Příhradový vazník | Výpočet zatížení a pevnosti

	Průřez	Typ	Třída
1	Obdélník
2	Obdélník
3	Obdélník
4	Obdélník
5	Obdélník
6	Obdélník
7	Obdélník
8	Obdélník
9	Obdélník
10	Obdélník
11	Obdélník
12	Obdélník
13	Obdélník
14	Obdélník
15	Obdélník
16	Obdélník
17	Obdélník
18	Obdélník
19	Obdélník
20	Obdélník
21	Obdélník
22	Obdélník
23	Obdélník
24	Obdélník
25	Obdélník
26	Obdélník
27	Obdélník
28	Obdélník
29	Obdélník
30	Obdélník
31	Obdélník
32	Obdélník
33	Obdélník

Č. uzel	Ztužený
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Č.	Výpočtové síly	Průřez, mm	Délka, mm	Rezerva pevnosti, %	Stabilita
kN	kgf
1	{{toKnS1}}	{{S1}}	{{otvet[0].profil}}	{{fmtInt(otvet[0].L)}}	{{fmtInt(otvet[0].zapas)}}	{{otvet[0].gibkost}}
2	{{toKnS2}}	{{S2}}	{{otvet[1].profil}}	{{fmtInt(otvet[1].L)}}	{{fmtInt(otvet[1].zapas)}}	{{otvet[1].gibkost}}
3	{{toKnS3}}	{{S3}}	{{otvet[2].profil}}	{{fmtInt(otvet[2].L)}}	{{fmtInt(otvet[2].zapas)}}	{{otvet[2].gibkost}}
4	{{toKnS4}}	{{S4}}	{{otvet[3].profil}}	{{fmtInt(otvet[3].L)}}	{{fmtInt(otvet[3].zapas)}}	{{otvet[3].gibkost}}
5	{{toKnS5}}	{{S5}}	{{otvet[4].profil}}	{{fmtInt(otvet[4].L)}}	{{fmtInt(otvet[4].zapas)}}	{{otvet[4].gibkost}}
6	{{toKnS6}}	{{S6}}	{{otvet[5].profil}}	{{fmtInt(otvet[5].L)}}	{{fmtInt(otvet[5].zapas)}}	{{otvet[5].gibkost}}
7	{{toKnS7}}	{{S7}}	{{otvet[6].profil}}	{{fmtInt(otvet[6].L)}}	{{fmtInt(otvet[6].zapas)}}	{{otvet[6].gibkost}}
8	{{toKnS8}}	{{S8}}	{{otvet[7].profil}}	{{fmtInt(otvet[7].L)}}	{{fmtInt(otvet[7].zapas)}}	{{otvet[7].gibkost}}
9	{{toKnS9}}	{{S9}}	{{otvet[8].profil}}	{{fmtInt(otvet[8].L)}}	{{fmtInt(otvet[8].zapas)}}	{{otvet[8].gibkost}}
10	{{toKnS10}}	{{S10}}	{{otvet[9].profil}}	{{fmtInt(otvet[9].L)}}	{{fmtInt(otvet[9].zapas)}}	{{otvet[9].gibkost}}
11	{{toKnS11}}	{{S11}}	{{otvet[10].profil}}	{{fmtInt(otvet[10].L)}}	{{fmtInt(otvet[10].zapas)}}	{{otvet[10].gibkost}}
12	{{toKnS12}}	{{S12}}	{{otvet[11].profil}}	{{fmtInt(otvet[11].L)}}	{{fmtInt(otvet[11].zapas)}}	{{otvet[11].gibkost}}
13	{{toKnS13}}	{{S13}}	{{otvet[12].profil}}	{{fmtInt(otvet[12].L)}}	{{fmtInt(otvet[12].zapas)}}	{{otvet[12].gibkost}}
14	{{toKnS14}}	{{S14}}	{{otvet[13].profil}}	{{fmtInt(otvet[13].L)}}	{{fmtInt(otvet[13].zapas)}}	{{otvet[13].gibkost}}
15	{{toKnS15}}	{{S15}}	{{otvet[14].profil}}	{{fmtInt(otvet[14].L)}}	{{fmtInt(otvet[14].zapas)}}	{{otvet[14].gibkost}}
