Dachsparren berechnen

Über die Berechnung von Dachsparren

Dieser Dachsparren Rechner führt die Berechnung von Sparrenlänge, Abmessungen und Belastung für einen Holzsparren mit zwei Auflagern und einem Kragüberstand durch. Er bestimmt die Sparrenlänge, die Belastungen, das Biegemoment, die Querkraft, die Durchbiegung und den erforderlichen rechteckigen Mindestquerschnitt für die Holzfestigkeitsklassen C16, C24 und C30.

Bei der Bemessung des Sparrens werden gleichzeitig Biegefestigkeit, Scherfestigkeit und Enddurchbiegung geprüft. Die Berechnung berücksichtigt die ständige Dachlast, das Eigengewicht des Sparrens, Schnee, Wind sowie eine separate konzentrierte Wartungslast auf dem Dach.

Orientierungswerte und Empfehlungen

Geometrie des Sparrens

Dachneigung. Der horizontale Abstand B wird zwischen den Auflagern gemessen, während H den vertikalen Höhenunterschied zwischen ihnen angibt. Ist die Höhe bekannt, wird der Dachwinkel berechnet als:

α = arctan(H / B)

Wenn der Winkel α vorgegeben ist, wird die Höhe mit der umgekehrten Beziehung berechnet:

H = B · tan(α)

Spannweite und Überstand. Der horizontale Überstand S verändert den Dachwinkel nicht. Die Länge zwischen den Auflagern L_s und die Länge des Kragüberstands L_o werden entlang des Sparrens gemessen:

Ls = B / cos(α)

Lo = S / cos(α)

Erforderliche Sparrenlänge. Nachdem die Querschnittshöhe h bestimmt wurde, berücksichtigt der Rechner die zusätzliche Länge, die für senkrechte Endzuschnitte erforderlich ist. Die endgültige Sparrenlänge wird berechnet als:

L = Ls + Lo + h · tan(α)

Ständige Last und Eigengewicht

Ständige Last. Dazu gehören das Gewicht des gewählten Dachmaterials, die zusätzliche ständige Last aus den übrigen Dachschichten und das Eigengewicht des Sparrens. Die zusätzliche Last kann Dachlatten, Konterlatten, Dämmung, Innenbekleidung und andere dauerhaft befestigte Bauteile umfassen.

Eigengewicht des Sparrens. Es wird für jeden geprüften Querschnitt automatisch berechnet. Verwendet werden Holzdichten von 370 kg/m³ für C16, 420 kg/m³ für C24 und 460 kg/m³ für C30.

Für die Querschnittsbreite b, die Querschnittshöhe h und den Sparrenabstand D in mm wird das auf die Dachfläche bezogene Eigengewicht des Sparrens berechnet als:

gself = ρ · b · h / (1000 · D)

Da das Eigengewicht von der Querschnittsgröße abhängt, wird es für jede geprüfte Größe neu berechnet und fließt in die endgültige Querschnittsauswahl ein.

Schneelast

Schneelast am Boden. Als Eingabewert wird die charakteristische Schneelast am Boden für den Standort des Gebäudes verwendet. Der Rechner wandelt sie mit dem Formbeiwert μ in eine Schneelast auf dem Dach um.

• für α ≤ 30° gilt μ = 0.8
• für 30° < α < 60° gilt μ = 0.8 · (60 - α) / 30
• für α ≥ 60° gilt μ = 0

Die charakteristische Schneelast auf der Dachfläche wird berechnet als:

Sk = μ · Sg,k

Kombinationsbeiwert. Für Schnee wird der eingegebene Kombinationsbeiwert ψ_0,S verwendet. Ein häufig verwendeter Wert ist 0.5. Für Finnland, Island, Norwegen und Schweden sowie für andere CEN-Länder in Höhen über 1000 m wird ein Wert von 0.7 verwendet, sofern der Nationale Anhang keinen anderen Wert festlegt.

Windlast

Druck auf die Dachfläche. Eingegeben wird der charakteristische Winddruck, der bereits für die betreffende Dachfläche unter Berücksichtigung von Gebäudehöhe, Gelände und aerodynamischen Beiwerten bestimmt wurde. Ein positiver Wert bedeutet Druck auf die Dachfläche, ein negativer Wert Windsog.

Der Winddruck wird als senkrecht zur Dachfläche wirkend angesetzt. Daher erfolgt keine zusätzliche Umrechnung über den Dachwinkel.

