Výpočet dřevěného nosníku

Schéma zatížení

Schéma

Výsledek výpočtu:
Doplňkové výsledky výpočtu
Plocha průřezu A: - mm²
Moment setrvačnosti I: - mm⁴
Průřezový modul W: - mm³
Hmotnost nosníku: - kg
Zatížení vlastní tíhou: - kN/m
Maximální ohybový moment: - kN·m
Maximální posouvající síla: - kN
Byl vám kalkulátor užitečný?
Ne
Sdílet kalkulačku:
Užitečné kalkulačky

O výpočtu dřevěného nosníku

Výsledky jsou orientační. Před použitím ověřte výpočty podle platných norem a poraďte se s odborníkem. Vývojář nenese odpovědnost za následky použití bez projektového ověření.

Kalkulačka pro výpočet dřevěného nosníku provádí výpočet obdélníkového dřevěného nosníku na průhyb, pevnost v ohybu a pevnost ve smyku. Výpočet dřevěného nosníku zohledňuje rozměry průřezu, délku rozpětí, pevnostní třídu dřeva, způsob podepření, rovnoměrné nebo soustředěné zatížení a vlastní tíhu nosníku.

Výsledkem je průhyb nosníku, mezní průhyb, normálové a smykové napětí a dále plocha průřezu, moment setrvačnosti, průřezový modul, hmotnost nosníku, zatížení vlastní tíhou, maximální ohybový moment a maximální posouvající síla.

Orientační hodnoty a doporučení

Normové podklady a vlastnosti dřeva

Evropské normy. Vlastnosti konstrukčního dřeva vycházejí z pevnostních tříd definovaných v EN 338 „Konstrukční dřevo – Pevnostní třídy“. Obecný postup posouzení dřevěných prvků vychází z principů EN 1995-1-1 „Eurokód 5: Navrhování dřevěných konstrukcí – Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby“. Souvisejícími normami pro zatížení a navrhování podle mezních stavů jsou EN 1991 „Eurokód 1: Zatížení konstrukcí“ a EN 1990 „Eurokód: Zásady navrhování konstrukcí“.

Vlastnosti pevnostních tříd dřeva. Pro každou pevnostní třídu se používá vlastní střední hodnota tuhosti, střední hustota, charakteristická pevnost v ohybu a charakteristická pevnost ve smyku:

  • C16: E0,mean = 8000 MPa, ρ = 370 kg/m3, fm,k = 16 MPa, fv,k = 3.2 MPa.
  • C24: E0,mean = 11000 MPa, ρ = 420 kg/m3, fm,k = 24 MPa, fv,k = 4.0 MPa.
  • C30: E0,mean = 12000 MPa, ρ = 460 kg/m3, fm,k = 30 MPa, fv,k = 4.0 MPa.

Návrhová pevnost. Charakteristická pevnost se převádí na návrhovou pevnost podle obecného vztahu Eurokódu 5:

fd = kmod·fk/γM

Kalkulačka používá pevně zadané hodnoty kmod = 0.7 a γM = 1.3. Z toho vychází návrhová pevnost v ohybu 8.62 MPa pro C16, 12.92 MPa pro C24 a 16.15 MPa pro C30. Odpovídající návrhové pevnosti ve smyku jsou 1.72 MPa, 2.15 MPa a 2.15 MPa.

Modifikační součinitel kmod. V EN 1995-1-1 tento součinitel závisí na třídě trvání zatížení a provozních podmínkách dřeva. Kalkulačka tento součinitel automaticky nemění a používá pevnou hodnotu 0.7, což je jeden z hlavních předpokladů výpočtu.

Zadané zatížení. Kalkulačka považuje uživatelem zadané zatížení za již stanovený návrhový účinek. Součinitele kombinací zatížení podle EN 1990 a EN 1991 se na zadanou hodnotu automaticky neuplatňují.

Geometrické charakteristiky nosníku

Plocha průřezu. Pro obdélníkový nosník o šířce t a výšce h se plocha vypočítá:

A = t·h

Jsou-li rozměry zadány v milimetrech, plocha vychází v mm2. Používá se při výpočtu hmotnosti nosníku, vlastní tíhy a smykového napětí.

