Stahlbetonbalken berechnen

Über die Berechnung eines Stahlbetonbalkens

Der Online-Rechner für Stahlbetonbalken berechnet Bewehrung, Tragfähigkeit und Festigkeit eines rechteckigen Stahlbetonbalkens mit einfacher Lagerung oder als Kragträger. Für eine vorgegebene Last, Spannweite, Querschnittsabmessungen, Betonklasse und Bewehrungsparameter werden Biegemoment, Querkraft, erforderlicher Bewehrungsquerschnitt, geeigneter Stabdurchmesser und Ausnutzung der Tragfähigkeit bestimmt. Diese Werte gehören zu den wesentlichen Parametern bei der Beurteilung von Tragfähigkeit, Festigkeit und Durchbiegungsverhalten eines Stahlbetonträgers.

Die Berechnung erfolgt schrittweise. Zunächst wird die eingegebene Last mit dem Eigengewicht des Balkens kombiniert, anschließend werden Schnittgrößen, statische Nutzhöhe und erforderliche Bewehrungsfläche bestimmt. Nach der Auswahl eines genormten Stabdurchmessers prüft der Rechner erneut die Querschnittsgeometrie, kontrolliert, ob die Bewehrungsstäbe im Balken angeordnet werden können, und bewertet Biege- und Querkrafttragfähigkeit.

Orientierungswerte und Empfehlungen

Berechnungsablauf

Lasten und Einheiten. Die Querschnittsabmessungen und die Balkenlänge werden in Millimetern eingegeben. Vor der statischen Berechnung wird die Länge in Meter umgerechnet. Eine Streckenlast wird in kN/m und eine Einzellast in kN verwendet. Wird die Last in kg/m oder kg eingegeben, wandelt der Rechner sie mit einer Erdbeschleunigung von 9.81 m/s2 in eine Kraft um.

q = qkg · 9.81 / 1000

P = Pkg · 9.81 / 1000

Eigengewicht. Das Eigengewicht wird automatisch aus den tatsächlichen Querschnittsabmessungen berechnet. Für Stahlbeton wird eine Dichte von 2500 kg/m3 angesetzt.

g = b · h · 2500 · 9.81 / 109

In dieser Formel werden b und h in mm eingesetzt, das Ergebnis g ergibt sich in kN/m. Bei einer Streckenlast wird das Eigengewicht zur äußeren Last addiert.

Biegemoment und Querkraft

Einfach gelagerter Balken. Bei einer gleichmäßig über die gesamte Spannweite verteilten Last werden die üblichen Beziehungen für das maximale Biegemoment in Feldmitte und die Auflagerreaktion verwendet.

MEd = (q + g) · L2 / 8

VEd = (q + g) · L / 2

Kragträger. Bei einer gleichmäßig verteilten Last treten die größten Schnittgrößen an der Einspannung auf.

MEd = (q + g) · L2 / 2

VEd = (q + g) · L

Einzellast. Bei einem einfach gelagerten Balken wird angenommen, dass die Einzellast in der Mitte der Spannweite angreift. Bei einem Kragträger wird sie am freien Ende angesetzt. Das Eigengewicht des Balkens bleibt eine gleichmäßig verteilte Last.

MEd = g · L2 / 8 + P · L / 4

MEd,c = g · L2 / 2 + P · L

Lastbeiwerte. Der Rechner wendet auf die eingegebene äußere Last nicht zusätzlich die Teilsicherheitsbeiwerte γG und γQ an. Wenn eine Bemessungslastkombination erforderlich ist, muss sie vor der Eingabe der Last in den Rechner gebildet werden.

Beton und Bewehrungsstahl

Normative Grundlage. Die Berechnungsbeziehungen orientieren sich an EN 1992-1-1, Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Für Einwirkungen sind EN 1990, Eurocode: Grundlagen der Tragwerksplanung, und EN 1991-1-1, Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke. Teil 1-1: Allgemeine Einwirkungen, Wichten, Eigengewicht und Nutzlasten im Hochbau, relevant. Die Expositionsklassen des Betons beziehen sich auf EN 206, Beton: Festlegung, Eigenschaften, Herstellung und Konformität.

