Výztuž železobetonového nosníku

O výpočtu výztuže železobetonového nosníku

Online kalkulačka pro výpočet výztuže železobetonového nosníku provádí výpočet výztuže, pevnosti a únosnosti obdélníkového betonového nosníku s prostým podepřením nebo vetknutého konzolového nosníku. Pro zadané zatížení stropu, rozpětí, rozměry průřezu, třídu betonu a parametry výztuže určuje ohybový moment, posouvající sílu, potřebný průřez výztuže, vhodný průměr prutů a využití únosnosti. Tyto hodnoty patří mezi hlavní parametry používané při posouzení pevnosti a průhybu železobetonového nosníku.

Výpočet probíhá krok za krokem. Nejprve se zadané zatížení spojí s vlastní tíhou nosníku, poté se určí vnitřní síly, účinná výška průřezu a požadovaná plocha výztuže. Po výběru standardního průměru prutů kalkulačka znovu zkontroluje geometrii průřezu, ověří, zda se pruty do nosníku vejdou, a vyhodnotí únosnost v ohybu a ve smyku.

Orientační hodnoty a doporučení

Postup výpočtu

Zatížení a jednotky. Rozměry průřezu a délka nosníku se zadávají v milimetrech. Před statickým výpočtem se délka převádí na metry. Spojité zatížení se používá v kN/m a bodové zatížení v kN. Pokud je zatížení zadáno v kg/m nebo kg, kalkulačka je převede na sílu pomocí tíhového zrychlení 9.81 m/s2.

q = qkg · 9.81 / 1000

P = Pkg · 9.81 / 1000

Vlastní tíha. Vlastní tíha se počítá automaticky ze skutečných rozměrů průřezu. Objemová hmotnost železobetonu se uvažuje 2500 kg/m3.

g = b · h · 2500 · 9.81 / 109

V tomto vztahu jsou b a h uvedeny v mm a výsledná hodnota g vychází v kN/m. U spojitého zatížení se vlastní tíha přičítá k vnějšímu zatížení.

Ohybový moment a posouvající síla

Prostě podepřený nosník. Pro rovnoměrně rozložené zatížení působící po celé délce rozpětí se používají standardní vztahy pro maximální ohybový moment uprostřed rozpětí a reakci v podporách.

MEd = (q + g) · L2 / 8

VEd = (q + g) · L / 2

Konzolový nosník. Při rovnoměrně rozloženém zatížení vznikají maximální vnitřní síly u vetknutí.

MEd = (q + g) · L2 / 2

VEd = (q + g) · L

Bodové zatížení. U prostě podepřeného nosníku se bodová síla považuje za působící uprostřed rozpětí. U konzoly se předpokládá působení na volném konci. Vlastní tíha nosníku zůstává rovnoměrně rozloženým zatížením.

MEd = g · L2 / 8 + P · L / 4

MEd,c = g · L2 / 2 + P · L

Součinitele zatížení. Kalkulačka na zadané vnější zatížení dodatečně neuplatňuje dílčí součinitele γG a γQ. Pokud je požadována návrhová kombinace zatížení, musí být sestavena před zadáním zatížení do kalkulačky.

Beton a výztužná ocel

Normový základ. Výpočtové vztahy vycházejí z přístupů EN 1992-1-1, Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí. Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby. Souvisejícími dokumenty pro zatížení jsou EN 1990, Eurokód: Zásady navrhování konstrukcí, a EN 1991-1-1, Eurokód 1: Zatížení konstrukcí. Část 1-1: Obecná zatížení, objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb. Třídy prostředí betonu souvisejí s EN 206, Beton: Specifikace, vlastnosti, výroba a shoda.

Návrhová pevnost betonu. Pro všechny třídy betonu se používá součinitel materiálu γc=1.5. Základní návrhová pevnost v tlaku se získá vydělením charakteristické pevnosti fck hodnotou 1.5. Pro třídy do C50/60 se navíc používá součinitel αc=1.00; pro třídy C55/67 a vyšší se používá αc=0.95.

fcd = fck / 1.5

Parametry tlakového bloku betonu. Pro třídy C8/10-C50/60 se ve výpočtu používají εcu=3.5‰, ω=0.810 a k2=0.416. U betonů vyšší pevnosti se tyto parametry snižují:

• C55/67: εcu=3.2‰, ω=0.754, k2=0.403.
• C60/75: εcu=3.0‰, ω=0.694, k2=0.380.
• C70/85: εcu=2.8‰, ω=0.642, k2=0.371.
• C80/95: εcu=2.8‰, ω=0.605, k2=0.366.
• C90/105: εcu=2.8‰, ω=0.590, k2=0.366.

Pevnost betonu v tahu. Při výpočtu minimální výztuže se používají hodnoty fctm závislé na třídě betonu. Pro C8/10-C25/30 jsou hodnoty postupně 1.2, 1.6, 1.9, 2.2 a 2.6 MPa; pro C30/37-C50/60 jsou 2.9, 3.2, 3.5, 3.8 a 4.1 MPa; pro C55/67-C90/105 jsou 4.2, 4.4, 4.6, 4.8 a 5.0 MPa.