16	{{toKnS16}}	{{S16}}	{{otvet[15].profil}}	{{fmtInt(otvet[15].L)}}	{{fmtInt(otvet[15].zapas)}}	{{otvet[15].gibkost}}
17	{{toKnS17}}	{{S17}}	{{otvet[16].profil}}	{{fmtInt(otvet[16].L)}}	{{fmtInt(otvet[16].zapas)}}	{{otvet[16].gibkost}}
18	{{toKnS18}}	{{S18}}	{{otvet[17].profil}}	{{fmtInt(otvet[17].L)}}	{{fmtInt(otvet[17].zapas)}}	{{otvet[17].gibkost}}
19	{{toKnS19}}	{{S19}}	{{otvet[18].profil}}	{{fmtInt(otvet[18].L)}}	{{fmtInt(otvet[18].zapas)}}	{{otvet[18].gibkost}}
20	{{toKnS20}}	{{S20}}	{{otvet[19].profil}}	{{fmtInt(otvet[19].L)}}	{{fmtInt(otvet[19].zapas)}}	{{otvet[19].gibkost}}
21	{{toKnS21}}	{{S21}}	{{otvet[20].profil}}	{{fmtInt(otvet[20].L)}}	{{fmtInt(otvet[20].zapas)}}	{{otvet[20].gibkost}}
22	{{toKnS22}}	{{S22}}	{{otvet[21].profil}}	{{fmtInt(otvet[21].L)}}	{{fmtInt(otvet[21].zapas)}}	{{otvet[21].gibkost}}
23	{{toKnS23}}	{{S23}}	{{otvet[22].profil}}	{{fmtInt(otvet[22].L)}}	{{fmtInt(otvet[22].zapas)}}	{{otvet[22].gibkost}}
24	{{toKnS24}}	{{S24}}	{{otvet[23].profil}}	{{fmtInt(otvet[23].L)}}	{{fmtInt(otvet[23].zapas)}}	{{otvet[23].gibkost}}
25	{{toKnS25}}	{{S25}}	{{otvet[24].profil}}	{{fmtInt(otvet[24].L)}}	{{fmtInt(otvet[24].zapas)}}	{{otvet[24].gibkost}}
26	{{toKnS26}}	{{S26}}	{{otvet[25].profil}}	{{fmtInt(otvet[25].L)}}	{{fmtInt(otvet[25].zapas)}}	{{otvet[25].gibkost}}
27	{{toKnS27}}	{{S27}}	{{otvet[26].profil}}	{{fmtInt(otvet[26].L)}}	{{fmtInt(otvet[26].zapas)}}	{{otvet[26].gibkost}}
28	{{toKnS28}}	{{S28}}	{{otvet[27].profil}}	{{fmtInt(otvet[27].L)}}	{{fmtInt(otvet[27].zapas)}}	{{otvet[27].gibkost}}
29	{{toKnS29}}	{{S29}}	{{otvet[28].profil}}	{{fmtInt(otvet[28].L)}}	{{fmtInt(otvet[28].zapas)}}	{{otvet[28].gibkost}}
30	{{toKnS30}}	{{S30}}	{{otvet[29].profil}}	{{fmtInt(otvet[29].L)}}	{{fmtInt(otvet[29].zapas)}}	{{otvet[29].gibkost}}
31	{{toKnS31}}	{{S31}}	{{otvet[30].profil}}	{{fmtInt(otvet[30].L)}}	{{fmtInt(otvet[30].zapas)}}	{{otvet[30].gibkost}}
32	{{toKnS32}}	{{S32}}	{{otvet[31].profil}}	{{fmtInt(otvet[31].L)}}	{{fmtInt(otvet[31].zapas)}}	{{otvet[31].gibkost}}
33	{{toKnS33}}	{{S33}}	{{otvet[32].profil}}	{{fmtInt(otvet[32].L)}}	{{fmtInt(otvet[32].zapas)}}	{{otvet[32].gibkost}}
Přibližná hmotnost příhradové konstrukce: {{fmtInt(massa_fermy)}} kg
Vypočtený průhyb příhradové konstrukce: {{fmtInt(progib)}} mm
Maximální přípustný průhyb při L/{{deflim}}: {{fmtInt(progib_limit)}} mm