Bemessungsfestigkeit des Betons. Für alle Betonklassen wird ein Teilsicherheitsbeiwert von γc=1.5 verwendet. Die grundlegende Bemessungsdruckfestigkeit ergibt sich durch Division der charakteristischen Festigkeit fck durch 1.5. Für Klassen bis C50/60 wird zusätzlich αc=1.00 verwendet, für Klassen C55/67 und höher αc=0.95.

fcd = fck / 1.5

Parameter des Betonspannungsblocks. Für die Klassen C8/10-C50/60 verwendet die Berechnung εcu=3.5‰, ω=0.810 und k2=0.416. Bei höherfestem Beton werden diese Parameter reduziert:

• C55/67: εcu=3.2‰, ω=0.754, k2=0.403.
• C60/75: εcu=3.0‰, ω=0.694, k2=0.380.
• C70/85: εcu=2.8‰, ω=0.642, k2=0.371.
• C80/95: εcu=2.8‰, ω=0.605, k2=0.366.
• C90/105: εcu=2.8‰, ω=0.590, k2=0.366.

Zugfestigkeit des Betons. Für die Berechnung der Mindestbewehrung werden von der Betonklasse abhängige Werte von fctm verwendet. Für C8/10-C25/30 betragen sie der Reihe nach 1.2, 1.6, 1.9, 2.2 und 2.6 MPa; für C30/37-C50/60 2.9, 3.2, 3.5, 3.8 und 4.1 MPa; für C55/67-C90/105 4.2, 4.4, 4.6, 4.8 und 5.0 MPa.

Bewehrungsstahl. Für B500A, B500B und B500C werden die charakteristische Streckgrenze mit fyk=500 MPa, der Teilsicherheitsbeiwert mit γs=1.15 und der Elastizitätsmodul mit Es=200000 MPa angesetzt. Daraus ergibt sich eine Bemessungsstreckgrenze von fyd=434.783 MPa.

Betondeckung und statische Nutzhöhe

Betondeckung. Bei der vereinfachten Auswahl nach Umgebungsbedingungen verwendet der Rechner 20 mm für Innenräume mit normaler Luftfeuchtigkeit, 25 mm für Innenräume mit erhöhter Luftfeuchtigkeit, 30 mm für Außenbereiche und 40 mm bei Kontakt mit Erdreich.

Expositionsklassen. Der Rechner verwendet folgende feste Werte: X0 = 20 mm; XC1 = 30 mm; XC2, XC3, XC4 = 35 mm; XD1, XD2, XD3 = 50 mm; XA1 = 25 mm; XA2 = 30 mm; XA3 = 40 mm; XF = 40 mm; XS = 50 mm.

Statische Nutzhöhe. Die Berechnung bezieht sich auf die Mitte des Längsbewehrungsstabs. Nachdem der Stabdurchmesser bestimmt wurde, ergibt sich die statische Nutzhöhe daher aus der Gesamthöhe abzüglich Betondeckung und halbem Stabdurchmesser.

d = h - z1 - φ1/2

Für die zweite Bewehrungslage wird die Lage der Stabmitte auf die gleiche Weise bestimmt:

d2 = z2 + φ2/2

Iterative Neuberechnung. Der Stabdurchmesser beeinflusst die statische Nutzhöhe, während die statische Nutzhöhe die erforderliche Bewehrungsfläche beeinflusst. Die Berechnung beginnt daher mit einem angenommenen Durchmesser von 12 mm, wählt anschließend einen Durchmesser, berechnet die statische Nutzhöhe neu und wiederholt den Vorgang. Es werden höchstens 12 Iterationen durchgeführt.

Erforderliche Fläche der Hauptbewehrung

Normiertes Biegemoment. Nach Bestimmung des Bemessungsmoments wird eine dimensionslose Kenngröße für die Beanspruchung des Betonquerschnitts berechnet:

αm = MEd / (αc · fcd · b · d2)

Die interne Berechnung wird nur fortgesetzt, solange der Wert im gültigen Bereich des verwendeten Modells liegt. Die Grenzbedingung lautet αm / (ω/k2) ≤ 0.25.

Innerer Hebelarm. Für einen zulässigen Querschnitt wird der Beiwert ζ bestimmt:

ζ = 0.5 + √(0.25 - αm / (ω/k2))

Die berechnete Fläche der Zugbewehrung ergibt sich anschließend aus dem Gleichgewicht des Biegemoments:

As,calc = MEd / (fyd · ζ · d)

Mindestbewehrung. Gleichzeitig wird die Mindestfläche der Längsbewehrung berechnet. Verwendet wird der größere Wert der beiden normbasierten Ausdrücke:

As,min = max(0.26 · fctm/fyk; 0.0013) · b · d

Endgültige Anforderung. Die Hauptbewehrung muss sowohl die Biegebemessung als auch die Anforderung an die Mindestbewehrung erfüllen.

