Výpočet průhybu a pevnosti nosníku

O výpočtu průhybu nosníku

Kalkulačka pro výpočet průhybu nosníku, jeho pevnosti a zatížení počítá průhyb a pevnost ocelového nosníku při statickém rovnoměrně rozloženém nebo soustředěném zatížení. Z rozměrů průřezu určí jeho geometrické charakteristiky, poté zohlední vlastní tíhu nosníku a vypočítá maximální ohybový moment, posouvající sílu, průhyb, normálové napětí a smykové napětí.

Výpočet se používá pro přímé ocelové nosníky s konstantním průřezem, malými deformacemi a lineárně pružným chováním materiálu. U soustředěného zatížení působí síla u nosníků podepřených na obou koncích uprostřed rozpětí a u konzoly na volném konci.

Orientační hodnoty a doporučení

Výpočtový model

Průhyb nosníku. Výpočet vychází z klasické teorie ohybu nosníků. Používá modul pružnosti oceli E = 210000 MPa a moment setrvačnosti průřezu I. Čím větší je moment setrvačnosti, tím menší je průhyb při stejném rozpětí a zatížení.

Geometrie průřezu. Ze zadaných rozměrů se vypočítá plocha průřezu A v mm², moment setrvačnosti I v mm⁴, pružný průřezový modul W v mm³ a statický moment plochy Q v mm³. Průřez se považuje za idealizovaný geometrický tvar bez poloměrů zaoblení a sklonu přírub.

Pružný průřezový modul se určuje ze vzdálenosti mezi neutrální osou a nejvzdálenějším bodem průřezu:

W = I / ymax

U průřezu, který není souměrný vůči ose ohybu, se nejprve vypočítá poloha jeho těžiště. U úhelníku výpočet předpokládá ohyb v rovině odpovídající orientaci zobrazené v kalkulačce.

Materiál a vlastnosti oceli

Modul pružnosti. Pro všechny třídy oceli se používá hodnota E = 210000 MPa. Tato hodnota vstupuje do výpočtu průhybu nosníku a vyjadřuje tuhost oceli v pružné oblasti.

Hustota. Pro výpočet hmotnosti a vlastní tíhy nosníku používá kalkulačka hustotu oceli ρ = 7850 kg/m³ a tíhové zrychlení g = 9.80665 m/s².

Mez kluzu. Pro oceli S235, S275, S355 a S420 používá kalkulačka odpovídající hodnoty f_y = 235, 275, 355 a 420 MPa. Tyto hodnoty se používají při kontrole napětí. U konkrétního ocelového výrobku může skutečná hodnota f_y záviset na tloušťce výrobku a příslušné výrobkové normě.

Jednotky zatížení a vlastní tíha

Rozložené zatížení. Lze je zadat v kg/m nebo kN/m. Hodnota zadaná v kg/m se považuje za kgf/m a převádí se na jednotky síly pomocí g = 9.80665 m/s²:

1 kgf/m = 0.00980665 kN/m

Soustředěné zatížení. Lze je zadat v kg nebo kN. Hodnota zadaná v kilogramech se považuje za kilogram-sílu:

1 kgf = 9.80665 N

Vlastní tíha. Nejprve se ze zadaných rozměrů vypočítá plocha průřezu A, poté se z objemu nosníku a hustoty oceli určí jeho hmotnost. Vlastní tíha se převede na rovnoměrně rozložené zatížení působící po celé délce nosníku:

qself = ρ · A · g

Při vnějším rozloženém zatížení je celkové rozložené zatížení:

q = qext + qself

Při působení vnější soustředěné síly P působí vlastní tíha nosníku stále jako rozložené zatížení q_self. Vlastní hmotnost nosníku je proto zahrnuta ve všech kombinacích podepření a zatížení.

Ohybový moment a posouvající síla

Vnitřní síly. Po určení celkového zatížení kalkulačka vypočítá maximální absolutní ohybový moment M a maximální posouvající sílu V. Rovnice závisí na způsobu podepření.

