Holzbalken berechnen

Lastschema

Schema

Berechnungsergebnis:
Zusätzliche Berechnungsergebnisse
Querschnittsfläche A: - mm²
Flächenträgheitsmoment I: - mm⁴
Widerstandsmoment W: - mm³
Balkenmasse: - kg
Eigengewichtslast: - kN/m
Maximales Biegemoment: - kN·m
Maximale Querkraft: - kN
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Über die Berechnung von Holzbalken

Die Ergebnisse sind Näherungswerte. Prüfen Sie die Berechnungen vor der Anwendung anhand der geltenden Normen und ziehen Sie einen Fachmann hinzu. Der Entwickler übernimmt keine Verantwortung für die Folgen der Nutzung ohne projektbezogene Prüfung.

Mit diesem Rechner können Sie einen rechteckigen Holzbalken berechnen und seine Durchbiegung, Biegefestigkeit und Schubfestigkeit bestimmen. Der Online-Rechner berücksichtigt die Querschnittsabmessungen, die Spannweite, die Festigkeitsklasse des Holzes, die Lagerungsart, eine gleichmäßig verteilte oder konzentrierte Last sowie das Eigengewicht des Balkens.

Zu den Ergebnissen gehören die Durchbiegung des Holzbalkens, die zulässige Durchbiegung, Normal- und Schubspannungen sowie Querschnittsfläche, Flächenträgheitsmoment, Widerstandsmoment, Balkenmasse, Eigengewichtslast, maximales Biegemoment und maximale Querkraft.

Richtwerte und Empfehlungen

Normen und Holzeigenschaften

Europäische Normen. Die Eigenschaften von Bauholz basieren auf den in EN 338 „Bauholz für tragende Zwecke – Festigkeitsklassen“ definierten Festigkeitsklassen. Der allgemeine Ansatz zur Bemessung von Holzbauteilen folgt den Grundsätzen von EN 1995-1-1 „Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten – Teil 1-1: Allgemeines – Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau“. Zugehörige Normen für Einwirkungen und Grenzzustandsbemessung sind EN 1991 „Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke“ und EN 1990 „Eurocode: Grundlagen der Tragwerksplanung“.

Eigenschaften der Holzfestigkeitsklassen. Für jede Festigkeitsklasse werden ein eigener mittlerer Elastizitätsmodul, eine mittlere Rohdichte, eine charakteristische Biegefestigkeit und eine charakteristische Schubfestigkeit verwendet:

  • C16: E0,mean = 8000 MPa, ρ = 370 kg/m3, fm,k = 16 MPa, fv,k = 3.2 MPa.
  • C24: E0,mean = 11000 MPa, ρ = 420 kg/m3, fm,k = 24 MPa, fv,k = 4.0 MPa.
  • C30: E0,mean = 12000 MPa, ρ = 460 kg/m3, fm,k = 30 MPa, fv,k = 4.0 MPa.

Bemessungsfestigkeit. Die charakteristische Festigkeit wird nach der allgemeinen Beziehung des Eurocode 5 in die Bemessungsfestigkeit umgerechnet:

fd = kmod·fk/γM

Der Rechner verwendet die festen Werte kmod = 0.7 und γM = 1.3. Daraus ergeben sich Bemessungsbiegefestigkeiten von 8.62 MPa für C16, 12.92 MPa für C24 und 16.15 MPa für C30. Die entsprechenden Bemessungsschubfestigkeiten betragen 1.72 MPa, 2.15 MPa und 2.15 MPa.

Modifikationsbeiwert kmod. Nach EN 1995-1-1 hängt dieser Beiwert von der Lasteinwirkungsdauer und den Nutzungsklassen des Holzes ab. Der Rechner passt diesen Wert nicht automatisch an, sondern verwendet konstant 0.7. Dies ist eine der wesentlichen Annahmen der Berechnung.

Angesetzte Last. Der Rechner behandelt die vom Benutzer eingegebene Last als bereits festgelegte Bemessungseinwirkung. Kombinationsbeiwerte für Lasten nach EN 1990 und EN 1991 werden nicht automatisch auf den eingegebenen Wert angewendet.

Querschnittseigenschaften des Balkens

Querschnittsfläche. Für einen rechteckigen Balken mit der Breite t und der Höhe h wird die Fläche wie folgt berechnet:

A = t·h

Werden die Abmessungen in Millimetern eingegeben, ergibt sich die Fläche in mm2. Sie wird zur Berechnung der Balkenmasse, des Eigengewichts und der Schubspannung verwendet.

Flächenträgheitsmoment. Die Biegesteifigkeit des rechteckigen Querschnitts wird durch folgende Größe beschrieben:

I = t·h3/12

Der Wert I wird in mm4 angegeben und beeinflusst die Durchbiegung des Balkens direkt. Eine Vergrößerung der Balkenhöhe erhöht die Steifigkeit daher wesentlich stärker als die gleiche relative Vergrößerung der Breite.