Umrechnung von Flächenlast auf Sparrenlast

Sparrenabstand. Flächenlasten werden über den Sparrenabstand D in Linienlasten umgerechnet. Vertikale ständige Lasten werden zusätzlich mit cos(α) multipliziert, während eine auf die horizontale Projektion bezogene Schneelast bei der Umrechnung auf den geneigten Sparren den Faktor cos2(α) erhält.

Wenn die Lasten in kg/m² eingegeben werden, wird zur Umrechnung in Krafteinheiten die Erdbeschleunigung g = 9.81 m/s² verwendet. Es gilt die Beziehung 1 kN/m² ≈ 101.97 kg/m².

Die charakteristischen Linienlasten auf den Sparren werden berechnet aus:

qG = Gk · g · D · cos(α) / 106

qS = Sk · g · D · cos2(α) / 106

qW = Wk · g · D / 106

Bei Abmessungen in mm wird der resultierende Zahlenwert in N/mm angegeben, was zahlenmäßig kN/m entspricht.

Lastkombinationen für den Festigkeitsnachweis

Teilsicherheitsbeiwerte. Für ungünstige ständige Lasten wird γG = 1.35 verwendet, für Schnee, Wind und konzentrierte veränderliche Lasten γQ = 1.50.

Bei positivem Winddruck werden die folgenden Kombinationen verteilter Lasten geprüft:

• 1.35 · qG
• 1.35 · qG + 1.50 · qS
• 1.35 · qG + 1.50 · qW
• 1.35 · qG + 1.50 · qS + 1.50 · 0.60 · qW
• 1.35 · qG + 1.50 · qW + 1.50 · ψ0,S · qS

Der Kombinationsbeiwert für begleitenden Wind wird mit ψ0,W = 0.60 angesetzt. Für begleitenden Schnee wird der eingegebene Wert ψ_0,S verwendet.

Windsog. Ist die Windlast negativ, prüft der Rechner separat die folgende Kombination:

qG + 1.50 · qW

In diesem Fall wirken Eigengewicht und andere ständige Lasten dem abhebenden Wind entgegen und werden daher ohne den erhöhenden Faktor 1.35 berücksichtigt.

Konzentrierte Last

Wartungslast auf dem Dach. Die vertikale konzentrierte Last wird getrennt von Schnee und Wind geprüft. Für Dächer der Kategorie H empfiehlt EN 1991-1-1 einen charakteristischen Wert von 1.0 kN, sofern der Nationale Anhang keinen anderen Wert vorgibt.

Die vertikale Kraft wird in die Komponente umgerechnet, die den geneigten Sparren biegt:

P = Pk · cos(α)

Für den Festigkeitsnachweis werden ständige Last und konzentrierte Last mit den Faktoren 1.35 und 1.50 kombiniert. Die Lastposition wird entlang des Sparrens geprüft, und für die Berechnung werden das ungünstigste Biegemoment und die ungünstigste Querkraft verwendet.

Biegemoment und Kragüberstand

Statisches System. Der Sparren wird als Balken auf zwei Auflagern mit einem Kragüberstand behandelt. Die gleichmäßig verteilte Last wirkt sowohl auf die Spannweite zwischen den Auflagern als auch auf den Überstand.

Für eine Spannweite L_s und einen Überstand L_o wird das positive Biegemoment in der Spannweite berechnet als:

Mspan = q · (Ls2 - Lo2)2 / (8 · Ls2)

Das negative Biegemoment am Auflager infolge des belasteten Überstands wird berechnet als:

Moverhang = q · Lo2 / 2

Für den Querschnittsnachweis wird der größere Absolutwert des Biegemoments verwendet. Die maximale Querkraft wird entsprechend an den maßgebenden Stellen an den Auflagern und im Kragbereich bestimmt.

Holzeigenschaften und Bemessungsfestigkeit

Holzfestigkeitsklassen. Für C16, C24 und C30 werden folgende Eigenschaften verwendet:

• C16: fm,k = 16 N/mm², fv,k = 3.2 N/mm², E = 8000 N/mm²
• C24: fm,k = 24 N/mm², fv,k = 4.0 N/mm², E = 11000 N/mm²
• C30: fm,k = 30 N/mm², fv,k = 4.0 N/mm², E = 12000 N/mm²

Nutzungsbedingungen. Für die Sparren wird Nutzungsklasse 2 angenommen. Der Materialbeiwert wird mit γM = 1.30 angesetzt.