Další výpočty pro střechu

O výpočtu příhradového vazníku

Výsledky jsou orientační. Před použitím ověřte výpočty podle platných norem a poraďte se s odborníkem. Vývojář nenese odpovědnost za následky použití bez projektového ověření.

Tento kalkulátor příhradového vazníku provádí výpočet zatížení a pevnosti střešních a přístřeškových vazníků z oceli nebo dřeva. Na základě zadané geometrie a zatížení určuje osové síly v prutech, vybírá průřezy z vestavěných rozměrových řad, kontroluje tah, tlak a stabilitu, zohledňuje vlastní tíhu a vyhodnocuje průhyb vazníku. Ocelové a dřevěné prvky se počítají samostatně s ohledem na vlastnosti zvoleného materiálu, délky prutů a boční zajištění pásů mimo rovinu příhradové konstrukce.

Orientační hodnoty a doporučení

Statický model a rozdělení zatížení

Model příhradové konstrukce. Vazník je uvažován jako rovinná kloubově spojená prutová soustava. Každý prut přenáší osový tah nebo tlak a jeho geometrická délka se bere jako vzdálenost mezi středy sousedních uzlů. Levá podpora zabraňuje vodorovnému i svislému posunu, pravá podpora zabraňuje svislému posunu a umožňuje vodorovný pohyb.

Uzlová zatížení. Svislé zatížení se přikládá do uzlů horního pásu. Každý vnitřní zatížený uzel dostává plné uzlové zatížení P, zatímco oba krajní uzly horního pásu dostávají každý P / 2. Tím celkové aplikované zatížení odpovídá zatížení působícímu po celé délce vazníku.

Plošné zatížení. Pokud je vstupní zatížení zadáno jako q v kN/m² nebo kg/m², nejprve se vypočítá celkové zatížení připadající na jeden vazník:

Q = q · L · s

Zde L je rozpětí vazníku v metrech a s je osová vzdálenost sousedních vazníků v metrech. Pokud je horní pás rozdělen na n polí, plné uzlové zatížení pro vnitřní uzly je:

P = Q / n

Krajní uzly dostávají každý P / 2. Při zadání zatížení v kilogramech síly se používá převod 1 kN = 101,9716 kgf; vnitřní výpočet sil probíhá v kN.

Reakce podpor, síly v prutech a vlastní tíha

Rovnováha vazníku. Pro každý uzel se sestaví rovnice rovnováhy ve vodorovném a svislém směru. Vyřešením celé soustavy se získají reakce podpor a osová síla N v každém prutu. Kladná síla je považována za tahovou a záporná za tlakovou.

Vlastní tíha. Po předběžném výběru průřezů se hmotnost každého prutu vypočítá z jeho plochy průřezu, skutečné délky a hustoty materiálu. Tíha se převede na sílu pomocí g = 9,80665 m/s² a rozdělí se rovnoměrně mezi oba uzly prutu. Síly a průřezy se následně přepočítají, takže zvýšená hmotnost větších průřezů je zahrnuta v dalším výpočetním cyklu.

Výběr průřezu. Pro každý zatížený prut kalkulátor postupně kontroluje dostupné rozměry zvoleného typu průřezu a vybere první průřez, který splňuje podmínky pevnosti a u tlačených prvků také podmínky stability. Prutu s prakticky nulovou vypočtenou silou je přiřazen průřez nejméně tak velký jako minimální průřez zatížených prvků odpovídající skupiny a materiálu.