Widerstandsmoment. Für den Nachweis der Biegespannung wird folgendes Widerstandsmoment verwendet:

W = t·h2/6

Das Widerstandsmoment wird in mm3 angegeben und stellt den Zusammenhang zwischen dem maximalen Biegemoment und der Spannung in den äußersten Holzfasern her.

Statisches Moment der Fläche. Für die maximale Schubspannung in einem rechteckigen Querschnitt verwendet der Rechner:

Q = t·h2/8

Lasteinheiten und Eigengewicht

Umrechnung der Last. Zur Umrechnung von in Kilogramm angegebenen Werten in Kräfte wird die Erdbeschleunigung g = 9.80665 m/s2 verwendet. Eine verteilte Last in kg/m wird in eine Kraft pro Längeneinheit umgerechnet, während eine konzentrierte Last in kg in Newton umgerechnet wird. Direkt in kN/m oder kN eingegebene Werte werden als Kräfte verwendet.

Eigengewicht. Die Masse pro Meter wird aus der Querschnittsfläche und der mittleren Rohdichte der gewählten Holzfestigkeitsklasse bestimmt. Die verteilte Last aus Eigengewicht wird berechnet als:

qsw = ρ·A·g·10-9

Bei A in mm2 ergibt sich qsw in kN/m. Das Eigengewicht wird immer als gleichmäßig verteilte Last berücksichtigt, auch wenn die äußere Hauptlast konzentriert wirkt.

Balkenmasse. Für eine Balkenlänge L in Millimetern wird die Masse berechnet als:

m = ρ·A·L·10-9

Das Ergebnis wird in Kilogramm angegeben.

Biegemoment und Querkraft

Gesamte verteilte Last. Bei einer äußeren gleichmäßig verteilten Last werden die Schnittgrößen mit q = qext + qsw berechnet. Bei einer äußeren konzentrierten Kraft P besteht der verteilte Anteil q aus dem Eigengewicht des Balkens.

Bemessungsschnittgrößen. In den folgenden Formeln wird q in kN/m, P in kN und L in Metern eingesetzt. Das maximale Biegemoment ergibt sich in kN·m und die maximale Querkraft in kN:

  • Gelenk-Gelenk: Mmax = q·L2/8 + P·L/4, Vmax = q·L/2 + P/2.
  • Einspannung-Gelenk: Mmax = q·L2/8 + 3·P·L/16, Vmax = 5·q·L/8 + 11·P/16.
  • Einspannung-Einspannung: Mmax = q·L2/12 + P·L/8, Vmax = q·L/2 + P/2.
  • Kragarm: Mmax = q·L2/2 + P·L, Vmax = q·L + P.

Bei Balken mit beidseitiger Lagerung greift die konzentrierte Kraft entsprechend dem gewählten Berechnungsschema im mittleren Bereich der Spannweite an. Beim Kragarm wirkt die Kraft am freien Ende. Das Eigengewicht des Balkens wirkt über die gesamte Länge.

Berechnung der Durchbiegung

Biegesteifigkeit. Die Durchbiegung wird durch das Produkt E·I bestimmt: Je größer der Elastizitätsmodul des Holzes oder das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts ist, desto geringer ist die Verformung. In den Durchbiegungsformeln verwendet der Rechner q in N/mm, P in N, L in mm, E in MPa und I in mm4, sodass das Ergebnis direkt in Millimetern ausgegeben wird.

Einfach gelagerter Balken. Die Durchbiegung infolge der verteilten und konzentrierten Last wird nach dem Superpositionsprinzip berechnet:

f = 5·q·L4/(384·E·I) + P·L3/(48·E·I)

Beidseitig eingespannter Balken. Für einen an beiden Enden eingespannten Balken gilt:

f = q·L4/(384·E·I) + P·L3/(192·E·I)

Kragarm. Für eine über die gesamte Länge wirkende verteilte Last und eine Kraft am freien Ende gilt:

f = q·L4/(8·E·I) + P·L3/(3·E·I)

Einspannung-Gelenk. Für eine allein wirkende verteilte Last beträgt der Beiwert der maximalen Durchbiegung 0.00541612:

fq = 0.00541612·q·L4/(E·I)

Für eine allein wirkende konzentrierte Kraft beträgt der Beiwert √5/240 ≈ 0.00931695:

fP = 0.00931695·P·L3/(E·I)

Wirken Eigengewicht und konzentrierte Kraft gleichzeitig, muss die Stelle der maximalen Durchbiegung nicht mit der Feldmitte zusammenfallen. Deshalb überlagert der Rechner für das System Einspannung-Gelenk die elastischen Linien aus beiden Lasten und bestimmt die maximale absolute Durchbiegung entlang der Balkenlänge.