Výztužná ocel. Pro B500A, B500B a B500C se uvažuje charakteristická mez kluzu fyk=500 MPa, součinitel materiálu γs=1.15 a modul pružnosti Es=200000 MPa. Výsledná návrhová mez kluzu je tedy fyd=434.783 MPa.

Krytí betonu a účinná výška

Krytí betonu. Při zjednodušeném výběru podle podmínek prostředí používá kalkulačka 20 mm pro vnitřní prostředí s běžnou vlhkostí, 25 mm pro vnitřní prostředí se zvýšenou vlhkostí, 30 mm pro venkovní prostředí a 40 mm pro kontakt se zeminou.

Třídy prostředí. Kalkulačka používá následující pevné hodnoty: X0 = 20 mm; XC1 = 30 mm; XC2, XC3, XC4 = 35 mm; XD1, XD2, XD3 = 50 mm; XA1 = 25 mm; XA2 = 30 mm; XA3 = 40 mm; XF = 40 mm; XS = 50 mm.

Účinná výška. Výpočet se vztahuje ke středu podélného výztužného prutu. Po určení průměru prutu se proto účinná výška zmenší o krytí betonu a polovinu průměru prutu.

d = h - z1 - φ1/2

Pro druhou vrstvu výztuže se poloha středu prutů určuje stejným způsobem:

d2 = z2 + φ2/2

Iterační přepočet. Průměr prutu ovlivňuje účinnou výšku a účinná výška ovlivňuje požadovanou plochu výztuže. Výpočet proto začíná předpokládaným průměrem 12 mm, následně vybere průměr, přepočítá účinnou výšku a výpočet zopakuje. Provádí se nejvýše 12 iterací.

Požadovaná plocha hlavní výztuže

Normovaný ohybový moment. Po určení návrhového momentu se vypočítá bezrozměrný parametr popisující využití betonového průřezu:

αm = MEd / (αc · fcd · b · d2)

Vnitřní výpočet pokračuje pouze tehdy, pokud hodnota zůstává v platném rozsahu použitého modelu. Mezní podmínka je αm / (ω/k2) ≤ 0.25.

Vnitřní rameno sil. Pro vyhovující průřez se určí součinitel ζ:

ζ = 0.5 + √(0.25 - αm / (ω/k2))

Vypočtená plocha tahové výztuže se následně určí z rovnováhy ohybového momentu:

As,calc = MEd / (fyd · ζ · d)

Minimální výztuž. Současně se vypočítá minimální plocha podélné výztuže. Použije se větší z obou normových výrazů:

As,min = max(0.26 · fctm/fyk; 0.0013) · b · d

Výsledný požadavek. Hlavní výztuž musí současně splnit požadavek z výpočtu na ohyb i požadavek na minimální výztuž.

As,req = max(As,calc; As,min)

Kdy se počítá druhá vrstva výztuže

Mez jednostranně vyztuženého průřezu. Pokud je zapnuta přídavná vrstva výztuže, kalkulačka určí mez, nad kterou se část účinku přenáší na druhou skupinu prutů. Pro ocel B500 je návrhové přetvoření na mezi kluzu přibližně 2.174‰.

ξlim = εcu / (εcu + 2.174)

αm,lim = ω · ξlim · (1 - k2 · ξlim)

Pokud αm ≤ αm,lim, žádná dodatečná výpočtová výztuž není potřebná. Pokud je mez překročena a druhá vrstva je zapnuta, vypočítá se její požadovaná plocha.

Součinitel druhé vrstvy. Pro tuto větev výpočtu se používá tabulkový vztah mezi součinitelem ξ a αm. Hodnota se interpoluje v rozsahu od 0.04 do 0.40. Poměr d2/d je omezen na rozsah 0.04-0.16.

Další součinitel závisí na třídě oceli: pro B500A se používá 3, pro B500B 5 a pro B500C 10. Výsledná hodnota je omezena maximálně na 1.

ks = min((ξ - d2/d) · kclass; 1)

Plocha přídavné výztuže. Druhá vrstva výztuže přenáší část momentu nad mez jednostranně vyztuženého průřezu. Její plocha rovněž nesmí být menší než vypočtené As,min.

As2 = max(As,min; (MEd - Mlim) / (ks · fyd · (d-d2)))

U prostě podepřeného nosníku při zde uvažovaných zatíženích se hlavní tahová výztuž nachází ve spodní části průřezu. U konzoly je hlavní pracovní výztuž umístěna nahoře.

Výběr průměru výztužných prutů

Standardní řada průměrů. Po určení požadované plochy výztuže kalkulačka nevrací libovolný průměr prutu. Postupně kontroluje tyto průměry: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 32, 36 a 40 mm.