• Kloub-kloub: M = qL2/8 + PL/4, V = qL/2 + P/2.
• Vetknutí-kloub: M = qL2/8 + 3PL/16, V = 5qL/8 + 11P/16.
• Vetknutí-vetknutí: M = qL2/12 + PL/8, V = qL/2 + P/2.
• Konzola: M = qL2/2 + PL, V = qL + P.

Zde L označuje rozpětí nosníku, q celkové rovnoměrně rozložené zatížení včetně vlastní tíhy a P vnější soustředěnou sílu. Při vnějším rozloženém zatížení platí P = 0.

Maximální průhyb nosníku

Kloubově podepřený nosník. Maximální průhyb od rozloženého zatížení a soustředěné síly uprostřed rozpětí se vypočítá superpozicí:

d = 5qL4/(384EI) + PL3/(48EI)

Nosník vetknutý na obou koncích. Vetknutí obou konců výrazně snižuje průhyb:

d = qL4/(384EI) + PL3/(192EI)

Konzola. Maximální průhyb vzniká na volném konci:

d = qL4/(8EI) + PL3/(3EI)

Nosník vetknutý na jednom konci a kloubově podepřený na druhém. Poloha maximálního průhybu závisí na poměru rozloženého a soustředěného zatížení. Při působení pouze rozloženého zatížení:

d = (39 + 55√33)qL4/(65536EI)

Při působení pouze soustředěné síly uprostřed rozpětí:

d = √5 · PL3/(240EI)

Pokud současně působí soustředěná síla a rozložená vlastní tíha, jejich průhybové křivky se sečtou. Maximální hodnota se následně hledá po délce nosníku, protože její poloha nemusí být uprostřed rozpětí.

Jak se určuje mezní průhyb

Mezní průhyb. Vypočtený průhyb nosníku se porovnává s mezní hodnotou vyjádřenou jako L/n. Čím větší je součinitel n, tím menší je přípustný průhyb:

dlim = L / n

Pokud uživatel nezadá vlastní hodnotu n, kalkulačka použije vestavěnou praktickou orientační hodnotu podle rozpětí nosníku:

• pro L ≤ 1000 mm: n = 120;
• pro 1000 < L ≤ 3000 mm: n se lineárně zvyšuje od 120 do 150;
• pro 3000 < L ≤ 6000 mm: n se lineárně zvyšuje od 150 do 200;
• pro 6000 < L ≤ 24000 mm: n se lineárně zvyšuje od 200 do 250;
• pro 24000 < L ≤ 36000 mm: n se lineárně zvyšuje od 250 do 300;
• pro L > 36000 mm: n = 300.

V každém mezilehlém rozsahu se n nemění skokově, ale lineárně se interpoluje mezi uvedenými mezními hodnotami. Například při rozpětí 4000 mm vychází n ≈ 166.7 a mezní průhyb přibližně 24 mm. Pokud uživatel zadá vlastní hodnotu L/n, nahradí automatickou orientační hodnotu.

Kontrola pevnosti

Normálové napětí. Maximální napětí od ohybu se vypočítá z maximálního ohybového momentu a pružného průřezového modulu:

σ = M / W

Podmínka pevnosti je:

σ ≤ fy / γM0

Kalkulačka používá γ_M0 = 1.0. Například u oceli S235 se proto vypočtené normálové napětí porovnává s hodnotou 235 MPa.

Smykové napětí. Vypočítává se z maximální posouvající síly V, statického momentu plochy Q, momentu setrvačnosti I a příslušné šířky materiálu b:

τ = V · Q / (I · b)

Odpovídající mezní hodnota je:

τlim = fy / (√3 · γM0)

Při γ_M0 = 1.0 to odpovídá přibližně 135.7 MPa pro S235, 158.8 MPa pro S275, 205.0 MPa pro S355 a 242.5 MPa pro S420. Normálové a smykové napětí se kontrolují samostatně vůči příslušným mezním hodnotám.

Jak interpretovat výsledek

Tuhost. Vypočtený průhyb nosníku se porovnává s d_lim. Pokud platí d ≤ dlim, zvolený nosník splňuje použitý požadavek na průhyb. Pokud vypočtený průhyb mezní hodnotu překročí, je potřeba tužší kombinace rozpětí a průřezu nebo jiná stanovená hodnota L/n.

