Stahlbetonträger berechnen

Über die Berechnung eines Stahlbetonträgers

Dieser Rechner führt einen Biegebemessungsnachweis für einen Stahlbetonträger mit rechteckigem Querschnitt durch und ermittelt die erforderliche Fläche der Längsbewehrung. Das Ergebnis eignet sich für eine Vorbemessung von Querschnitt und Bewehrung von Deckenbalken, Stürzen und anderen stabförmigen Bauteilen bei vorgegebener Last und Spannweite.

Die Berechnung basiert auf dem Grenzzustandskonzept der Tragfähigkeit und verwendet Materialkennwerte und Beiwertansätze, die im europäischen Entwurfsansatz für Stahlbeton üblich sind.

Richtwerte und Empfehlungen

Normen. Die Berechnungslogik folgt dem Eurocode-Ansatz: EN 1992-1-1 (Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken) zusammen mit EN 1990 (Grundlagen der Tragwerksplanung) für die Verwendung von Bemessungswerten der Materialkennwerte.

Tragwerksmodell und Biegemoment. Für die gewählte Lagerung wird ein Beiwert m verwendet, um das maximale Biegemoment aus einer gleichmäßig verteilten Linienlast zu bestimmen:

M = (q + g) · L² · m

Dabei ist q die angesetzte Linienlast (kg/m oder kN/m), L die Bemessungsspannweite (mm, in der Formel in Meter umgerechnet) und g das Eigengewicht des Balkens (kg/m). Übliche Werte sind: m = 0.125 für einen einfach gelagerten Balken (entspricht L²/8) und m = 0.5 für einen Kragträger (entspricht L²/2).

Eigengewicht. Das Eigengewicht des Balkens wird mit der Rohdichte von Stahlbeton ρ = 2500 kg/m³ und der Querschnittsgeometrie ermittelt:

g = (b/1000) · (h/1000) · 2500

wobei b und h die Querschnittsbreite und -höhe in mm sind. Das Ergebnis ist die Linienlast g in kg/m.

Umrechnung der Momenteinheit. Im Rechenablauf wird das Biegemoment mit dem Faktor 10000 in N·mm umgerechnet:

MN·mm = Mkg·m · 10000

Wirksame Höhe. Für die Biegebemessung wird die wirksame Höhe bis zur Zugbewehrung angesetzt:

d = h − c − 6

wobei c die Betondeckung bis zur Zugbewehrung (mm) ist. Die Konstante 6 mm ist als feste Korrektur für die Stabposition im Querschnitt enthalten.

Bemessungs-Materialkennwerte. Für die Bewehrung verwendet der Rechner γ_s = 1.15, E_s = 200000, f_yk = 500, f_yd = 434.783. Für Beton definiert die gewählte Festigkeitsklasse die Bemessungsdruckfestigkeit f_cd, die Grenzdehnung ε_cu2 sowie die Parameter des Druckspannungsdiagramms wc und k2. Zusätzlich wird die mittlere Zugfestigkeit f_ctm für die Mindestbewehrung verwendet. Der Beiwert α wird je nach Betonklasse mit 1.00 oder 0.95 angesetzt.

Nachweis der Betontragfähigkeit im Biegung. Zunächst wird ein dimensionsloser Parameter berechnet:

αm = M / (α · fcd · b · d²)

Außerdem wird c_o = wc / k2 verwendet. Wenn α_m/c_o > 0.25 gilt, gibt der Rechner die Empfehlung aus, den Querschnitt zu vergrößern oder eine andere Betonklasse zu wählen. Das bedeutet, dass das Moment außerhalb des zulässigen Bereichs des angesetzten Querschnittsmodells liegt.

Innerer Hebelarm. Bei zulässigem α_m/c_o wird der Faktor τ berechnet (zur Ermittlung des inneren Hebelarms):

τ = 0.5 + √(0.25 − αm/co)

Dehnungsbegrenzung (Duktilitätsgrenze des Modells). Die Streckgrenzdehnung des Stahls wird berechnet als:

εsy = (fyd / Es) · 1000

Danach werden die begrenzende relative Lage der Neutralachse und der Grenzparameter bestimmt:

elim = εcu2 / (εcu2 + εsy)

αm,lim = wc · elim · (1 − k2 · elim)

Wenn α_m > α_m,lim, setzt der Rechner α_m = α_m,lim an. Dadurch wird sichergestellt, dass die Bewehrung innerhalb des angesetzten Grenzzustandsmodells ausgewählt wird.