Der Modifikationsbeiwert k_mod hängt vom maßgebenden Lastfall ab. Die Berechnung verwendet 0.60 für ständige Lasten, 0.80 für Schneelast, 0.90 für die konzentrierte Wartungslast und 1.10 für Kombinationen, bei denen Wind maßgebend ist.

Die Bemessungsfestigkeit des Holzes wird berechnet als:

fd = kmod · fk / γM

Biege- und Schubnachweis

Biegung. Für einen rechteckigen Querschnitt mit Breite b und Höhe h gilt für das Widerstandsmoment:

W = b · h2 / 6

Die Bemessungsbiegespannung wird als σm = M / W berechnet und mit der Bemessungsbiegefestigkeit f_m,d verglichen.

Schub. Für einen rechteckigen Querschnitt wird die Bemessungsschubspannung aus der maximalen Querkraft V berechnet:

τ = 1.5 · V / (kcr · b · h)

Für die wirksame Fläche beim Schubnachweis wird der Faktor kcr = 0.67 verwendet. Die resultierende Spannung wird mit der Bemessungsschubfestigkeit f_v,d verglichen.

Durchbiegung und langfristige Holzverformung

Flächenträgheitsmoment. Die Steifigkeit eines rechteckigen Querschnitts wird bestimmt durch:

I = b · h3 / 12

Die Durchbiegung wird aus der elastischen Biegelinie eines Balkens mit zwei Auflagern und einem Kragüberstand berechnet. Für jede Lastkombination wird die maximale absolute Durchbiegung innerhalb der Spannweite bestimmt.

Langzeitverformung. Für Nutzungsklasse 2 wird der Kriechbeiwert mit kdef = 0.80 angesetzt. Der Anteil der ständigen Last an der Enddurchbiegung wird daher mit 1 + kdef = 1.80 multipliziert.

Für den Schneeanteil verwendet der Rechner ψ_2,S gleich 0, wenn ψ0,S < 0.65, und 0.20, wenn ψ0,S ≥ 0.65.

Für eine durch Schnee bestimmte Kombination wird für den Durchbiegungsnachweis die folgende Endlast verwendet:

qfin,S = qG · (1 + kdef) + qS · (1 + ψ2,S · kdef) + 0.60 · qW

Der letzte Term wird nur bei positivem Winddruck berücksichtigt.

Für eine durch positiven Winddruck bestimmte Kombination wird folgender Ausdruck verwendet:

qfin,W = qG · (1 + kdef) + qW + qS · (ψ0,S + ψ2,S · kdef)

Bei Windsog wird die Kombination aus ständiger Last und negativer Windlast geprüft. Für die konzentrierte Wartungslast wird die Enddurchbiegung aus der ständigen Last und der ungünstigsten Position der Wartungskraft separat geprüft.

Zulässige Durchbiegung. Der Grenzwert wird relativ zur Spannweite zwischen den Auflagern festgelegt:

flim = Ls / n

Der Rechner bietet die Werte n = 200, 250 und 300. Ein größerer Nenner bedeutet eine kleinere zulässige Durchbiegung und erfordert daher einen steiferen Sparrenquerschnitt.

Auswahl des endgültigen Sparrenquerschnitts

Drei Bedingungen. Ein Querschnitt gilt nur dann als ausreichend, wenn alle drei Anforderungen gleichzeitig erfüllt sind: Die Ausnutzung bei Biegung beträgt höchstens 100 %, die Ausnutzung bei Schub höchstens 100 % und die Ausnutzung der Durchbiegung höchstens 100 %.

Die Ausnutzung beschreibt das Verhältnis zwischen der berechneten Beanspruchung und dem zulässigen Wert. Ein Wert von 85 % bedeutet zum Beispiel, dass für den jeweiligen Nachweis etwa 85 % der verfügbaren Bemessungstragfähigkeit oder der zulässigen Durchbiegung genutzt werden.

Automatische Bemessung. Der Ausgangsquerschnitt wird mit einem ungefähren Verhältnis von Höhe zu Breite von h : b = 2 : 1 gewählt. Die Abmessungen werden vergrößert, bis alle Nachweise erfüllt sind. Danach wird der kleinste geeignete Querschnitt mit auf ganze Millimeter aufgerundeten Abmessungen gewählt.