Zulässige Durchbiegung

Durchbiegungskriterium. Der zulässige Wert wird als Spannweite geteilt durch einen Beiwert n definiert:

flim = L/n

Bei automatischer Auswahl ändert sich der Beiwert abhängig von der Spannweite kontinuierlich:

  • bis 1000 mm — n = 120;
  • von 1000 bis 3000 mm — linear von 120 bis 150;
  • von 3000 bis 6000 mm — linear von 150 bis 200;
  • von 6000 bis 24000 mm — linear von 200 bis 250;
  • von 24000 bis 36000 mm — linear von 250 bis 300;
  • über 36000 mm — n = 300.

Der automatisch gewählte Wert dient als praktischer Richtwert für die Gebrauchstauglichkeit und nicht als allgemeingültiger normativer Grenzwert für jede Konstruktion. Ist für ein Projekt ein bestimmter Grenzwert bekannt, kann ein eigenes Verhältnis L/n eingegeben werden; ein größeres n verringert die zulässige Durchbiegung und verschärft den Nachweis.

Festigkeitsnachweise und Bewertung des Ergebnisses

Normalspannung. Die maximale Biegespannung wird aus dem Widerstandsmoment berechnet:

σm = Mmax/W

Der Nachweis der Biegefestigkeit ist erfüllt, wenn:

σm ≤ fm,d

Schubspannung. Die maximale Schubspannung wird aus der maximalen Querkraft bestimmt:

τ = Vmax·Q/(I·t)

Für einen rechteckigen Querschnitt ist diese Beziehung gleichwertig mit τ = 1.5·Vmax/A. Der Nachweis der Schubfestigkeit ist erfüllt, wenn:

τ ≤ fv,d

Festigkeitsreserve. Ist ein Festigkeitsnachweis erfüllt, zeigt die ausgegebene Reserve das relative Verhältnis zwischen Bemessungsfestigkeit und berechneter Spannung:

Reserve = (fd/σ - 1)·100%

Für den Schubnachweis wird τ anstelle von σ und fv,d anstelle von fd verwendet. Durchbiegung, Biegung und Schub werden unabhängig voneinander geprüft: Das Erfüllen einer Bedingung gleicht die Überschreitung einer anderen nicht aus.

FAQs

Warum biegt sich derselbe Holzbalken aus C24 weniger durch als ein Balken aus C16?

Die Festigkeitsklasse des Holzes beeinflusst nicht nur die zulässige Spannung, sondern auch die Steifigkeit. Der Rechner verwendet für C16 E = 8000 MPa und für C24 11000 MPa. Bei gleichem Querschnitt, gleicher Spannweite und gleicher Last ist die berechnete Durchbiegung eines C24-Holzbalkens daher geringer.

Warum kann ein Holzbalken den Festigkeitsnachweis erfüllen, aber den Durchbiegungsnachweis nicht?

Festigkeit und Steifigkeit beschreiben unterschiedliche Aspekte des Tragverhaltens. Die Biegespannung kann deutlich unter der Bemessungsfestigkeit des Holzes liegen, während eine geringe Steifigkeit E·I bei großer Spannweite trotzdem zu einer übermäßigen Durchbiegung führt. Bei Holzbalken kann die Durchbiegung deshalb maßgebend sein, obwohl die Tragfähigkeit ausreichend ist.

Warum wird das Eigengewicht auch bei einer konzentrierten Last berücksichtigt?

Eine konzentrierte Kraft beschreibt nur eine äußere Einwirkung an einem einzelnen Punkt. Der Holzbalken selbst besitzt jedoch über seine gesamte Länge eine Masse, sodass sein Eigengewicht gleichzeitig als gleichmäßig verteilte Last qsw wirkt und Durchbiegung, Biegemoment und Querkraft beeinflusst.

Was bedeutet die Festigkeitsreserve im Ergebnis?

Die Reserve zeigt, um wie viel die Bemessungsfestigkeit der gewählten Holzklasse relativ über der berechneten Spannung liegt. Eine Reserve von beispielsweise 20% beschreibt das Verhältnis zwischen Bemessungsgrenze und aktueller Spannung; sie bedeutet nicht automatisch, dass die äußere Last exakt um 20% erhöht werden kann, da auch das Eigengewicht des Balkens in die Berechnung eingeht.

Wie sollte ich die zulässige Durchbiegung L/n wählen?

Ist keine spezielle Vorgabe bekannt, verwendet der Rechner zum Berechnen von Holzbalken einen automatischen Richtwert in Abhängigkeit von der Spannweite. Gibt eine Projektvorgabe, Bemessungsanforderung oder anzuwendende Regel einen bestimmten Grenzwert vor, sollte das benutzerdefinierte Verhältnis L/n verwendet werden. Je größer der Nenner n, desto strenger ist die Anforderung an die Durchbiegung.