Pro každý průměr se vypočítá celková průřezová plocha zadaného počtu prutů:

As,prov = n · π · φ2 / 4

Princip výběru. Vybere se první průměr v řadě, pro který skutečná plocha výztuže není menší než požadovaná plocha. Výsledek se tedy vždy zaokrouhluje nahoru na nejbližší dostupný průměr. Pokud ani pruty o průměru 40 mm neposkytují při zvoleném počtu prutů požadovanou plochu, kalkulačka uvede, že je nutné zvýšit počet prutů.

Uspořádání výztuže v průřezu

Minimální světlá vzdálenost. Po výběru průměru kalkulačka zkontroluje, zda se všechny pruty vejdou do šířky nosníku. Světlá vzdálenost mezi sousedními pruty se uvažuje nejméně 20 mm a současně nejméně jako průměr prutu.

aclear = max(20 mm; φ)

Požadovaná šířka. Kontrola zahrnuje krytí betonu na obou stranách, průměry všech prutů a světlé mezery mezi nimi.

breq = 2z + nφ + (n-1) · aclear

Výztuž se považuje za umístitelnou pouze tehdy, pokud breq ≤ b. Hlavní a přídavná vrstva výztuže se kontrolují samostatně.

Maximální vyztužení. Pro každou vybranou skupinu prutů se používá horní mez rovná 4 % celé plochy betonového průřezu.

As,max = 0.04 · b · h

Únosnost v ohybu

Skutečně použitá výztuž. Po výběru průměru prutů se výpočet zopakuje se skutečně použitou plochou výztuže. Kalkulačka určí největší ohybový moment MRd, který je tato výztuž schopna přenést v rámci použitého výpočtového modelu.

Numerické hledání. Hodnota MRd se určuje opakovaným půlením hledaného intervalu. Provádí se nejvýše 80 iterací, takže výsledek je prakticky nezávislý na případném ručně zvoleném kroku hledání.

Využití únosnosti. Výsledné procento je poměrem návrhového ohybového momentu k vypočtené únosnosti v ohybu.

ηM = MEd / MRd · 100%

Hodnota do 100 % znamená, že zvolená podélná výztuž vyhovuje kontrole na ohyb. Hodnota nad 100 % znamená překročení vypočtené únosnosti v ohybu.

Kontrola smyku

Stupeň podélného vyztužení. Při kontrole smyku se používá skutečně použitá plocha hlavní podélné výztuže. Stupeň vyztužení je omezen maximální hodnotou 0.02.

ρl = min(0.02; Asl / (b · d))

Součinitel velikosti. Účinná výška d se používá v milimetrech:

k = min(2; 1 + √(200/d))

Smyková únosnost betonu. Používá se součinitel CRd,c=0.12. Kalkulačka určí základní hodnotu únosnosti a minimální mez a poté použije vyšší výsledek.

vRd,c,1 = 0.12 · k · (100 · ρl · fck)1/3

vmin = 0.035 · k3/2 · √fck

VRd,c = max(vRd,c,1; vmin) · b · d

Příspěvek podélného tlakového napětí se v této kontrole uvažuje jako nulový. Využití smykové únosnosti se posuzuje odděleně od pevnosti v ohybu.

ηV = VEd / VRd,c · 100%

FAQs

Proč vlastní tíha nosníku ovlivňuje výsledek, i když se vnější zatížení nemění?

Vlastní tíha nosníku se počítá ze šířky a výšky průřezu a automaticky se přičítá k působícímu zatížení. Zvětšení rozměrů nosníku proto může zvýšit jeho únosnost, ale současně také zvýší rovnoměrně rozložené zatížení, které na něj působí.

Proč kalkulačka po změně počtu prutů vybere jiný průměr?

Požadovaná plocha výztuže se rozděluje mezi zadaný počet prutů. Větší počet prutů může zajistit požadovanou plochu s menším průměrem, kalkulačka však současně kontroluje, zda se celá skupina vejde do šířky nosníku při dodržení požadovaných světlých vzdáleností.

Proč zapnutí přídavné výztuže nevede vždy k návrhu druhé vrstvy výztuže?

Druhá vrstva výztuže se používá pouze tehdy, pokud je překročena vypočtená mez jednostranně vyztuženého průřezu. Pokud hlavní výztuž dokáže zajistit požadovanou únosnost v rámci použitého modelu, požadovaná plocha přídavné výztuže zůstává nulová.

Co znamená využití únosnosti 70 % nebo 110 %?

Procento vyjadřuje poměr návrhového účinku k vypočtené únosnosti. Například 70 % znamená využití přibližně sedmi desetin dostupné únosnosti, zatímco 110 % znamená překročení vypočtené únosnosti přibližně o jednu desetinu.

Proč může kontrola na ohyb vyhovět, zatímco kontrola smyku nevyhoví?

Jde o dvě nezávislé kontroly. Únosnost v ohybu se posuzuje podle ohybového momentu a podélné výztuže, zatímco smyková únosnost závisí na betonu, účinné výšce a stupni podélného vyztužení, takže procenta využití se mohou výrazně lišit.