Holzbalken berechnen

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Über die Berechnung von Holzbalken

Die Ergebnisse sind Näherungswerte. Prüfen Sie die Berechnungen vor der Anwendung anhand der geltenden Normen und ziehen Sie einen Fachmann hinzu. Der Entwickler übernimmt keine Verantwortung für die Folgen der Nutzung ohne projektbezogene Prüfung.

Dieser Rechner ermöglicht eine überschlägige Prüfung von Holzbalken auf Durchbiegung, Biegefestigkeit und Scherfestigkeit. Er eignet sich für eine schnelle Beurteilung von Deckenbalken, Trägern für Beläge sowie Kragarmen bei gleichmäßig verteilter oder konzentrierter Last.

Die Berechnung basiert auf klassischen Formeln der Festigkeitslehre und der allgemeinen Eurocode-Logik. Die verwendeten Koeffizienten und Formeln sind unten ausdrücklich angegeben, damit die Annahmen und die Herleitung der Ergebnisse nachvollziehbar sind.

Orientierungswerte und Empfehlungen

Normative Grundlagen (EU). Die Prüflogik folgt dem üblichen Konzept der Grenzzustände nach EN 1990. Die Behandlung und Darstellung von Lasten ist mit EN 1991 konsistent. Für Holzbauteile ist EN 1995-1-1 (Eurocode 5) die wichtigste Referenz. In der aktuellen Version nutzt der Rechner ingenieurmäßige Vereinfachungen und bildet keine Bemessungslastkombinationen nach EN 1990.

Trägersystem und Berechnungsfaktoren. Das gewählte Lagerungssystem legt Faktoren für die Berechnung der Durchbiegung und des maximalen Biegemoments bei gleichmäßig verteilter Last fest:

  • Gelenk-Gelenk: Durchbiegungsfaktor m = 0.0130208333, Momentenfaktor m1 = 0.125001 ≈ 1/8.
  • Einspannung-Gelenk: m = 0.0054054054, m1 = 0.125 = 1/8.
  • Einspannung-Einspannung: m = 0.0026041667 ≈ 1/384, m1 = 0.08333333 ≈ 1/12.
  • Kragarm: m = 0.125 = 1/8, m1 = 0.5 = 1/2.

Abmessungen und Einheiten. Die Querschnittsgeometrie wird in Millimetern eingegeben: Breite t (mm) und Höhe h (mm). Die Spannweite wird in Millimetern L (mm) eingegeben. Lasten können in kg/m oder kN/m (für Streckenlast) sowie in kg oder kN (für Einzellast) eingegeben werden.

Querschnittswerte. Aus t und h werden berechnet:

  • Fläche: A = t·h (mm2).
  • Flächenträgheitsmoment: I = t·h3/12 (mm4).
  • Widerstandsmoment: W = t·h2/6 (mm3).
  • Statisches Moment für Schub in der Neutralachse (Rechteck): Q = t·h2/8 (mm3).

Elastizitätsmodul für die Durchbiegung. Für die Durchbiegung wird ein konstanter Wert E = 10000 MPa verwendet. Das ist eine typische Größenordnung für Konstruktionsholz aus Nadelholz. In der Bemessung nach EN 1995-1-1 hängt E von der Festigkeitsklasse und den Gebrauchsklassen ab, daher sind die Durchbiegungsergebnisse hier als überschlägig zu verstehen.

Festigkeitsklasse und Bemessungs-Biegefestigkeit. Für den Nachweis der Normalspannungen wird die Bemessungs-Biegefestigkeit Ryd (MPa) angesetzt:

  • C16: Ryd = 8.62 MPa
  • C24: Ryd = 12.92 MPa
  • C30: Ryd = 16.15 MPa

Diese Werte sind bereits auf Bemessungsniveau angegeben (mit typischen Einflüssen aus Einwirkungsdauer und Materialsicherheitsbeiwert). Dadurch kann ohne zusätzliche Eingaben direkt mit einem zulässigen Bemessungsniveau verglichen werden.

Einheitenumrechnung (kg ↔ kN). Für die Umrechnung wird die Erdbeschleunigung g = 9.81 m/s2 verwendet. Praktisch bedeutet das:

1 kN = 1000 N ≈ 1000/9.81 ≈ 101.97 kgf

Beim Wechsel der Einheiten wird der Zahlenwert der Last neu berechnet, damit die physikalische Last unverändert bleibt.

Eigengewicht des Trägers. Das Eigengewicht wird als zusätzliche gleichmäßig verteilte Last berücksichtigt. Es wird eine Holzdichte von ρ = 550 kg/m3 angenommen. Das Eigengewicht wirkt sich besonders bei großen Spannweiten und vergleichsweise kleinen Nutzlasten spürbar aus.

Gleichmäßig verteilte Last: Durchbiegung. Für die Durchbiegung wird der Systemfaktor m verwendet:

f = m·q·L4 / (E·I·100) + m·qsw·L4 / (E·I·100)

Dabei ist q die aufgebrachte Streckenlast, qsw die Streckenlast aus Eigengewicht, L die Spannweite, E der Elastizitätsmodul und I das Flächenträgheitsmoment. Die Skalierungsfaktoren berücksichtigen die interne Einheitenumrechnung, da die Geometrie in mm eingegeben wird.

