Výpočet dřevěného nosníku

Schéma

Rozložené

Koncentrované

Výsledek výpočtu:
Metoda výpočtu → (jak je získán výsledek) Položit dotaz
Byl vám kalkulátor užitečný?
Ne
Užitečné kalkulačky

O výpočtu dřevěného nosníku

Výsledky jsou orientační. Před použitím ověřte výpočty podle platných norem a poraďte se s odborníkem. Vývojář nenese odpovědnost za následky použití bez projektového ověření.

Tato kalkulačka provádí orientační posouzení dřevěného nosníku obdélníkového průřezu z hlediska průhybu, pevnosti v ohybu a pevnosti ve smyku. Je určena pro rychlý odhad stropních trámů, nosníků pro podlahy a prvků typu konzola při rovnoměrném nebo soustředěném zatížení.

Výpočet vychází z klasických vzorců pružnosti a pevnosti a z obecné logiky Eurokódů. Použité koeficienty a vzorce jsou níže uvedeny explicitně, aby byly jasné předpoklady a způsob získání výsledků.

Orientační hodnoty a doporučení

Normové odkazy (EU). Logika posouzení odpovídá běžnému přístupu mezních stavů podle EN 1990. Způsob práce se zatížením je v souladu s EN 1991. Pro navrhování dřevěných prvků je hlavním odkazem EN 1995-1-1 (Eurocode 5). V aktuální verzi kalkulačka používá inženýrská zjednodušení a nevytváří návrhové kombinace zatížení podle EN 1990.

Schéma nosníku a výpočtové koeficienty. Zvolené uložení určuje koeficienty pro výpočet průhybu a maximálního ohybového momentu při rovnoměrném zatížení:

  • Kloub-kloub: koeficient průhybu m = 0.0130208333, koeficient momentu m1 = 0.125001 ≈ 1/8.
  • Vetknutí-kloub: m = 0.0054054054, m1 = 0.125 = 1/8.
  • Vetknutí-vetknutí: m = 0.0026041667 ≈ 1/384, m1 = 0.08333333 ≈ 1/12.
  • Konzola: m = 0.125 = 1/8, m1 = 0.5 = 1/2.

Rozměry a jednotky. Geometrie průřezu se zadává v milimetrech: šířka t (mm) a výška h (mm). Rozpětí se zadává v milimetrech L (mm). Zatížení lze zadat v kg/m nebo kN/m (pro spojité zatížení) a v kg nebo kN (pro soustředěné zatížení).

Charakteristiky průřezu. Ze zadaných t a h se vypočítá:

  • Plocha: A = t·h (mm2).
  • Moment setrvačnosti: I = t·h3/12 (mm4).
  • Průřezový modul: W = t·h2/6 (mm3).
  • Statický moment pro smyk v neutrální ose (obdélník): Q = t·h2/8 (mm3).

Modul pružnosti pro průhyb. Pro výpočet průhybu se používá konstantní hodnota E = 10000 MPa. Jde o typický řád hodnot pro konstrukční jehličnaté dřevo. V návrhu podle EN 1995-1-1 závisí E na třídě pevnosti a podmínkách použití, proto jsou výsledky průhybu zde orientační.

Třída pevnosti dřeva a návrhová pevnost v ohybu. Pro kontrolu normálových napětí se uvažuje návrhová ohybová pevnost Ryd (MPa):

  • C16: Ryd = 8.62 MPa
  • C24: Ryd = 12.92 MPa
  • C30: Ryd = 16.15 MPa

Tyto hodnoty jsou uvedeny na návrhové úrovni pevnosti (včetně typických vlivů doby působení zatížení a součinitele spolehlivosti materiálu). Díky tomu lze bez dalších vstupů přímo porovnat vypočtená napětí s přípustnou návrhovou úrovní.

Převod jednotek (kg ↔ kN). Pro převod se používá tíhové zrychlení g = 9.81 m/s2. Prakticky platí:

1 kN = 1000 N ≈ 1000/9.81 ≈ 101.97 kgf

Při změně jednotek se číselná hodnota zatížení přepočítá tak, aby fyzikální velikost zatížení zůstala stejná.

Vlastní tíha nosníku. Kalkulačka přičítá vlastní tíhu jako další rovnoměrné zatížení. Uvažovaná objemová hmotnost dřeva je ρ = 550 kg/m3. Vlastní tíha je nejvíce patrná u větších rozpětí a relativně malých užitných zatížení.

Rovnoměrné zatížení: průhyb. Pro průhyb se použije koeficient m podle zvoleného schématu:

f = m·q·L4 / (E·I·100) + m·qsw·L4 / (E·I·100)

Kde q je zadané spojité zatížení, qsw je spojité zatížení od vlastní tíhy, L je rozpětí, E je modul pružnosti a I je moment setrvačnosti. Měřítkové faktory odpovídají internímu převodu jednotek, protože geometrie je zadána v mm.

