Dachsparren berechnen

Über die Berechnung von Dachsparren

Dieser Dachsparren-Rechner dient dazu, die Sparrenlänge zu berechnen sowie Abmessungen und Belastung eines Holzsparrens zu bestimmen. Berücksichtigt werden Sparrenlänge, Dachneigung, Sparrenabstand, Schnee-, Wind- und ständige Lasten, Biegemoment, Durchbiegung und die erforderlichen Abmessungen eines rechteckigen Sparrenquerschnitts. Die Berechnung verwendet ein statisches System mit zwei Auflagern und einem auskragenden Dachüberstand und ermöglicht eine Abschätzung des erforderlichen Sparrenquerschnitts und der Tragfähigkeit.

Der Sparrenquerschnitt wird sowohl auf Biegefestigkeit als auch auf die zulässige Durchbiegung geprüft. Die Lastkombinationen umfassen ständige Lasten sowie Schnee- und Windeinwirkungen, während die Holzeigenschaften anhand der gewählten Festigkeitsklasse C16, C24 oder C30 angesetzt werden.

Richtwerte und Empfehlungen

Dachgeometrie

Dachneigung. Der horizontale Abstand B wird zwischen den Achsen der Auflager gemessen. Die Höhe H ist der vertikale Höhenunterschied zwischen den Auflagern des Sparrens. Wenn die Höhe vorgegeben ist, wird der Dachneigungswinkel α aus dem rechtwinkligen Dreieck berechnet:

α = arctan(H / B)

Wenn statt der Höhe der Dachneigungswinkel vorgegeben ist, wird die Dachhöhe umgekehrt berechnet:

H = B · tan(α)

Spannweite und Dachüberstand. Die Sparrenlänge zwischen den Auflagern und die Länge des auskragenden Dachüberstands werden getrennt berechnet. Der horizontale Überstand S beeinflusst den Dachneigungswinkel nicht.

Ls = B / cos(α)

Lo = S / cos(α)

Die geometrische Länge entlang der Dachneigung ergibt sich aus der Summe dieser beiden Abschnitte:

Lg = Ls + Lo

Benötigte Sparrenlänge als Zuschnittmaß. Das Ergebnis berücksichtigt nicht nur die geometrische Länge entlang der Dachneigung, sondern auch die zusätzliche Länge für die senkrechten Endschnitte. Nachdem die Sparrenhöhe h bestimmt wurde, wird die erforderliche Zuschnittlänge wie folgt berechnet:

L = Lg + h · tan(α)

Der Zuschlag h · tan(α) berücksichtigt die gesamte Längendifferenz zwischen Ober- und Unterkante des Sparrens, die durch die beiden senkrechten Endschnitte entsteht.

Schneelast

Charakteristische Schneelast. Der Eingabewert S_g,k ist die charakteristische Schneelast auf dem Boden gemäß den nationalen Bemessungsdaten für den Standort des Bauwerks. Der Rechner wandelt sie mithilfe des Formbeiwerts μ in die charakteristische Schneelast auf dem Dach um. Expositionsbeiwert und Wärmebeiwert werden im Berechnungsmodell jeweils mit 1.0 angesetzt.

Sr,k = μ · Sg,k

Der Formbeiwert hängt von der Dachneigung ab:

• bei α ≤ 30°: μ = 0.8
• bei 30° < α < 60°: μ = 0.8 · (60 − α) / 30
• bei α ≥ 60°: μ = 0

Diese Beziehung beschreibt den Fall einer gleichmäßig verteilten Schneelast auf einem geneigten Dach: Bis 30° bleibt der Beiwert konstant und nimmt anschließend linear bis auf null bei 60° ab.

Ständige Lasten und Windlast

Ständige Last. Die charakteristische ständige Last G_k ist die Summe aus dem Gewicht der gewählten Dacheindeckung und der zusätzlichen ständigen Last aus den übrigen Dachschichten.

Gk = Groof + Gadd

Windlast. Die eingegebene charakteristische Windlast W_k wird im Berechnungsmodell als Last angesetzt, die senkrecht zur Dachfläche wirkt. Der Eingabewert sollte den nationalen Bemessungsdaten für den jeweiligen Standort entnommen werden.