Pevnost. Normálové a smykové napětí se kontrolují samostatně vůči příslušným mezím. Pokud je podmínka splněna, kalkulačka zobrazí také rezervu v procentech vypočtenou z poměru mezního a vypočteného napětí:

rezerva = (σlim/σ - 1) · 100%

Stejný princip se používá pro smykové napětí s τ a τ_lim.

Související evropské normy

EN 1990 „Eurokód: Zásady navrhování konstrukcí“. Tato norma stanovuje obecné zásady navrhování konstrukcí včetně ověřování mezních stavů únosnosti a použitelnosti. Přípustný průhyb závisí na účelu konstrukce a použitých kritériích použitelnosti, proto kalkulačka používá vestavěnou stupnici L/n jako praktickou orientační hodnotu.

EN 1991 „Eurokód 1: Zatížení konstrukcí“. Tato řada norem stanovuje zásady pro určování účinků a zatížení působících na konstrukce. Zatížení použité při výpočtu nosníku by mělo odpovídat posuzované zatěžovací situaci.

EN 1993-1-1 „Eurokód 3: Navrhování ocelových konstrukcí - Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby“. Tato norma souvisí s vlastnostmi oceli používanými při kontrole pevnosti, únosností průřezu a součinitelem γ_M0. Kalkulačka používá γ_M0 = 1.0.

EN 10025-2 „Výrobky válcované za tepla z konstrukčních ocelí - Část 2: Technické dodací podmínky pro nelegované konstrukční oceli“. Tato norma stanovuje mechanické vlastnosti běžných konstrukčních ocelí. Jmenovité hodnoty f_y, které kalkulačka používá pro S235, S275, S355 a S420, je třeba posuzovat společně se skutečnou tloušťkou a typem ocelového výrobku.

FAQs

Proč může nosník vyhovět kontrole pevnosti, ale nevyhovět kontrole průhybu?

Pevnost a tuhost jsou různá kritéria. Ohybové napětí závisí především na poměru M/W, zatímco průhyb nosníku je velmi citlivý také na rozpětí a moment setrvačnosti I. Ocelový nosník proto může mít dostatečnou pevnost, ale přesto se prohnout více než připouští zvolený limit.

Proč má výška průřezu tak velký vliv na průhyb nosníku?

U obdélníkového průřezu platí pro moment setrvačnosti I = bh3/12, takže výška průřezu vstupuje do vztahu ve třetí mocnině. I mírné zvětšení výšky může výrazně zvýšit tuhost a snížit průhyb nosníku. Šířka výsledek také ovlivňuje, ale u tohoto tvaru průřezu je její vliv lineární.

Proč započítávat vlastní tíhu, když je vnější zatížení mnohem větší?

Vlastní tíha působí nepřetržitě po celé délce nosníku a vytváří dodatečný ohybový moment a průhyb. U těžkého průřezu nebo dlouhého rozpětí může být její vliv významný. Kalkulačka ji automaticky určí z plochy průřezu, hustoty oceli 7850 kg/m³ a délky nosníku.

Jak zvolit mezní průhyb L/n?

Pokud není stanoven jiné kritérium, může jako praktická orientace posloužit automatická hodnota kalkulačky pro výpočet průhybu a pevnosti nosníku, která se postupně mění přibližně od L/120 u krátkých nosníků po L/300 u dlouhých rozpětí. Pokud je pro konstrukci stanoven konkrétní limit, například L/250 nebo L/300, zadejte odpovídající hodnotu n. Čím větší je n, tím přísnější je omezení průhybu.

Proč se vypočtené parametry průřezu mohou mírně lišit od tabulek ocelových profilů?

Kalkulačka odvozuje A, I a W přímo ze zadaných rozměrů idealizovaného průřezu. Skutečné válcované profily mohou obsahovat poloměry zaoblení, konstrukční detaily a výrobní rozměry, které jsou zahrnuty v tabulkových charakteristikách průřezu. Proto je možný malý rozdíl oproti katalogovým hodnotám i při shodných hlavních rozměrech.