Biegespannung berechnen

Über die Berechnung der Biegespannung

Dieser Rechner prüft einen Träger auf Tragfähigkeit in Biegung und in Querkraft (Schub). Danach berechnet er die Biegespannung im maßgebenden Querschnitt und zeigt die Sicherheitsreserve für jedes Kriterium an.

Die Berechnung ist für Stahl und Holz verfügbar. Es werden im Rechner hinterlegte Zahlenwerte für Materialwiderstand, Dichte und Systembeiwerte verwendet.

Orientierung und Empfehlungen

Bemessungsansatz. Die Berechnung basiert auf dem klassischen Balkenmodell und Spannungsnachweisen. Zugehörige Eurocode-Dokumente: EN 1990 (Grundlagen der Tragwerksplanung), EN 1991-1-1 (Einwirkungen auf Tragwerke), EN 1993-1-1 (Stahlbau), EN 1995-1-1 (Holzbau).

Umrechnung der Last-Einheiten. Falls erforderlich, wird die Last zwischen kN und kg mit einem festen Faktor umgerechnet:

1 kN = 101.971621 kg

So können die eingegebene Last und das Eigengewicht in konsistenten internen Einheiten addiert werden.

Bemessungswiderstand R. Für die Nachweise wird der Wert R in MPa verwendet. Der Rechner übernimmt R aus den hinterlegten Werten, die in der Materialliste ausgewählt werden.

Stahl. Hinterlegte Werte (MPa): S235 = 197, S275 = 231, S355 = 298, S420 = 353.

Holz. Hinterlegte Basiswerte (MPa): C16 = 8.62, C24 = 12.92, C30 = 16.15.

Faktor 1.26. Nur für einen vollrunden Holzquerschnitt verwendet der Rechner R = Rbase · 1.26. Für andere Holzquerschnittsarten gilt R = Rbase.

Eigengewicht. Das Eigengewicht wird als gleichmäßig verteilte Last entlang der Trägerlänge zur Last addiert. Es werden folgende Dichten verwendet:

• Holz: ρ = 700 kg/m³
• Stahl: ρ = 7850 kg/m³

Querschnittsgeometrie. Aus den Querschnittsabmessungen ermittelt der Rechner die Fläche A (mm²), das Flächenträgheitsmoment I (mm⁴) und das Widerstandsmoment W (mm³). Diese Werte bestimmen die Spannungen für einen gegebenen Momenten- und Querkraftwert.

Für einen vollrunden Querschnitt werden Standardformeln verwendet:

I = π·d4/64

W = π·d3/32

Maximales Biegemoment M. Für eine gleichmäßig verteilte Last (einschließlich Eigengewicht) verwendet der Rechner einen Systembeiwert m und berechnet:

M = q · L2 · m

Der Beiwert m wird aus einem hinterlegten Satz gewählt: 0.08333333, 0.125, 0.125001, 0.5 (abhängig vom System).

Für eine Einzellast wird ein Systembeiwert und ein Eigengewichtsterm verwendet:

M = P · L · k + Mg

Dabei wird k aus folgendem Satz gewählt: 1/4, 5/32, 1/8, 1 (abhängig vom System), und Mg ist der Eigengewichtsanteil.

Maximale Querkraft V. Für eine gleichmäßig verteilte Last verwendet der Rechner eine Beziehung der Form V = q · L · kV. In der Berechnung gilt kV = 1/2 oder kV = 1 (abhängig vom System). Für eine Einzellast wird V über Systembeiwerte als Anteil von P bestimmt.

Biegespannungsnachweis. Die Normalspannung aus Biegung wird berechnet als:

σ = M / W

Die Bedingung für die Tragfähigkeit in Biegung lautet σ ≤ R. Die Sicherheitsreserve in Biegung wird in Prozent bezogen auf den Grenzwert R angezeigt.

Schubnachweis. Die Schubspannung τ wird aus der Querkraft V und der Querschnittsgeometrie bestimmt. Der Vergleich erfolgt mit dem Grenzwert R · KRs, wobei der Faktor vom Material abhängt:

• Holz: KRs = 0.10
• Stahl: KRs = 0.58

Die Schubbedingung lautet τ ≤ R · KRs. Die Schubreserve wird in Prozent bezogen auf den Grenzwert R · KRs angezeigt.

Kombinierter Nachweis (Biegung + Schub). Für einige Querschnittsarten berechnet der Rechner zusätzlich eine äquivalente Spannung:

σeq = √(σ2 + 4·τ2)

Und vergleicht sie mit dem Grenzwert:

σeq ≤ 0.87 · R

Ziel ist es, den Einfluss einer erheblichen Querkraft auf das gesamte Spannungsniveau zu berücksichtigen. Wenn der Rechner für das gewählte System annimmt, dass das Maximum des Biegemoments und das Maximum der Querkraft nicht im selben Querschnitt auftreten, kann er angeben, dass der kombinierte Nachweis nicht erforderlich ist.

Vereinfachte Schlankheitsprüfung für Profile. Für I-Profile und U-Profile bewertet der Rechner die Schlankheit mit E = 206000 MPa. Für den Flansch wird der Grenzausdruck verwendet:

Yf,lim = 0.5 · √(206000 / R)

Für den Steg wird außerdem ein Schwellenwert 2.5 verwendet. Wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, ist das ein praktischer Hinweis, dass das Profil für den gewählten Materialwiderstand zu schlank ist.

FAQs

Welche R-Werte verwendet der Rechner für den Spannungsvergleich?

Der Rechner vergleicht mit R in MPa. Für Stahl: 197, 231, 298, 353 (S235/S275/S355/S420). Für Holz: 8.62, 12.92, 16.15 (C16/C24/C30). Für einen vollrunden Holzquerschnitt gilt R = Rbase · 1.26.

Warum werden Biegung und Schub getrennt ausgewiesen?

Biegung wird durch das Moment M bestimmt und erzeugt die Spannung σ. Schub wird durch die Querkraft V bestimmt und erzeugt die Spannung τ. Je nach Spannweite, System und Last kann eines der Kriterien maßgebend sein.

Wie wird das Eigengewicht des Trägers berücksichtigt?

Das Eigengewicht wird aus Querschnittsfläche, Trägerlänge und Dichte ρ berechnet. Anschließend wird es in eine gleichmäßig verteilte Last umgerechnet und zur Einwirkung addiert, damit M und V einschließlich Eigengewicht berechnet werden.

Was bedeuten die Systembeiwerte 0.125, 0.08333333, 1/4 und andere?

Das sind hinterlegte Beiwerte für typische statische Systeme. Sie legen fest, wie aus Last und Spannweite das maximale Biegemoment und die maximale Querkraft ermittelt werden. Der Rechner wählt den Beiwert für das System und setzt ihn in die Formeln für M und V ein.

Warum wird der kombinierte Nachweis σ_eq verwendet und was bedeutet 0.87?

Er berücksichtigt den Einfluss der Querkraft auf das gesamte Spannungsniveau bei gleichzeitiger Biegung und Querkraft. Die äquivalente Spannung wird als σeq=√(σ²+4·τ²) berechnet und mit dem Grenzwert 0.87·R verglichen, den der Rechner als zusätzliches Kriterium verwendet.