As,req = max(As,calc; As,min)

Wann die zweite Bewehrungslage berechnet wird

Grenze des einseitig bewehrten Verhaltens. Wenn die zusätzliche Bewehrungslage aktiviert ist, bestimmt der Rechner die Grenze, ab der ein Teil der Beanspruchung von der zweiten Stabgruppe übernommen wird. Für B500-Stahl beträgt die Bemessungsdehnung an der Streckgrenze ungefähr 2.174‰.

ξlim = εcu / (εcu + 2.174)

αm,lim = ω · ξlim · (1 - k2 · ξlim)

Wenn αm ≤ αm,lim gilt, ist keine zusätzliche rechnerische Bewehrung erforderlich. Wird die Grenze überschritten und ist die zweite Lage aktiviert, wird ihre erforderliche Fläche berechnet.

Beiwert der zweiten Lage. Für diesen Berechnungszweig wird eine tabellierte Beziehung zwischen dem Beiwert ξ und αm verwendet. Der Wert wird im Bereich von 0.04 bis 0.40 interpoliert. Das Verhältnis d2/d wird auf den Bereich 0.04-0.16 begrenzt.

Ein zusätzlicher Beiwert hängt von der Stahlklasse ab: Für B500A wird 3 verwendet, für B500B 5 und für B500C 10. Der resultierende Wert wird auf maximal 1 begrenzt.

ks = min((ξ - d2/d) · kclass; 1)

Zusätzliche Bewehrungsfläche. Die zweite Bewehrungslage übernimmt den Teil des Moments oberhalb der Grenze des einseitig bewehrten Querschnitts. Ihre Fläche darf ebenfalls nicht kleiner als das berechnete As,min sein.

As2 = max(As,min; (MEd - Mlim) / (ks · fyd · (d-d2)))

Bei einem einfach gelagerten Balken liegt die Hauptzugbewehrung unter den hier betrachteten Belastungen im unteren Bereich des Querschnitts. Bei einem Kragträger befindet sich die Hauptbewehrung oben.

Auswahl des Bewehrungsdurchmessers

Standardreihe der Durchmesser. Nach Bestimmung der erforderlichen Bewehrungsfläche gibt der Rechner keinen beliebigen Stabdurchmesser aus. Er prüft nacheinander die Durchmesser 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 32, 36 und 40 mm.

Für jeden Durchmesser wird die gesamte Querschnittsfläche der angegebenen Anzahl von Stäben berechnet:

As,prov = n · π · φ2 / 4

Auswahlprinzip. Gewählt wird der erste Durchmesser der Reihe, bei dem die vorhandene Bewehrungsfläche nicht kleiner als die erforderliche Fläche ist. Das Ergebnis wird daher immer auf den nächsten verfügbaren Durchmesser aufgerundetet. Wenn selbst Stäbe mit 40 mm Durchmesser bei der gewählten Anzahl nicht die erforderliche Fläche bereitstellen, weist der Rechner darauf hin, dass die Anzahl der Stäbe erhöht werden muss.

Anordnung der Bewehrung im Querschnitt

Mindestabstand. Nach Auswahl des Durchmessers prüft der Rechner, ob alle Stäbe innerhalb der Balkenbreite Platz finden. Der lichte Abstand zwischen benachbarten Stäben wird mit mindestens 20 mm und gleichzeitig mindestens mit dem Stabdurchmesser angesetzt.

aclear = max(20 mm; φ)

Erforderliche Breite. Die Prüfung berücksichtigt die Betondeckung auf beiden Seiten, die Durchmesser aller Stäbe und die lichten Abstände zwischen ihnen.

breq = 2z + nφ + (n-1) · aclear

Die Bewehrung gilt nur dann als anordenbar, wenn breq ≤ b erfüllt ist. Haupt- und Zusatzbewehrung werden getrennt geprüft.

Maximale Bewehrung. Für jede ausgewählte Stabgruppe wird eine Obergrenze von 4 % der gesamten Betonquerschnittsfläche verwendet.

As,max = 0.04 · b · h

Biegetragfähigkeit

Vorhandene Bewehrung. Nach Auswahl des Stabdurchmessers wird die Berechnung mit der tatsächlich vorhandenen Bewehrungsfläche wiederholt. Der Rechner bestimmt das größte Biegemoment MRd, das diese Bewehrung innerhalb des verwendeten Berechnungsmodells aufnehmen kann.