Rezerva pevnosti. Po kontrole se vypočítá míra využití η, přičemž η = 1 odpovídá meznímu návrhovému stavu. Rezerva v procentech se vypočítá jako:

Rezerva = (1 / η - 1) · 100%

Například η = 0,80 odpovídá rezervě 25 %. U nezatížených prutů se číselná hodnota rezervy nezobrazuje.

Výpočet ocelových prvků

Modul pružnosti. Deformace oceli se počítá s hodnotou E = 210000 MPa. Pro třídy S235, S275, S355 a S420 závisí mez kluzu použitá ve výpočtu na tloušťce stěny nebo pásnice profilu.

pro tloušťku do 16 mm včetně: S235 - 235 MPa, S275 - 275 MPa, S355 - 355 MPa, S420 - 420 MPa;
pro tloušťku nad 16 mm do 40 mm: 225, 265, 345 a 400 MPa;
pro tloušťku nad 40 mm: 215, 255, 335 a 390 MPa.

Tah. U taženého prutu se míra využití vypočítá z osové síly a únosnosti plného průřezu:

η = N / (A · f_y)

Zde N je v N, A je plocha průřezu v mm² a f_y je mez kluzu v MPa. Podmínka je splněna při η ≤ 1.

Tlak a celková stabilita. Nejprve se v obou hlavních směrech vypočítá štíhlost:

λ = L_eff / i

Pro každý směr se následně vypočítá poměrná štíhlost:

λ_rel = λ / π · √(f_y / E)

Součinitel imperfekce se uvažuje α = 0,49 pro čtvercové a obdélníkové duté profily a kruhové trubky a α = 0,76 pro jednoduché úhelníky a kanály. Redukční součinitel stability se vypočítá jako:

Φ = 0,5 · [1 + α · (λ_rel - 0,2) + λ_rel²]

χ = min(1; 1 / [Φ + √(Φ² - λ_rel²)])

Výpočet se provádí v obou směrech a použije se menší hodnota χ. Kontrola tlačeného prvku má tvar:

η = N / (χ · A · f_y) ≤ 1

Lokální stabilita ocelových průřezů. Před kontrolou celkového vybočení se u tlačených prvků kontrolují poměry šířky nebo průměru k tloušťce. Používá se ε = √(235 / f_y). Pro čtvercové a obdélníkové duté profily platí podmínka (max(h,b) - 2t) / t ≤ 42ε, pro kruhové trubky D / t ≤ 90ε² a pro úhelníky a / t ≤ 14ε. U kanálů se stojina kontroluje proti hodnotě 42ε a vyložená část pásnice proti 14ε.

Výpočet dřevěných prvků

Návrhové vlastnosti dřeva. Kalkulátor používá pevnostní třídy C16, C24 a C30. Používají se následující hodnoty pevnosti v tahu, pevnosti v tlaku, modulu pružnosti a střední hustoty:

C16: f_t = 10 MPa, f_c = 17 MPa, E_0,05 = 5400 MPa, E_mean = 8000 MPa, hustota 370 kg/m³;
C24: f_t = 14,5 MPa, f_c = 21 MPa, E_0,05 = 7400 MPa, E_mean = 11000 MPa, hustota 420 kg/m³;
C30: f_t = 18 MPa, f_c = 23 MPa, E_0,05 = 8000 MPa, E_mean = 12000 MPa, hustota 460 kg/m³.

Součinitele pro dřevo. Při kontrole pevnosti se používá modifikační součinitel k_mod = 0,60 a součinitel materiálu γ_M = 1,30. Základní návrhová pevnost se tedy získá vynásobením charakteristické pevnosti hodnotou 0,60 / 1,30.

