Výpočet krokve - Velikost a průřez podle zatížení

O výpočtu krokví

Tento kalkulátor krokví provádí výpočet délky, rozměrů a zatížení dřevěné krokve se dvěma podporami a konzolovým přesahem. Určuje délku krokve, zatížení, ohybový moment, smykovou sílu, průhyb a minimální obdélníkový průřez pro třídy pevnosti dřeva C16, C24 a C30.

Při návrhu průřezu krokve se současně kontroluje pevnost v ohybu, pevnost ve smyku a konečný průhyb. Výpočet zahrnuje stálé zatížení střechy, vlastní tíhu krokve, sníh, vítr a samostatné soustředěné zatížení při údržbě střechy.

Orientační hodnoty a doporučení

Geometrie krokve

Sklon střechy. Vodorovná vzdálenost B se měří mezi podporami, zatímco H představuje svislý výškový rozdíl mezi nimi. Pokud je výška známá, úhel střechy se vypočítá jako:

α = arctan(H / B)

Pokud je zadán úhel α, výška se vypočítá pomocí obráceného vztahu:

H = B · tan(α)

Rozpětí a přesah. Vodorovný přesah S nemění úhel střechy. Délka mezi podporami L_s a délka konzolového přesahu L_o se měří podél krokve:

Ls = B / cos(α)

Lo = S / cos(α)

Potřebná délka krokve. Po určení výšky průřezu h kalkulátor zohlední dodatečnou délku potřebnou pro svislé koncové řezy. Celková délka krokve se vypočítá jako:

L = Ls + Lo + h · tan(α)

Stálé zatížení a vlastní tíha

Stálé zatížení. Zahrnuje hmotnost zvolené střešní krytiny, dodatečné stálé zatížení od ostatních vrstev střechy a vlastní tíhu krokve. Dodatečné zatížení může zahrnovat latě, kontralatě, tepelnou izolaci, vnitřní obklad a další trvale připevněné prvky.

Vlastní tíha krokve. Vypočítává se automaticky pro každý kontrolovaný průřez. Používají se hustoty dřeva 370 kg/m³ pro C16, 420 kg/m³ pro C24 a 460 kg/m³ pro C30.

Pro šířku průřezu b, výšku průřezu h a rozteč krokví D zadané v mm se vlastní tíha krokve přepočtená na plochu střechy určí jako:

gself = ρ · b · h / (1000 · D)

Protože vlastní tíha závisí na velikosti průřezu, přepočítává se pro každý kontrolovaný rozměr a vstupuje do konečného výběru průřezu.

Sněhové zatížení

Sněhové zatížení na zemi. Vstupní hodnota se bere jako charakteristické sněhové zatížení na zemi pro danou polohu budovy. Kalkulátor je převádí na sněhové zatížení střechy pomocí tvarového součinitele μ.

• pro α ≤ 30° se používá μ = 0.8
• pro 30° < α < 60° se používá μ = 0.8 · (60 - α) / 30
• pro α ≥ 60° se používá μ = 0

Charakteristické sněhové zatížení na střešním sklonu se vypočítá jako:

Sk = μ · Sg,k

Součinitel kombinace. Pro sníh se používá zadaný součinitel kombinace ψ_0,S. Běžně používaná hodnota je 0.5. Pro Finsko, Island, Norsko a Švédsko a pro ostatní země CEN v nadmořské výšce nad 1000 m se používá hodnota 0.7, pokud národní příloha nestanoví jinak.

Zatížení větrem

Tlak na střešní sklon. Zadává se charakteristický tlak větru již určený pro příslušnou plochu střechy se zohledněním výšky budovy, terénu a aerodynamických součinitelů. Kladná hodnota znamená tlak na střešní plochu, záporná hodnota znamená sání větru.

Tlak větru se považuje za působící kolmo na povrch střechy. Proto se na něj již neprovádí žádný další přepočet podle úhlu střechy.