Moment setrvačnosti. Ohybová tuhost obdélníkového průřezu je charakterizována vztahem:

I = t·h3/12

Hodnota I se udává v mm4 a přímo ovlivňuje průhyb nosníku. Zvýšení výšky nosníku proto ovlivňuje tuhost mnohem více než stejné relativní zvýšení jeho šířky.

Průřezový modul. Pro kontrolu napětí v ohybu se používá:

W = t·h2/6

Průřezový modul se udává v mm3 a spojuje maximální ohybový moment s napětím v krajních vláknech dřeva.

Statický moment plochy. Pro maximální smykové napětí v obdélníkovém průřezu kalkulačka používá:

Q = t·h2/8

Jednotky zatížení a vlastní tíha

Převod zatížení. Pro převod hodnot zadaných v kilogramech na sílu se používá tíhové zrychlení g = 9.80665 m/s2. Rovnoměrné zatížení v kg/m se převádí na sílu na jednotku délky a soustředěné zatížení v kg na newtony. Hodnoty zadané přímo v kN/m nebo kN se považují za silové veličiny.

Vlastní tíha. Hmotnost jednoho metru nosníku se určuje z plochy průřezu a střední hustoty vybrané pevnostní třídy dřeva. Rovnoměrné zatížení od vlastní tíhy se vypočítá:

qsw = ρ·A·g·10-9

Při A v mm2 vychází qsw v kN/m. Vlastní tíha je vždy zahrnuta jako rovnoměrné zatížení, a to i v případě, kdy je hlavní vnější zatížení soustředěné.

Hmotnost nosníku. Pro délku nosníku L v milimetrech se hmotnost vypočítá:

m = ρ·A·L·10-9

Výsledek je uveden v kilogramech.

Ohybový moment a posouvající síla

Celkové rovnoměrné zatížení. Při vnějším rovnoměrném zatížení se účinky sil počítají z q = qext + qsw. Při působení vnější soustředěné síly P tvoří rovnoměrnou složku q vlastní tíha nosníku.

Návrhové účinky sil. V následujících vzorcích je q v kN/m, P v kN a L v metrech. Maximální ohybový moment vychází v kN·m a maximální posouvající síla v kN:

  • Kloub-kloub: Mmax = q·L2/8 + P·L/4, Vmax = q·L/2 + P/2.
  • Vetknutí-kloub: Mmax = q·L2/8 + 3·P·L/16, Vmax = 5·q·L/8 + 11·P/16.
  • Vetknutí-vetknutí: Mmax = q·L2/12 + P·L/8, Vmax = q·L/2 + P/2.
  • Konzola: Mmax = q·L2/2 + P·L, Vmax = q·L + P.

U nosníků podepřených na obou koncích je soustředěná síla umístěna ve střední části rozpětí podle zvoleného výpočtového schématu. U konzoly působí síla na volném konci. Vlastní tíha nosníku působí po celé jeho délce.

Výpočet průhybu nosníku

Ohybová tuhost. Průhyb je určován součinem E·I: čím větší je modul pružnosti dřeva nebo moment setrvačnosti průřezu, tím menší je deformace. Ve vzorcích pro průhyb používá kalkulačka q v N/mm, P v N, L v mm, E v MPa a I v mm4, takže výsledek vychází přímo v milimetrech.

Prostě podepřený nosník. Průhyb od rovnoměrného a soustředěného zatížení se počítá superpozicí:

f = 5·q·L4/(384·E·I) + P·L3/(48·E·I)

Nosník vetknutý na obou koncích. Pro nosník pevně vetknutý na obou koncích:

f = q·L4/(384·E·I) + P·L3/(192·E·I)

Konzolový nosník. Pro rovnoměrné zatížení působící po celé délce a sílu působící na volném konci:

f = q·L4/(8·E·I) + P·L3/(3·E·I)

Nosník vetknutý na jednom konci a kloubově podepřený na druhém. Pro samostatně působící rovnoměrné zatížení je součinitel maximálního průhybu 0.00541612:

fq = 0.00541612·q·L4/(E·I)

Pro samostatně působící soustředěnou sílu je součinitel √5/240 ≈ 0.00931695:

fP = 0.00931695·P·L3/(E·I)

Při současném působení vlastní tíhy a soustředěné síly nemusí místo maximálního průhybu ležet uprostřed rozpětí. Proto kalkulačka pro schéma vetknutí-kloub skládá průběhy pružné čáry od obou zatížení a určuje maximální absolutní průhyb po délce nosníku.