Teilsicherheitsbeiwerte. Für den Tragfähigkeitsnachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit verwendet der Rechner den Beiwert 1.35 für ständige Lasten und 1.50 für veränderliche Schnee- und Windlasten:

Gd = 1.35 · Gk

Sd = 1.50 · Sr,k

Wd = 1.50 · Wk

Lastkombinationen

Ungünstigste Lastkombination. Schnee- und Windlast werden nicht einfach als zwei gleichzeitig wirkende Maximalwerte addiert. Der Rechner prüft zwei Kombinationen: Schnee als führende veränderliche Einwirkung und Wind als führende veränderliche Einwirkung. Für begleitenden Wind wird der Kombinationsbeiwert ψW = 0.60 verwendet, für begleitenden Schnee ψS = 0.70.

Für die Kombination mit Schnee als führender Einwirkung:

pS = 1.35 · Gk · cos(α) + 1.50 · Sr,k · cos2(α) + 1.50 · 0.60 · Wk

Für die Kombination mit Wind als führender Einwirkung:

pW = 1.35 · Gk · cos(α) + 1.50 · Wk + 1.50 · 0.70 · Sr,k · cos2(α)

Für den anschließenden Tragfähigkeitsnachweis wird der größere Wert verwendet:

pULS = max(pS, pW)

Projektion der Lasten. Die ständige Last aus Eigengewicht wirkt vertikal und wird mit cos(α) auf die für die Sparrenbiegung maßgebende Komponente umgerechnet. Die Schneelast wird auf die horizontale Dachprojektion bezogen, daher wird bei der Umrechnung auf die den geneigten Sparren biegende Last cos2(α) verwendet. Die Windlast wird im verwendeten Modell bereits als senkrecht zur Dachfläche wirkend angesetzt.

Linienlast und Belastung eines Sparrens

Linienlast. Die Bemessungsflächenlast wird über den Sparrenabstand D in eine gleichmäßig verteilte Linienlast umgerechnet. Wenn p_ULS in kN/m² und D in Millimetern angegeben wird:

q = pULS · D / 1000

Die resultierende Last q wird in kN/m angegeben. Für die Einheitenumrechnung verwendet der Rechner 1 kN/m² ≈ 101.97 kg/m².

Einflussfläche eines Sparrens. Für den Richtwert der gesamten Belastung eines einzelnen Sparrens wird die geometrische Dachlänge ohne Zuschlag für die Endschnitte verwendet:

A = Lg · D / 1 000 000

Dabei werden L_g und D in Millimetern eingesetzt, die resultierende Einflussfläche A ergibt sich in m².

Biegemoment

Statisches System. Der Sparren wird als Balken auf zwei Auflagern mit einem auskragenden Dachüberstand auf der linken Seite und einer gleichmäßig verteilten Last über seine Länge betrachtet. Für die Berechnung werden die geneigte Spannweite L_s und die geneigte Überstandslänge L_o verwendet.

Das positive Biegemoment im Feld wird unter Berücksichtigung des Einflusses des auskragenden Dachüberstands berechnet:

Ms = q · (Ls2 − Lo2)2 / (8 · Ls2)

Dieser Wert wird verwendet, wenn Lo < Ls. Das Moment am Auflager infolge des auskragenden Dachüberstands beträgt:

Mo = q · Lo2 / 2

Für die Bemessung des Sparrenquerschnitts wird der größere absolute Wert verwendet:

M = max(Ms, Mo)

Holzfestigkeit und Sparrenbemessung

Bemessungswert der Biegefestigkeit. Für die Holzfestigkeitsklassen C16, C24 und C30 werden charakteristische Biegefestigkeiten von 16, 24 beziehungsweise 30 N/mm² angesetzt. Der Rechner verwendet den Modifikationsbeiwert kmod = 0.70 und den Materialsicherheitsbeiwert γM = 1.30.

fm,d = kmod · fm,k / γM

• C16: fm,d = 8.62 N/mm²
• C24: fm,d = 12.92 N/mm²
• C30: fm,d = 16.15 N/mm²

Das erforderliche Widerstandsmoment wird aus dem maximalen Biegemoment bestimmt:

Wreq = M / fm,d

Für einen rechteckigen Sparrenquerschnitt gilt:

W = b · h2 / 6

Wenn das Verhältnis r = h/b vorgegeben ist, wird die aus Festigkeitsgründen erforderliche Mindesthöhe des Sparrens wie folgt berechnet:

h = (6 · Wreq · r)1/3

Wenn die Sparrenbreite b direkt vorgegeben ist:

h = (6 · Wreq / b)1/2

Durchbiegungsnachweis

Elastizitätsmodul. Für die Berechnung der Durchbiegung werden mittlere Elastizitätsmodule von 8000 N/mm² für C16, 11000 N/mm² für C24 und 12000 N/mm² für C30 verwendet.

Lastkombination im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit. Für den Durchbiegungsnachweis werden die Faktoren 1.35 und 1.50 nicht angewendet. Es werden zwei Gebrauchstauglichkeitskombinationen geprüft:

pSLS,S = Gk · cos(α) + Sr,k · cos2(α) + 0.60 · Wk

pSLS,W = Gk · cos(α) + Wk + 0.70 · Sr,k · cos2(α)

pSLS = max(pSLS,S, pSLS,W)

Zulässige Durchbiegung. Der Grenzwert bezieht sich auf die geneigte Spannweite zwischen den Auflagern. Für den gewählten Faktor k mit dem Wert 200, 250 oder 300 gilt:

flim = Ls / k

Ein größerer Nenner bedeutet eine strengere Anforderung an die Steifigkeit.

Berechnete Durchbiegung. Das Flächenträgheitsmoment des rechteckigen Querschnitts beträgt:

I = b · h3 / 12

Die Durchbiegung wird über die gesamte Spannweite unter Einbeziehung der gleichmäßig verteilten Last auf dem auskragenden Dachüberstand berechnet. Für die Koordinate x, gemessen vom linken Auflager, wird folgende Beziehung verwendet:

f(x) = q / (24 · E · I) · [−6 · Lo2 · x2 + 2 · (Ls2 + Lo2) · x3 / Ls − x4 − Ls · (Ls2 − 4 · Lo2) · x]

Die maximale absolute Durchbiegung wird numerisch entlang der Spannweite mit einer Schrittweite von Ls / 1000 bestimmt. Nach der vorläufigen Wahl des Querschnitts wird die tatsächliche Durchbiegung erneut berechnet. Überschreitet sie den zulässigen Wert, wird die Sparrenhöhe h in Schritten von 1 mm erhöht, bis f ≤ flim erfüllt ist.

Auswahl der endgültigen Sparrenabmessungen

Zwei unabhängige Bedingungen. Der Sparrenquerschnitt muss sowohl die Anforderungen an die Biegefestigkeit als auch an die Durchbiegung erfüllen. Die erforderliche Mindesthöhe aus dem Festigkeitsnachweis und die erforderliche Mindesthöhe aus dem Steifigkeitsnachweis werden getrennt berechnet, anschließend wird der größere Wert gewählt.

Wenn ein Verhältnis h/b vorgegeben ist, wird die Breite aus diesem Verhältnis berechnet und beide Abmessungen werden aufgerundet. Wenn die Breite direkt vorgegeben ist, bleibt sie konstant, während die Höhe so lange erhöht wird, bis beide Bedingungen erfüllt sind. Die endgültigen Sparrenabmessungen werden auf volle Millimeter aufgerundet.

Praktische Richtwerte

Sparrenabstand. Bei Dächern von niedriggeschossigen Gebäuden werden häufig Sparrenabstände von etwa 600-900 mm verwendet. Der tatsächliche Abstand hängt jedoch von Spannweite, Belastung, Dachaufbau und gewähltem Sparrenquerschnitt ab.

Querschnittsverhältnisse. Für rechteckige Holzsparren sind h/b-Verhältnisse von etwa 1.5 bis 3 üblich. Wenn die Durchbiegung maßgebend ist, ist eine Vergrößerung der Sparrenhöhe in der Regel wesentlich wirksamer als eine Vergrößerung der Breite, da das Flächenträgheitsmoment von h³ abhängt.