Rovnoměrné zatížení: ohyb a napětí. Maximální ohybový moment se vypočítá s koeficientem m1 a zahrnuje i vlastní tíhu:

M = (q/100)·L2·m1 + (qsw)·L2·m1

Normálové napětí od ohybu (MPa):

σ = M / W

Podmínka pevnosti v ohybu:

σ ≤ Ryd

Smyková síla a smyk. Pro kontrolu smykových napětí se použije maximální smyková síla. Pro rovnoměrné zatížení je návrhové maximum (s interním převodem jednotek):

V = (q/100)·L/2 pro většinu schémat a V = (q/100)·L pro konzolu

Smykové napětí pro obdélníkový průřez:

τ = V·Q / (I·t)

Mez smykové únosnosti je zjednodušeně stanovena jako podíl z návrhové ohybové pevnosti: τ ≤ 0.1·Ryd. Jde o konzervativní orientační kontrolu bez detailních vstupů pro jakost dřeva, vlhkost a podmínky použití.

Soustředěné zatížení: průhyb. Pro sílu P se používá koeficient podle schématu uložení. Přijaté hodnoty:

  • Kloub-kloub: k = 0.020833
  • Vetknutí-kloub: k = 0.00912
  • Vetknutí-vetknutí: k = 0.0052
  • Konzola: k = 0.3333333

Průhyb od soustředěného zatížení se vypočítá (jak je implementováno, s interním měřítkem pro mm):

f = (k·P·L3)/(E·I)·10 + m·qsw·L4/(E·I·100)

Tím je zohledněn průhyb od síly P i od vlastní tíhy.

Soustředěné zatížení: ohyb a napětí. Maximální ohybový moment od síly P závisí na zvoleném schématu. Obecně kalkulačka použije charakteristický vzorec pro dané schéma, poté vypočítá σ = M/W a porovná s Ryd. Tento výběr je nutný, protože průběhy momentů se pro konzolu a prostě uložený nosník zásadně liší.

Mezní průhyb. Dovolený průhyb je definován jako poměr efektivní délky a koeficientu:

flim = Lx / k

Pro konzolu se uvažuje efektivní délka Lx = 2·L, pro ostatní schémata Lx = L. Koeficient k se volí podle rozsahu Lx (mm) s plynulými přechody:

  • pokud Lx ≤ 1000 mm, pak k = 120
  • pokud 1000 < Lx ≤ 3000 mm, pak se k mění lineárně od 120 do 150
  • pokud 3000 < Lx ≤ 6000 mm, pak se k mění lineárně od 150 do 200
  • pokud 6000 < Lx ≤ 24000 mm, pak se k mění lineárně od 200 do 250
  • pokud 24000 < Lx ≤ 36000 mm, pak se k mění lineárně od 250 do 300
  • pokud Lx > 36000 mm, pak k = 300

Podmínka použitelnosti: f ≤ flim. Tento přístup dává přísnější limity pro krátká rozpětí a mírnější limity pro dlouhá rozpětí.

Jak číst výsledky. Průhyb odpovídá na otázku „o kolik se nosník prohne“. Kontrola σ ukazuje rezervu pevnosti v ohybu a kontrola τ rezervu ve smyku. Pokud některá podmínka nevyhoví, typickými opatřeními jsou zvýšení výšky h, zkrácení rozpětí, snížení zatížení nebo změna schématu uložení.

FAQs

Proč se průhyb počítá s pevným modulem pružnosti 10000 MPa?

Takto kalkulačka poskytuje jednoduchý a opakovatelný odhad bez dalších vstupů. Podle EN 1995-1-1 závisí modul pružnosti na třídě pevnosti a podmínkách použití, proto je pro návrh vhodné použít odpovídající hodnotu E. Pro předběžné dimenzování dává pevná hodnota obvykle správný řád výsledku.

Započítává se vlastní tíha dřevěného nosníku?

Ano, vlastní tíha se přičítá jako rovnoměrné zatížení po celé délce nosníku. Uvažovaná hustota je ρ = 550 kg/m3. U dlouhých rozpětí může vlastní tíha výrazně ovlivnit průhyb i napětí.

Co znamená kontrola smyku a proč je limit nastaven na 0.1·Ryd?

Kontrola smyku hodnotí smykové napětí τ vyvolané smykovou silou V. V této kalkulačce je limit zjednodušen na τ ≤ 0.1·Ryd, aby poskytl konzervativní rychlý orientační výsledek bez dalších parametrů. EN 1995-1-1 řeší smyk podrobněji a zohledňuje vlastnosti dřeva i podmínky použití.

Proč se u konzoly používá v mezním průhybu dvojnásobná efektivní délka?

Konzolové prvky bývají z hlediska použitelnosti na průhyb citlivější. Nastavení Lx = 2·L zpřísňuje kritérium průhybu pro konzoly a snižuje riziko viditelných nebo nepříjemných deformací.

Které jednotky jsou lepší: kg/m nebo kN/m?

Obě jsou ekvivalentní a přepočítávají se pomocí g = 9.81. V evropské inženýrské praxi se častěji používají kN a kN/m, protože odpovídají Eurokódům (EN 1991). Pokud máte vstupní údaje v „kilogramech“, bývá praktičtější zadávat kg a kg/m.