Gleichmäßig verteilte Last: Biegung und Spannungen. Das maximale Biegemoment wird mit dem Systemfaktor m1 berechnet und enthält das Eigengewicht:

M = (q/100)·L2·m1 + (qsw)·L2·m1

Die Normalspannung aus Biegung (MPa) lautet:

σ = M / W

Nachweis der Biegefestigkeit:

σ ≤ Ryd

Querkraft und Schub. Für den Schubspannungsnachweis wird die maximale Querkraft angesetzt. Für eine gleichmäßig verteilte Last ergibt sich der Bemessungsmaximumwert (mit interner Umrechnung) als:

V = (q/100)·L/2 für die meisten Systeme und V = (q/100)·L für den Kragarm

Die Schubspannung wird für den Rechteckquerschnitt berechnet mit:

τ = V·Q / (I·t)

Die Schubtragfähigkeit ist vereinfacht als Anteil der Bemessungs-Biegefestigkeit angesetzt: τ ≤ 0.1·Ryd. Das ist ein konservativer Richtwert für eine schnelle Schubprüfung ohne detaillierte Eingaben zu Holzparametern und Gebrauchsklassen.

Einzellast: Durchbiegung. Für eine Einzellast P wird ein systemabhängiger Faktor verwendet. Es gelten:

  • Gelenk-Gelenk: k = 0.020833
  • Einspannung-Gelenk: k = 0.00912
  • Einspannung-Einspannung: k = 0.0052
  • Kragarm: k = 0.3333333

Die Durchbiegung unter einer Einzellast wird berechnet als (wie implementiert, mit interner Skalierung für mm):

f = (k·P·L3)/(E·I)·10 + m·qsw·L4/(E·I·100)

Damit sind die Durchbiegung aus der Einzellast P und aus dem Eigengewicht berücksichtigt.

Einzellast: Biegung und Spannungen. Das maximale Biegemoment aus der Einzellast P hängt vom gewählten System ab. Grundsätzlich verwendet der Rechner die charakteristische Formel für das jeweilige System, berechnet danach σ = M/W und vergleicht mit Ryd. Das ist notwendig, weil sich Momentenverläufe bei Kragarmen und einfach gelagerten Trägern wesentlich unterscheiden.

Durchbiegungsgrenze. Die zulässige Durchbiegung wird als Verhältnis aus effektiver Länge und Faktor definiert:

flim = Lx / k

Für den Kragarm wird die effektive Länge als Lx = 2·L angesetzt, für andere Systeme Lx = L. Der Faktor k wird in Abhängigkeit von Lx (mm) mit weichen Übergängen gewählt:

  • wenn Lx ≤ 1000 mm, dann k = 120
  • wenn 1000 < Lx ≤ 3000 mm, dann ändert sich k linear von 120 auf 150
  • wenn 3000 < Lx ≤ 6000 mm, dann ändert sich k linear von 150 auf 200
  • wenn 6000 < Lx ≤ 24000 mm, dann ändert sich k linear von 200 auf 250
  • wenn 24000 < Lx ≤ 36000 mm, dann ändert sich k linear von 250 auf 300
  • wenn Lx > 36000 mm, dann k = 300

Gebrauchstauglichkeitsnachweis: f ≤ flim. Dadurch gelten strengere Anforderungen für kurze Spannweiten und weniger strenge für lange Spannweiten.

So lesen Sie die Ergebnisse. Die Durchbiegung beantwortet die Frage „wie stark der Träger durchhängt“. Der Nachweis mit σ zeigt die Sicherheitsreserve bei Biegung, der Nachweis mit τ die Reserve bei Schub. Wenn eine Bedingung nicht erfüllt ist, sind typische Maßnahmen eine größere Höhe h, eine kleinere Spannweite, eine geringere Last oder ein anderes Trägersystem.

FAQs

Warum wird die Durchbiegung mit einem festen Elastizitätsmodul von 10000 MPa berechnet?

So entsteht eine einfache und reproduzierbare Abschätzung ohne zusätzliche Eingaben. Nach EN 1995-1-1 hängt der Elastizitätsmodul von der Festigkeitsklasse und den Gebrauchsklassen ab, deshalb sollte für die Bemessung ein passender Wert für E verwendet werden. Für die Vorbemessung liefert ein fester Wert meist die richtige Größenordnung.

Wird das Eigengewicht des Holzträgers berücksichtigt?

Ja, das Eigengewicht wird als gleichmäßig verteilte Last entlang des Trägers angesetzt. Die angenommene Dichte beträgt ρ = 550 kg/m3. Bei großen Spannweiten kann das Eigengewicht Durchbiegung und Spannungen merklich erhöhen.

Was bedeutet der Schubnachweis und warum ist die Grenze auf 0.1·Ryd gesetzt?

Der Schubnachweis bewertet die Schubspannung τ, die aus der Querkraft V entsteht. In diesem Rechner ist die Grenze vereinfacht als τ ≤ 0.1·Ryd gesetzt, um ohne weitere Eingaben einen konservativen Richtwert zu erhalten. EN 1995-1-1 behandelt Schub detaillierter und berücksichtigt Holzkennwerte sowie Gebrauchsklassen.

Warum wird bei Kragarmen eine verdoppelte effektive Länge in der Durchbiegungsgrenze verwendet?

Kragarme reagieren aus Sicht der Gebrauchstauglichkeit häufig empfindlicher auf Durchbiegungen. Mit Lx = 2·L wird das Durchbiegungskriterium für Kragarme strenger, wodurch sichtbare oder störende Verformungen wahrscheinlicher vermieden werden.

Welche Einheiten sind besser: kg/m oder kN/m?

Beide sind gleichwertig und werden mit g = 9.81 umgerechnet. In der europäischen Ingenieurpraxis sind kN und kN/m üblich, weil sie zu den Eurocodes (EN 1991) passen. Wenn Ihre Ausgangsdaten in „Kilogramm“ vorliegen, sind kg und kg/m oft praktischer.