrů. Pro výpočet se používá:

• A plocha (mm²).
• I moment setrvačnosti k ose ohybu (mm⁴).
• W průřezový modul (mm³), typicky W = I / y, kde y je vzdálenost od neutrální osy k krajnímu vláknu (mm).

Schéma uložení ovlivňuje maximální ohybový moment a průhyb pomocí koeficientů. Pro rovnoměrně rozložené zatížení q se používají tyto číselné koeficienty:

• Kloub-kloub: koeficient průhybu k_f = 0.0130208333 (to je 5/384). Koeficient momentu k_M = 0.125001 (≈ 1/8).
• Vetknutí-kloub: k_f = 0.0054054054 (to je 1/185). k_M = 0.125 (to je 1/8).
• Vetknutí-vetknutí: k_f = 0.0026041667 (to je 1/384). k_M = 0.08333333 (to je 1/12).
• Konzola: k_f = 0.125 (to je 1/8). k_M = 0.5 (to je 1/2).

Vnitřní účinky pro rovnoměrné zatížení se počítají takto:

Mmax = kM · q · L²

kde q je celkové rovnoměrné zatížení (kN/m nebo N/m) a L je rozpětí (m nebo mm, převádí se na shodné jednotky).

Průhyb pro rovnoměrné zatížení se počítá takto:

d = kf · q · L⁴ / (E · I)

kde E je modul pružnosti (MPa), I je moment setrvačnosti (mm⁴) a d vychází v mm po převodu jednotek.

Soustředěná síla se počítá pomocí typických vzorců pro centrálně působící sílu. Pro průhyb se používá koeficient k_p (místo k_f), který závisí na schématu uložení:

• Kloub-kloub: k_p = 0.020833 (to je 1/48).
• Vetknutí-kloub: k_p = 0.00912.
• Vetknutí-vetknutí: k_p = 0.0052.
• Konzola: k_p = 0.3333333 (to je 1/3).

Potom se průhyb od síly P (N nebo kN) počítá takto:

d = kp · P · L³ / (E · I)

kde L je účinná délka pro zvolené schéma. Pro konzolu se v kontrole dovoleného průhybu používá zvětšená délka: L_eff = 2 · L.

Dovolený průhyb je definován pomocí dělitele n v pravidle d_lim = L_eff / n. Dělitel n se volí automaticky podle délky (mm):

• L_eff ≤ 1000: n = 120.
• 1000 < L_eff ≤ 3000: n lineárně od 120 do 150.
• 3000 < L_eff ≤ 6000: n lineárně od 150 do 200.
• 6000 < L_eff ≤ 24000: n lineárně od 200 do 250.
• 24000 < L_eff ≤ 36000: n lineárně od 250 do 300.
• L_eff > 36000: n = 300.

Tato volba odpovídá běžné praxi mezních stavů použitelnosti. Pro bytové a veřejné stropy se často používá rozsah L/200…L/300. U konzol bývají požadavky obvykle přísnější, proto se použije L_eff = 2·L.

Kontrola normálového napětí porovnává vypočtené napětí s dovolenou hodnotou pro zvolený materiál a třídu:

σ = Mmax / W

kde σ je normálové napětí (MPa). Kritérium je: σ ≤ v, kde v je zvolená pevnostní hodnota (MPa). Rezerva se zobrazuje v procentech jako v/σ − 1.

Kontrola smykového napětí porovnává vypočtené smykové napětí τ s limitem v · k_v:

τ ≤ v · kv

kde pro ocel platí k_v = 0.58 a pro dřevo k_v = 0.10. To dává jasný číselný limit pro smyk bez zbytečného komplikování výpočtu.

Současné působení napětí se u některých průřezů odhaduje ekvivalentním napětím a porovnává se s prahem 0.87 · v:

σeq ≤ 0.87 · v

Toto kritérium se používá jako inženýrská kontrola při současném působení normálového a smykového napětí.

Zjednodušené kontroly stojiny a pásnice u tenkostěnných prvků používají bezrozměrná kritéria. Pro stojinu se používá limit: λ ≤ 2.5. Pro pásnici se skutečný poměr porovnává s mezní hodnotou:

w = 0.5 · √(206000 / v)

Pokud podmínky nejsou splněny, praktické doporučení je zvětšit tloušťku nebo doplnit výztuhy.

FAQs

Proč jsou průhyb a dovolený průhyb u konzoly založeny na různých délkách?

U konzolových nosníků jsou průhyby více viditelné a požadavky na použitelnost bývají přísnější. Proto se pro kontrolu dovoleného průhybu používá L_eff = 2·L místo pouze geometrické délky konzoly. Tím je kritérium konzervativnější pro stejné rozpětí.

Co je zahrnuto v celkovém rovnoměrném zatížení?

Celkové rovnoměrné zatížení q je součtem vnějšího zatížení a vlastní tíhy nosníku. Vlastní tíha se počítá z hustoty materiálu a plochy průřezu s použitím g = 9.80665. Proto se průhyb i napětí mění i při stejném vnějším zatížení, pokud se změní materiál nebo geometrie.

Jaké pevnostní hodnoty se používají pro ocel a dřevo?

Pro ocel se používají pevné úrovně (MPa): S235 → 197, S275 → 231, S355 → 298, S420 → 353. Pro dřevo: C16 → 8.62, C24 → 12.92, C30 → 16.15. Tyto hodnoty se používají jako limity v kontrole normálového napětí.

Proč je potřebná smyková kontrola, když už je provedena kontrola ohybu?

Ohyb určuje napětí v krajních vláknech, ale smyk může být kritický v blízkosti podpor a v tenkých stojinách. Kontrola τ ≤ v·k_v přidává ověření chování stojiny a oblastí s vysokými smykovými silami. Pro ocel se používá k_v = 0.58. Pro dřevo se používá k_v = 0.10.

Jaké limity průhybu se běžně používají v praxi?

Často se používá rozsah L/200…L/300 podle účelu konstrukce a citlivosti povrchových úprav. V této kalkulačce se dělitel n mění od 120 do 300 podle délky nosníku, což pokrývá běžné inženýrské cíle. Pokud je potřeba přísnější kontrola, použijte horní část rozsahu a uplatněte konzolová omezení.