Převod plošného zatížení na zatížení krokve

Rozteč krokví. Plošná zatížení se převádějí na liniová zatížení pomocí rozteče krokví D. Svislá stálá zatížení se navíc násobí cos(α), zatímco sněhové zatížení definované na vodorovném průmětu dostává při převodu na zatížení šikmé krokve součinitel cos2(α).

Pokud jsou zatížení zadána v kg/m², pro převod na silové jednotky se používá gravitační zrychlení g = 9.81 m/s². Používá se převodní vztah 1 kN/m² ≈ 101.97 kg/m².

Charakteristická liniová zatížení krokve se vypočítají ze vztahů:

qG = Gk · g · D · cos(α) / 106

qS = Sk · g · D · cos2(α) / 106

qW = Wk · g · D / 106

Při rozměrech zadaných v mm je výsledná číselná hodnota vyjádřena v N/mm, což je číselně stejné jako kN/m.

Kombinace zatížení pro kontrolu pevnosti

Dílčí součinitele bezpečnosti. Pro nepříznivé stálé zatížení se používá součinitel γG = 1.35, zatímco pro sníh, vítr a soustředěná proměnná zatížení se používá γQ = 1.50.

Pro kladný tlak větru se kontrolují následující kombinace rovnoměrně rozloženého zatížení:

• 1.35 · qG
• 1.35 · qG + 1.50 · qS
• 1.35 · qG + 1.50 · qW
• 1.35 · qG + 1.50 · qS + 1.50 · 0.60 · qW
• 1.35 · qG + 1.50 · qW + 1.50 · ψ0,S · qS

Součinitel kombinace pro doprovodný vítr se bere jako ψ0,W = 0.60. Pro doprovodný sníh se používá zadaná hodnota ψ_0,S.

Sání větru. Pokud je zatížení větrem záporné, kalkulátor samostatně kontroluje následující kombinaci:

qG + 1.50 · qW

V tomto případě vlastní tíha a ostatní stálá zatížení působí proti nadzvedávajícímu účinku větru, a proto se zahrnují bez zvyšujícího součinitele 1.35.

Soustředěné zatížení

Zatížení při údržbě střechy. Svislé soustředěné zatížení se kontroluje odděleně od sněhu a větru. Pro střechy kategorie H doporučuje EN 1991-1-1 charakteristickou hodnotu 1.0 kN, pokud národní příloha nestanoví jinak.

Svislá síla se převádí na složku, která ohýbá šikmou krokev:

P = Pk · cos(α)

Pro kontrolu pevnosti se stálé a soustředěné zatížení kombinují se součiniteli 1.35 a 1.50. Poloha síly se kontroluje po délce krokve a pro výpočet se použije nejnepříznivější ohybový moment a smyková síla.

Ohybový moment a konzolový přesah

Statické schéma. Krokev se uvažuje jako nosník na dvou podporách s jedním konzolovým přesahem. Rovnoměrně rozložené zatížení působí jak na rozpětí mezi podporami, tak na přesah.

Pro délku rozpětí L_s a délku přesahu L_o se kladný ohybový moment v rozpětí vypočítá jako:

Mspan = q · (Ls2 - Lo2)2 / (8 · Ls2)

Záporný ohybový moment u podpory způsobený zatíženým přesahem se vypočítá jako:

Moverhang = q · Lo2 / 2

Pro kontrolu průřezu se použije větší absolutní hodnota ohybového momentu. Maximální smyková síla se obdobně určuje v rozhodujících průřezech u podpor a na konzolové části.

Vlastnosti dřeva a návrhová pevnost

Třídy pevnosti dřeva. Pro C16, C24 a C30 se používají následující vlastnosti:

• C16: fm,k = 16 N/mm², fv,k = 3.2 N/mm², E = 8000 N/mm²
• C24: fm,k = 24 N/mm², fv,k = 4.0 N/mm², E = 11000 N/mm²
• C30: fm,k = 30 N/mm², fv,k = 4.0 N/mm², E = 12000 N/mm²

Podmínky použití. Pro krokve se předpokládá třída provozu 2. Součinitel materiálu se bere jako γM = 1.30.