Wird eine Querschnittsabmessung geändert, wird die andere als kleinster Wert neu berechnet, der die Anforderungen an Biegung, Schub und Durchbiegung wieder erfüllt. Deshalb muss das endgültige Verhältnis h/b nach einer manuellen Anpassung nicht bei 2 bleiben.

Maßgebender Nachweis. Der Rechner vergleicht die Ausnutzung bei Biegung, Schub und Durchbiegung. Der Nachweis mit dem höchsten Ausnutzungsgrad wird als maßgebend angegeben. Zusätzlich wird die Lastkombination ausgegeben, bei der diese maximale Ausnutzung auftritt.

Europäische Normen

Lastkombinationen. Die allgemeinen Grundsätze für die Kombination ständiger und veränderlicher Einwirkungen stehen im Zusammenhang mit EN 1990 „Eurocode - Grundlagen der Tragwerksplanung“.

Nutzlast auf Dächern. Die konzentrierte Dachlast steht im Zusammenhang mit EN 1991-1-1 „Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke - Teil 1-1: Allgemeine Einwirkungen - Wichten, Eigengewicht und Nutzlasten im Hochbau“.

Schnee. Schneeeinwirkungen werden in EN 1991-1-3 „Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke - Teil 1-3: Allgemeine Einwirkungen - Schneelasten“ behandelt.

Wind. Windeinwirkungen werden in EN 1991-1-4 „Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke - Teil 1-4: Allgemeine Einwirkungen - Windlasten“ behandelt.

Holz. Die Festigkeitsklassen C16, C24 und C30 stehen im Zusammenhang mit EN 338 „Bauholz für tragende Zwecke - Festigkeitsklassen“. Festigkeits- und Gebrauchstauglichkeitsnachweise für Holzbauteile folgen den Grundsätzen von EN 1995-1-1 „Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau“.

Klimatische Werte und einige Beiwerte können im Nationalen Anhang des Landes, in dem sich das Gebäude befindet, abweichend festgelegt sein. Für Bemessungsberechnungen sollten die im gültigen Nationalen Anhang festgelegten Parameter verwendet werden.

FAQs

Warum wird die erforderliche Sparrengröße häufig durch die Durchbiegung und nicht durch die Festigkeit bestimmt?

Ein hoher Holzsparren kann bereits eine ausreichende Biegefestigkeit besitzen, bevor die Steifigkeitsanforderung erfüllt ist. Besonders bei größeren Spannweiten wird die Durchbiegung wichtig, weil das Flächenträgheitsmoment von der dritten Potenz der Querschnittshöhe abhängt, während die Verformung mit zunehmender Spannweite stark ansteigt.

Warum kann ein kleinerer Sparrenabstand den erforderlichen Sparrenquerschnitt reduzieren?

Die Flächenlast des Daches wird auf benachbarte Sparren verteilt. Bei kleinerem Abstand D trägt jeder Dachsparren einen schmaleren Dachstreifen, wodurch Linienlast, Biegemoment und Durchbiegung geringer werden. Dadurch kann ein kleinerer Sparrenquerschnitt ausreichen.

Wie wird eine negative Windlast eingegeben?

Ein negativer Wert bedeutet Windsog von der Dachfläche weg. Der Rechner behält das Vorzeichen des Winddrucks bei und prüft den Auftrieb separat, wobei die ständige Dachlast und das Eigengewicht des Sparrens in entgegengesetzter Richtung wirken. Eine negative Windlast sollte daher nicht als positiver Absolutwert eingegeben werden.

Warum ist die berechnete Sparrenlänge größer als die einfache Länge der Dachschräge?

Die geometrische Länge der Dachschräge ist die Summe aus geneigter Spannweite und geneigtem Überstand. Die erforderliche Sparrenlänge berücksichtigt zusätzlich die berechnete Querschnittshöhe und die senkrechten Endzuschnitte durch den Zuschlag h · tan(α). Deshalb kann eine Änderung der Sparrenhöhe die benötigte Gesamtlänge geringfügig verändern.

Warum kann der berechnete Sparrenquerschnitt von üblichen Holzabmessungen abweichen?

Der Dachsparren Rechner bestimmt den rechnerisch erforderlichen rechteckigen Mindestquerschnitt und rundet seine Abmessungen auf ganze Millimeter, nicht auf handelsübliche Holzgrößen eines bestimmten Landes. Der berechnete Querschnitt kann als Mindestanforderung verwendet werden, anschließend wird die nächstgrößere verfügbare Holzabmessung gewählt.