Tah dřeva. Pro prvky s maximálním rozměrem průřezu h menším než 150 mm se používá dodatečný součinitel velikosti:

k_h = min[(150 / h)^0,2; 1,30]

Pro h rovné nebo větší než 150 mm se používá k_h = 1. Kontrola taženého prvku má tvar:

η = N / [A · f_t · k_mod · k_h / γ_M]

Tlak dřeva. Pro každý směr se nejprve vypočítá geometrická štíhlost λ a následně poměrná štíhlost:

λ_rel = λ / π · √(f_c / E_0,05)

Při λ_rel ≤ 0,30 se používá k_c = 1. Pro větší štíhlost:

Φ = 0,5 · [1 + 0,20 · (λ_rel - 0,30) + λ_rel²]

k_c = min(1; 1 / [Φ + √(Φ² - λ_rel²)])

Použije se menší hodnota k_c z obou směrů. Konečná kontrola tlačeného dřevěného prvku je:

η = N / [k_c · A · f_c · k_mod / γ_M] ≤ 1

Ztužení a účinná délka

V rovině vazníku. Účinná délka použitá pro výpočet štíhlosti se bere jako celá geometrická délka prutu mezi sousedními uzly. Rozdělení pásu uzly příhradové konstrukce jej tedy současně rozděluje na samostatné výpočtové prvky v rovině vazníku.

Mimo rovinu vazníku. Pro horní a dolní pás se účinná délka určuje podle ztužení. Pokud je zadána rozteč ztužení, zadaná hodnota v milimetrech se přímo použije jako L_y,eff. Pokud jsou vybrány jednotlivé ztužené uzly, kalkulátor určí největší vzdálenost mezi sousedními body bočního zajištění příslušného pásu. U prvků mřížoviny se účinná délka mimo rovinu bere jako celá délka prutu.

Orientace obdélníkového průřezu. U obdélníkových dutých profilů a obdélníkových dřevěných prvků se předpokládá, že větší rozměr průřezu leží v rovině vazníku a menší rozměr mimo tuto rovinu. Stabilita mimo rovinu proto může být rozhodující i při relativně malé štíhlosti v rovině.

Praktické doporučení. Bod ztužení se považuje za účinný pouze tehdy, pokud připojený prvek nebo uzel skutečně zabraňuje bočnímu pohybu pásu. Horní pás bývá často zajištěn vaznicemi, latěmi nebo systémem ztužení, zatímco dolní pás může být zajištěn ztužením mezi vazníky nebo jinými prvky poskytujícími skutečné boční podepření.

Výpočet průhybu a výběr průřezu podle tuhosti

Pružný průhyb. Po výběru průřezů kalkulátor sestaví matici tuhosti celé příhradové konstrukce. Osová tuhost každého prutu je určena jako E · A / L. Vypočítají se vodorovné a svislé posuny všech uzlů a jako výpočtový průhyb vazníku se použije největší absolutní svislý posun.

Modul pružnosti. Průhyb oceli se počítá s E = 210000 MPa. Pro dřevo se používají střední moduly pružnosti E_mean: 8000 MPa pro C16, 11000 MPa pro C24 a 12000 MPa pro C30.

Zohlednění skutečné poddajnosti konstrukce. Čistý kloubový model příhradové konstrukce zahrnuje pouze osové deformace prutů a obvykle dává menší průhyb než skutečná konstrukce. Vypočtený pružný průhyb se proto násobí interním korekčním součinitelem 1,15 pro ocelový vazník a 1,50 pro dřevěný vazník. Jde o konzervativní předpoklady kalkulátoru, nikoli o návrhové součinitele Eurokódu.

Mezní průhyb. Zvolená úroveň tuhosti určuje maximální přípustný průhyb:

f_lim = L / 200, L / 250 nebo L / 300

Větší jmenovatel znamená menší přípustný průhyb. V kalkulátoru se L/200 používá jako běžná úroveň tuhosti, L/250 jako zvýšená a L/300 jako nejtužší varianta.