Modifikační součinitel k_mod závisí na rozhodujícím případu zatížení. Výpočet používá 0.60 pro stálé zatížení, 0.80 pro sněhové zatížení, 0.90 pro soustředěné zatížení při údržbě a 1.10 pro kombinace rozhodované účinkem větru.

Návrhová pevnost dřeva se vypočítá jako:

fd = kmod · fk / γM

Kontrola ohybu a smyku

Ohyb. Pro obdélníkový průřez o šířce b a výšce h je průřezový modul:

W = b · h2 / 6

Návrhové napětí v ohybu se vypočítá jako σm = M / W a porovná se s návrhovou pevností v ohybu f_m,d.

Smyk. Pro obdélníkový průřez se návrhové smykové napětí vypočítá z maximální smykové síly V:

τ = 1.5 · V / (kcr · b · h)

Pro účinnou plochu při kontrole smyku se používá součinitel kcr = 0.67. Výsledné napětí se porovnává s návrhovou pevností ve smyku f_v,d.

Průhyb a dlouhodobá deformace dřeva

Moment setrvačnosti. Tuhost obdélníkového průřezu se určuje ze vztahu:

I = b · h3 / 12

Průhyb se vypočítává z pružné čáry nosníku se dvěma podporami a konzolovým přesahem. Pro každou kombinaci zatížení se určuje maximální absolutní průhyb v rámci rozpětí.

Dlouhodobá deformace. Pro třídu provozu 2 se používá součinitel dotvarování kdef = 0.80. Složka stálého zatížení při konečném průhybu se proto násobí hodnotou 1 + kdef = 1.80.

Pro sněhovou složku používá kalkulátor ψ_2,S rovné 0, pokud ψ0,S < 0.65, a 0.20, pokud ψ0,S ≥ 0.65.

Pro kombinaci rozhodovanou sněhem je konečné zatížení použité pro kontrolu průhybu:

qfin,S = qG · (1 + kdef) + qS · (1 + ψ2,S · kdef) + 0.60 · qW

Poslední člen se zahrnuje pouze při kladném tlaku větru.

Pro kombinaci rozhodovanou kladným tlakem větru se používá následující výraz:

qfin,W = qG · (1 + kdef) + qW + qS · (ψ0,S + ψ2,S · kdef)

Pro sání větru se kontroluje kombinace stálého zatížení a záporného zatížení větrem. Pro soustředěné zatížení při údržbě se samostatně kontroluje konečný průhyb od stálého zatížení a nejnepříznivější polohy údržbové síly.

Dovolený průhyb. Mezní hodnota je definována vzhledem k délce rozpětí mezi podporami:

flim = Ls / n

Kalkulátor nabízí hodnoty n = 200, 250 a 300. Větší jmenovatel znamená menší dovolený průhyb, a proto vyžaduje tužší průřez krokve.

Výběr výsledného rozměru krokve

Tři podmínky. Průřez se považuje za vyhovující pouze tehdy, když jsou současně splněny všechny tři požadavky: využití v ohybu nepřekročí 100 %, využití ve smyku nepřekročí 100 % a využití průhybu nepřekročí 100 %.

Využití vyjadřuje poměr mezi vypočteným účinkem a dovolenou hodnotou. Například 85 % znamená, že je pro danou kontrolu využito přibližně 85 % dostupné návrhové únosnosti nebo dovoleného průhybu.

Automatický návrh rozměru. Počáteční rozměr krokve se volí s přibližným poměrem výšky k šířce h : b = 2 : 1. Rozměry se zvětšují, dokud nejsou splněny všechny kontroly, poté se zvolí nejmenší vyhovující průřez s rozměry zaokrouhlenými nahoru na celé milimetry.