Klimatische Lasten. Die charakteristische Schneelast auf dem Boden und die Windlast sollten für den konkreten Standort aus den nationalen Bemessungsdaten und den entsprechenden Nationalen Anhängen zu den Eurocodes entnommen werden.

Europäische Normen

Das Berechnungsmodell und die Bezeichnungen folgen dem allgemeinen europäischen Ansatz für die Tragwerksplanung. Lastkombinationen beziehen sich auf EN 1990 „Eurocode: Grundlagen der Tragwerksplanung“. Schneeeinwirkungen werden in EN 1991-1-3 „Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke - Teil 1-3: Allgemeine Einwirkungen - Schneelasten“ behandelt, Windeinwirkungen in EN 1991-1-4 „Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke - Teil 1-4: Allgemeine Einwirkungen - Windlasten“.

Die Festigkeitsklassen C16, C24 und C30 beziehen sich auf EN 338 „Bauholz für tragende Zwecke - Festigkeitsklassen“. Die Bemessungseigenschaften von Holzbauteilen sowie Nachweise für Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit beziehen sich auf EN 1995-1-1 „Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau“. Nationale Anhänge können abweichende Klimadaten und weitere national festgelegte Parameter enthalten.

FAQs

Warum beeinflusst der Dachüberstand S den Dachneigungswinkel nicht?

Die Dachneigung wird durch das Dreieck zwischen den beiden Auflagern bestimmt und ergibt sich daher aus der horizontalen Spannweite B und der Höhe H. Der Überstand S ist lediglich eine Verlängerung des bereits geneigten Sparrens über das linke Auflager hinaus. Eine Änderung des Überstands vergrößert die Sparrenlänge und das Kragmoment, verändert aber nicht den Dachneigungswinkel.

Warum ist die benötigte Sparrenlänge größer als die geometrische Länge entlang der Dachneigung?

Die geometrische Länge wird aus der Spannweite zwischen den Auflagern und dem Dachüberstand entlang der Dachneigung berechnet. Nachdem die Sparrenhöhe bestimmt wurde, berücksichtigt der Rechner zusätzlich die senkrechten Endschnitte, für die eine Zusatzlänge von h · tan(α) erforderlich ist. Die benötigte Sparrenlänge hängt daher sowohl von der Dachgeometrie als auch von der berechneten Sparrenhöhe ab.

Warum entspricht die gesamte Bemessungslast nicht einfach der Summe aus Schnee-, Wind- und ständiger Last?

Schnee und Wind sind veränderliche Einwirkungen, deshalb prüft der Rechner getrennte Kombinationen mit Schnee als führender und Wind als führender Einwirkung. Die begleitende Einwirkung wird mit einem Kombinationsbeiwert ψ reduziert, während vertikale Lasten zusätzlich entsprechend der Dachneigung umgerechnet werden. Für die Sparrenberechnung wird die ungünstigere der beiden Kombinationen verwendet.

Wie beeinflusst die Dachneigung den erforderlichen Sparrenquerschnitt?

Mit zunehmendem Dachneigungswinkel ändern sich die geneigte Spannweite und die Umrechnung von ständigen und Schneelasten. Oberhalb von 30° beginnt außerdem der Schneeformbeiwert μ abzunehmen und erreicht im verwendeten Berechnungsmodell bei 60° den Wert null. Eine Änderung der Dachneigung kann daher gleichzeitig Belastung, Biegemoment und Durchbiegung beeinflussen.

Warum ergeben sich für C16, C24 und C30 unterschiedliche Sparrenabmessungen?

Diese Holzfestigkeitsklassen besitzen unterschiedliche charakteristische Biegefestigkeiten und unterschiedliche Elastizitätsmodule. Eine höhere Biegefestigkeit reduziert das erforderliche Widerstandsmoment, während ein höherer Elastizitätsmodul bei gleichen Sparrenabmessungen die Durchbiegung verringert. Die endgültigen Sparrenabmessungen werden von der Bedingung bestimmt, die den größeren Querschnitt erfordert: Festigkeit oder Steifigkeit.