Numerische Suche. Der Wert MRd wird durch wiederholte Halbierung des Suchintervalls ermittelt. Es werden bis zu 80 Iterationen durchgeführt, sodass das Ergebnis praktisch unabhängig von einer manuell gewählten Suchschrittweite ist.

Ausnutzung der Tragfähigkeit. Der endgültige Prozentwert ist das Verhältnis des Bemessungsbiegemoments zur berechneten Biegetragfähigkeit.

ηM = MEd / MRd · 100%

Ein Wert bis 100 % bedeutet, dass die gewählte Längsbewehrung die Biegeprüfung erfüllt. Ein Wert über 100 % bedeutet, dass die berechnete Biegetragfähigkeit überschritten wird.

Querkraftnachweis

Längsbewehrungsgrad. Für den Querkraftnachweis wird die tatsächlich vorhandene Fläche der Hauptlängsbewehrung verwendet. Der Bewehrungsgrad wird auf einen Höchstwert von 0.02 begrenzt.

ρl = min(0.02; Asl / (b · d))

Maßstabsbeiwert. Die statische Nutzhöhe d wird in Millimetern verwendet:

k = min(2; 1 + √(200/d))

Querkrafttragfähigkeit des Betons. Es wird ein Beiwert von CRd,c=0.12 verwendet. Der Rechner bestimmt den Hauptwert der Tragfähigkeit und den Mindestwert und verwendet anschließend den größeren Wert.

vRd,c,1 = 0.12 · k · (100 · ρl · fck)1/3

vmin = 0.035 · k3/2 · √fck

VRd,c = max(vRd,c,1; vmin) · b · d

Der Beitrag einer Längsdruckspannung wird bei dieser Prüfung mit null angesetzt. Die Ausnutzung der Querkrafttragfähigkeit wird getrennt von der Biegetragfähigkeit bewertet.

ηV = VEd / VRd,c · 100%

FAQs

Warum beeinflusst das Eigengewicht des Balkens das Ergebnis, obwohl die äußere Last unverändert bleibt?

Das Eigengewicht des Balkens wird aus Breite und Höhe des Querschnitts berechnet und automatisch zur einwirkenden Last addiert. Größere Balkenabmessungen können daher einerseits die Tragfähigkeit erhöhen, andererseits aber auch die auf den Balken wirkende Streckenlast vergrößern.

Warum wählt der Rechner einen anderen Stabdurchmesser, wenn sich die Anzahl der Bewehrungsstäbe ändert?

Die erforderliche Bewehrungsfläche wird auf die angegebene Anzahl von Stäben verteilt. Eine größere Anzahl von Stäben kann die erforderliche Fläche mit einem kleineren Durchmesser bereitstellen, der Rechner prüft jedoch zusätzlich, ob die gesamte Stabgruppe mit den erforderlichen lichten Abständen innerhalb der Balkenbreite angeordnet werden kann.

Warum führt das Aktivieren einer zusätzlichen Bewehrung nicht immer zu einer zweiten Bewehrungslage?

Die zweite Bewehrungslage wird nur verwendet, wenn die berechnete Grenze des einseitig bewehrten Verhaltens überschritten wird. Kann die Hauptbewehrung innerhalb des verwendeten Modells die erforderliche Tragfähigkeit bereitstellen, bleibt die erforderliche zusätzliche Bewehrungsfläche null.

Was bedeutet eine Tragfähigkeitsausnutzung von 70 % oder 110 %?

Der Prozentwert ist das Verhältnis der Bemessungsbeanspruchung zur berechneten Tragfähigkeit. 70 % bedeutet beispielsweise, dass ungefähr sieben Zehntel der verfügbaren Tragfähigkeit genutzt werden, während 110 % bedeutet, dass die berechnete Tragfähigkeit um ungefähr ein Zehntel überschritten wird.

Warum kann der Biegenachweis erfüllt sein, während der Querkraftnachweis nicht erfüllt ist?

Es handelt sich um unabhängige Nachweise. Die Biegetragfähigkeit wird anhand des Biegemoments und der Längsbewehrung bewertet, während die Querkrafttragfähigkeit von Beton, statischer Nutzhöhe und Längsbewehrungsgrad abhängt. Deshalb können sich die Ausnutzungsgrade deutlich unterscheiden.