Pokud se změní jeden rozměr průřezu, druhý se přepočítá jako nejmenší hodnota, která znovu splní požadavky na ohyb, smyk a průhyb. Po ruční úpravě proto výsledný poměr h/b nemusí zůstat roven 2.

Rozhodující kontrola. Kalkulátor porovnává využití při ohybu, smyku a průhybu. Kontrola s nejvyšším procentem využití je označena jako rozhodující. Zároveň se zobrazí kombinace zatížení, při které toto maximální využití vzniklo.

Evropské normy

Kombinace zatížení. Obecné zásady kombinování stálých a proměnných zatížení souvisejí s EN 1990 „Eurokód - Zásady navrhování konstrukcí“.

Užitné zatížení střechy. Soustředěné zatížení střechy souvisí s EN 1991-1-1 „Eurokód 1: Zatížení konstrukcí - Část 1-1: Obecná zatížení - Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb“.

Sníh. Zatížení sněhem řeší EN 1991-1-3 „Eurokód 1: Zatížení konstrukcí - Část 1-3: Obecná zatížení - Zatížení sněhem“.

Vítr. Zatížení větrem řeší EN 1991-1-4 „Eurokód 1: Zatížení konstrukcí - Část 1-4: Obecná zatížení - Zatížení větrem“.

Dřevo. Třídy pevnosti C16, C24 a C30 souvisejí s EN 338 „Konstrukční dřevo - Třídy pevnosti“. Kontroly pevnosti a použitelnosti dřevěného prvku vycházejí ze zásad EN 1995-1-1 „Eurokód 5: Navrhování dřevěných konstrukcí - Část 1-1: Obecná pravidla - Společná pravidla a pravidla pro pozemní stavby“.

Klimatické hodnoty a některé součinitele mohou být v národní příloze země, kde se stavba nachází, stanoveny odlišně. Pro návrhové výpočty je třeba použít parametry uvedené v platné národní příloze.

FAQs

Proč je rozměr krokve často určen průhybem, a ne pevností?

Vysoká dřevěná krokev může mít dostatečnou pevnost v ohybu mnohem dříve, než splní požadavek na tuhost. Průhyb je zvláště důležitý u delších rozpětí, protože moment setrvačnosti závisí na třetí mocnině výšky průřezu, zatímco deformace se s rostoucím rozpětím rychle zvětšuje.

Proč může menší rozteč krokví snížit požadovaný průřez?

Plošné zatížení střechy se rozděluje mezi sousední krokve. Při menší rozteči D nese každá krokev užší pás střechy, takže se zmenší liniové zatížení, ohybový moment i průhyb. Díky tomu může být potřebný průřez krokve menší.

Jak zadat záporné zatížení větrem?

Záporná hodnota znamená sání od povrchu střechy. Kalkulátor zachovává znaménko tlaku větru a samostatně kontroluje nadzvedávající účinek, přičemž stálá tíha střechy a vlastní tíha krokve působí opačným směrem. Záporný tlak větru proto nemá být zadáván jako kladná absolutní hodnota.

Proč je vypočtená délka krokve větší než jednoduchá délka střešního sklonu?

Geometrická délka střešního sklonu je součtem šikmého rozpětí a šikmého přesahu. Potřebná délka krokve navíc zohledňuje vypočtenou výšku průřezu a svislé koncové řezy přidáním h · tan(α). Změna výšky krokve proto může mírně změnit potřebnou celkovou délku.

Proč se vypočtený rozměr krokve může lišit od běžných rozměrů řeziva?

Kalkulátor krokví určuje minimální obdélníkový průřez požadovaný výpočtem a zaokrouhluje jeho rozměry na celé milimetry, nikoli na obchodní rozměry řeziva v konkrétní zemi. Vypočtený rozměr lze použít jako minimální požadavek a následně zvolit nejbližší větší dostupný průřez řeziva.