Automatické zvětšení průřezů. Pokud průhyb po kontrole pevnosti a stability překročí zvolený limit, kalkulátor zvětší cílovou plochu průřezu zatížených prvků. V každém cyklu se používá součinitel:

k_A = min[2,50; max(1,05; 1,02 · f / f_lim)]

Po zvětšení průřezů se znovu přepočítá vlastní tíha, síly v prutech, pevnost, stabilita a průhyb. Provede se až 12 cyklů. Při výběru dalšího průřezu musí nový průřez rovněž splnit podmínky pevnosti a stability.

Hmotnost a evropský normový základ

Hmotnost vazníku. Hmotnost každého prutu se počítá podle m = A · L · ρ, kde A se převádí na m², L je délka prutu v metrech a ρ je hustota v kg/m³. Pro ocel se používá hustota 7850 kg/m³. Pro dřevo se používá 370, 420 nebo 460 kg/m³ pro C16, C24 nebo C30. Celková hmotnost vazníku je součtem hmotností všech vypočtených prutů.

Evropské normy. Logika výpočtu vychází z principů souvisejících s EN 1990 „Eurokód - Zásady navrhování konstrukcí“ a EN 1991 „Eurokód 1 - Zatížení konstrukcí“. Kontroly ocelových prvků používají přístupy z EN 1993-1-1 „Eurokód 3 - Navrhování ocelových konstrukcí - Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby“. Kontroly dřevěných prvků používají přístupy z EN 1995-1-1 „Eurokód 5 - Navrhování dřevěných konstrukcí - Část 1-1: Obecná pravidla - Společná pravidla a pravidla pro pozemní stavby“, zatímco pevnostní třídy C16, C24 a C30 vycházejí z EN 338 „Konstrukční dřevo - Třídy pevnosti“.

Časté dotazy

Proč může menší rozteč ztužení výrazně snížit požadovanou velikost průřezu?

Rozteč ztužení určuje účinnou délku pásu mimo rovinu příhradové konstrukce. Kratší účinná délka snižuje štíhlost, zvyšuje redukční součinitel stability a může umožnit přenést stejnou tlakovou sílu menším průřezem. Tento vliv je zvlášť výrazný u obdélníkových průřezů s relativně malou tuhostí kolem slabé osy.

Proč se u některých prutů ve sloupci „Stabilita“ zobrazuje pomlčka?

Stabilita proti vybočení se kontroluje u tlačených prvků. Tažený prut se kontroluje na tahovou únosnost plného průřezu, proto se u stability zobrazuje pomlčka. U tlačeného prvku znamená OK splnění použité kontroly stability a NO její nesplnění.

Proč vyšší pevnostní třída oceli nebo dřeva nemusí výrazně zmenšit požadovaný průřez?

Požadovaný průřez není určen pouze pevností materiálu. U tlačených prvků mohou být rozhodující štíhlost a stabilita a u celého vazníku může být určující také průhyb. Vyšší pevnost materiálu proto nemusí vždy umožnit použití dalšího menšího rozměru průřezu.

Jak se zobrazená rezerva pevnosti liší od součinitele bezpečnosti?

Zobrazené procento se počítá ze skutečné míry využití zvoleného průřezu. Například využití 80 % odpovídá podle použité kontroly rezervě 25 %. Jde o zbývající vypočtenou únosnost zvoleného prvku, nikoli o pevný součinitel bezpečnosti přičítaný předem k zatížení.

Proč může být vypočtený průhyb příhradového vazníku výrazně menší než L/250?

Příhradový vazník přenáší zatížení především osovým tahem a tlakem v prutech, takže konstrukce s dostatečnou výškou může mít relativně malý pružný průhyb. Kalkulátor navíc násobí idealizovaný průhyb hodnotou 1,15 pro ocel a 1,50 pro dřevo, a pokud je zvolený mezní průhyb překročen, automaticky zvětší průřezy prutů a výpočet vazníku zopakuje.

Výpočet příhradového vazníku