Erforderliche Zugbewehrungsfläche. Die grundlegende erforderliche Längsbewehrungsfläche ergibt sich aus dem Gleichgewicht in Biegung:

As,req = M / (fyd · τ · d)

Mindestbewehrung. Zur Sicherstellung der Rissbegrenzung und eines funktionsfähigen Querschnitts wird ein Mindestbewehrungsgrad angesetzt:

pmin = 26 · fctm / fyk

Es gilt eine Untergrenze p_min = 0.13%. Die Mindestfläche lautet:

As,min = (pmin · b · d) / 100

Für die Auswahl wird A_s = max(A_s,req, A_s,min) verwendet.

Stabdurchmesserwahl bei vorgegebener Stabanzahl. Der Rechner prüft Standarddurchmesser (mm) und berechnet die Fläche des gewählten Stabsatzes:

S = (π · φ² / 4) · n

Dabei ist φ der Stabdurchmesser (mm) und n die Stabanzahl. Es wird der erste Durchmesser gewählt, für den S ≥ A_s gilt. Wenn selbst der größte Durchmesser in der Liste die erforderliche Fläche nicht erreicht, empfiehlt der Rechner, die Stabanzahl zu erhöhen.

• Praktischer Richtwert. Für eine Vorbemessung von Deckenbalken wird oft eine Bauhöhe von etwa L/10…L/15 (bezogen auf die Spannweite) angesetzt. Danach werden Bewehrung und Nachweise projektbezogen verfeinert.
• Last-Einheiten. Wenn Sie die Last in kN/m eingeben, wird sie intern in kg/m umgerechnet mit 1 kN ≈ 1000/9.81 kgf. Für konsistente Ergebnisse sollten Last- und Längeneinheiten zu den verwendeten Formeln passen.
• Betondeckung. Übliche Werte für innenliegende Balken liegen oft im Bereich 20-35 mm, die tatsächliche Betondeckung hängt jedoch von Expositionsklasse und den Anforderungen der EN 1992-1-1 ab.

FAQs

Warum zeigt der Rechner „Querschnitt vergrößern oder andere Betonklasse wählen“?

Das erscheint, wenn αm/co > 0.25 gilt. In diesem Fall ist das Bemessungsmoment für das angesetzte Querschnittsmodell zu hoch für die gewählte Geometrie und Betonklasse. Eine größere Balkenhöhe oder -breite oder eine höhere Betonfestigkeitsklasse sind typische Wege, um die Berechnung in den zulässigen Bereich zurückzuführen.

Warum wird Mindestbewehrung berücksichtigt?

Auch wenn aus dem Biegebemessungsnachweis nur eine kleine Stahlfläche erforderlich wäre, verhindert die Mindestbewehrung eine unrealistisch geringe Bewehrung und unterstützt eine normale Rissbegrenzung und das Bauteilverhalten. Der Rechner verwendet pmin = 26·fctm/fyk mit einer Untergrenze von 0.13%.

Warum muss ich die Betondeckung eingeben?

Die Betondeckung beeinflusst direkt die wirksame Höhe d und damit die erforderliche Bewehrung über As = M/(fyd·τ·d). Bei größerer Betondeckung und gleicher Gesamthöhe wird d kleiner, daher steigt die erforderliche Bewehrung.

Wie ist das Ergebnis „N Stäbe mit Durchmesser … mm“ zu verstehen?

Der Rechner ermittelt die erforderliche Fläche As und prüft anschließend Stabsatzflächen S = (π·φ²/4)·n für Standarddurchmesser. Ausgegeben wird der erste Durchmesser, für den S ≥ As bei der angegebenen Stabanzahl gilt.

Kann ich diese Berechnung für die endgültige Bemessung verwenden?

Für die Vorbemessung ja, das ist ein hilfreicher Richtwert. Für eine endgültige Bemessung werden üblicherweise zusätzlich Lastkombinationen, Rissbildung, Durchbiegung, Querkraft, Verankerung, Detailausbildung und konstruktive Anforderungen nach EN 1992-1-1 überprüft.