Mezní průhyb

Kritérium průhybu. Přípustná hodnota se určuje jako délka rozpětí dělená součinitelem n:

flim = L/n

Při automatické volbě se součinitel plynule mění podle délky rozpětí:

  • do 1000 mm — n = 120;
  • od 1000 do 3000 mm — lineárně od 120 do 150;
  • od 3000 do 6000 mm — lineárně od 150 do 200;
  • od 6000 do 24000 mm — lineárně od 200 do 250;
  • od 24000 do 36000 mm — lineárně od 250 do 300;
  • nad 36000 mm — n = 300.

Automaticky zvolená hodnota slouží jako praktický orientační limit použitelnosti, nikoli jako univerzální normový limit pro všechny konstrukce. Pokud je pro konkrétní projekt znám požadovaný poměr, lze zadat vlastní hodnotu L/n; zvýšení n snižuje přípustný průhyb a zpřísňuje kontrolu.

Kontrola pevnosti a vyhodnocení výsledku

Normálové napětí. Maximální napětí v ohybu se počítá z průřezového modulu:

σm = Mmax/W

Podmínka pevnosti v ohybu je splněna, pokud:

σm ≤ fm,d

Smykové napětí. Maximální smykové napětí se určuje z maximální posouvající síly:

τ = Vmax·Q/(I·t)

Pro obdélníkový průřez je tento vztah ekvivalentní výrazu τ = 1.5·Vmax/A. Podmínka pevnosti ve smyku je splněna, pokud:

τ ≤ fv,d

Rezerva pevnosti. Pokud je kontrola pevnosti splněna, zobrazená rezerva vyjadřuje relativní poměr mezi návrhovou pevností a vypočteným napětím:

Rezerva = (fd/σ - 1)·100%

Pro kontrolu smyku se místo σ používá τ a místo fd hodnota fv,d. Průhyb, ohyb a smyk se posuzují nezávisle: splnění jedné podmínky nekompenzuje překročení jiné.

FAQs

Proč se stejný dřevěný nosník z C24 prohne méně než nosník z C16?

Pevnostní třída dřeva ovlivňuje nejen přípustné napětí, ale také tuhost materiálu. Kalkulačka používá pro C16 E = 8000 MPa a pro C24 11000 MPa, takže při stejném průřezu, rozpětí a zatížení vychází vypočtená deformace nosníku z C24 menší.

Proč může dřevěný nosník vyhovět na pevnost, ale nevyhovět na průhyb?

Pevnost a tuhost popisují odlišné vlastnosti chování nosníku. Napětí v ohybu může zůstat výrazně pod návrhovou pevností dřeva, ale malá tuhost E·I při velkém rozpětí může přesto způsobit nadměrný průhyb. U dřevěných nosníků proto může být rozhodujícím kritériem právě deformace, i když je únosnost dostatečná.

Proč se vlastní tíha započítává i při soustředěném zatížení?

Soustředěná síla popisuje pouze vnější účinek působící v jednom místě. Samotný dřevěný nosník má hmotnost po celé délce, takže jeho vlastní tíha současně působí jako rovnoměrné zatížení qsw a ovlivňuje průhyb, ohybový moment i posouvající sílu.

Co znamená rezerva pevnosti ve výsledku?

Rezerva ukazuje, o kolik je návrhová pevnost zvolené třídy dřeva relativně vyšší než vypočtené napětí. Například rezerva 20% vyjadřuje poměr mezi návrhovým limitem a aktuálním napětím; neznamená automaticky, že lze vnější zatížení zvýšit přesně o 20%, protože do výpočtu vstupuje také vlastní tíha nosníku.

Jak zvolit mezní průhyb L/n?

Pokud není znám konkrétní požadavek, kalkulačka pro výpočet dřevěného nosníku použije automatický orientační limit podle délky rozpětí. Pokud projektová dokumentace, návrhový požadavek nebo použitý předpis stanovuje konkrétní mez, je vhodné zadat vlastní hodnotu L/n. Čím větší je jmenovatel n, tím přísnější je požadavek na deformaci konstrukce.