Über die Berechnung des Fachwerks
Der Rechner berechnet eine Dachbinderkonstruktion als gelenkiges Stabwerk. Aus Geometrie, System und Last werden die Normalkräfte in den Stäben ermittelt. Anschließend werden Querschnitte aus den integrierten Profilreihen für Stahl und Holz ausgewählt und auf Tragfähigkeit und Stabilität geprüft. Die Ergebnisse werden als Tabelle mit Kräften, Reserve, Schlankheit und einer orientierenden Masse der Fachwerkkonstruktion ausgegeben.
Richtwerte und Empfehlungen
Berechnungsmodell. Der Dachbinder wird als System von Stäben mit gelenkigen Knoten betrachtet. Die Stäbe werden ausschließlich auf Normalkraft beansprucht. Biegung der Stäbe und Knotensteifigkeit werden nicht berücksichtigt. Lasten werden in Knoten angesetzt, und eine Flächenlast wird zuvor in äquivalente Knotenlasten umgerechnet.
Von Flächenlast zur Last pro Dachbinder. Wenn eine Dachlast q (kN/m² oder kg/m²) vorgegeben ist, berechnet der Rechner daraus die Bemessungslast für einen Dachbinder über die zugehörige Einflussfläche. Zuerst wird die Kraft P als P = q · L · s ermittelt, wobei L die Spannweite des Dachbinders (m) und s der Binderabstand (m) ist. Danach wird P auf die belasteten Knoten verteilt. Die Anzahl der Knotenlasten hängt vom gewählten System und der Feldanzahl ab, daher wird P_node = P / n verwendet, wobei n die Anzahl der Lastangriffspunkte ist.
Auflagerreaktionen und Stabkräfte. Nach der Ermittlung der Knotenlasten werden die Auflagerreaktionen berechnet. Anschließend werden die Stabkräfte mit analytischen Beziehungen für das gewählte typische System bestimmt. Das Ergebnis für jeden Stab ist die Normalkraft N (in der Tabelle als Kraft dargestellt). Das Vorzeichen der Kraft bestimmt die Art der Nachweise. Für Zugstäbe wird ein Spannungsnachweis geführt. Für Druckstäbe wird zusätzlich die Stabilität über einen Reduktionsbeiwert berücksichtigt.
Tragfähigkeitsnachweis (Spannungen). Für jeden Stab und den gewählten Querschnitt wird die Bemessungsspannung nach σ = |N| · 10 / (A · φ) berechnet. Dabei ist A die Querschnittsfläche (mm²), φ ein Reduktionsbeiwert für Druckstäbe, und der Faktor 10 dient als angenäherte Umrechnung von kgf in N, damit sich bei A in mm² Spannungen in MPa ergeben. Für Zug gilt φ = 1. Das Ergebnis σ wird mit dem Bemessungswiderstand des Materials verglichen, der zur gewählten Stahlgüte oder Holzart gehört.
Knicken (Schlankheit) von Druckstäben. Die Schlankheit wird in der Ebene und aus der Ebene ermittelt. Verwendet werden die Trägheitsradien i und iy sowie die wirksamen Längen Leff und Ly,eff. Die Schlankheiten werden als λ = L_eff / i und λ_y = L_y,eff / i_y berechnet. Maßgebend ist λ_max = max(λ, λ_y). Aus λ_max wird ein Reduktionsbeiwert φ bestimmt, der die Bemessungstragfähigkeit des Druckstabes reduziert. Wenn die Schlankheit den Grenzwert überschreitet, wird der Stab als nicht ausreichend stabil markiert.
Algorithmus zur Querschnittswahl. Für jeden Stab wird die Liste der verfügbaren Querschnitte des gewählten Profiltyps verwendet. Die Profile werden aufsteigend geprüft, bis das erste passende Profil gefunden ist. Der endgültige Querschnitt ist der kleinste Querschnitt, der die gewählten Nachweise erfüllt. In der Tabelle werden die Reserve aus dem maßgebenden Nachweis sowie die Schlankheiten in beiden Richtungen ausgegeben.
Orientierende Masse. Die Masse der Konstruktion wird als Summe der Stabmassen berechnet. Für jeden Stab gilt m = A · L · ρ, wobei A die Fläche (m²), L die Stablänge (m) und ρ die Materialdichte ist. Es werden typische Dichtewerte verwendet. Für Stahl werden 7850 kg/m³ angesetzt. Für Holz werden 500 kg/m³ angesetzt.
Bezug zu europäischen Normen. Die Berechnungsabfolge folgt der allgemeinen Vorgehensweise für Fachwerke als Stabwerke und orientiert sich an der Eurocode-Praxis. Für Einwirkungen und Kombinationen dienen EN 1990 und EN 1991 als Referenz. Für Stahlstäbe ist EN 1993-1-1 maßgebend. Für Holzstäbe ist EN 1995-1-1 maßgebend.
Aussteifung der Knoten aus der Ebene
Zweck der Aussteifung. Aussteifung begrenzt die Auslenkung des Fachwerks aus der Ebene und verkürzt die wirksame Knicklänge der Druckstäbe. In der Praxis wird dies meist durch Pfetten, Aussteifungen zwischen Bindern, Streben und Bauteile der Dachscheibe erreicht, die Knoten gegen seitliches Ausweichen sichern.
Berücksichtigung im Rechenmodell. Für die Stabilität aus der Ebene wird eine separate Schlankheit angesetzt, abhängig von der wirksamen Länge aus der Ebene und dem Trägheitsradius um die schwache Achse. Vereinfacht wird λ_y = L_y,eff / i_y verwendet, wobei L_y,eff durch die Aussteifung festgelegt wird und i_y aus dem gewählten Querschnitt stammt. Ein kleineres L_y,eff bedeutet geringere Schlankheit aus der Ebene und höhere Stabilität.
Ausgesteifte Knoten markieren. In diesem Modus wird die wirksame Länge aus der Ebene durch die markierten Knoten bestimmt. Ein markierter Knoten gilt als seitlicher Haltepunkt. Für Ober- und Untergurt wird jeweils der größte Abschnitt zwischen benachbarten Haltepunkten ermittelt. Bei wenigen Haltepunkten wird die wirksame Länge als ungünstigster ungestützter Abschnitt bis zum nächsten Haltepunkt angesetzt.
Aussteifungsabstand festlegen. In diesem Modus wird die Aussteifung über einen Abstandswert ohne Zuordnung zu konkreten Knoten definiert. Der Abstand für Obergurt und Untergurt (mm) wird direkt als wirksame Länge aus der Ebene L_y,eff für den jeweiligen Gurt übernommen. Das ist praktisch bei gleichmäßig angeordneten Pfetten oder Aussteifungen.
Praktische Bedeutung der Auswahl. Wenn die tatsächlichen Punkte bekannt sind, an denen Pfetten oder Aussteifungen die Knoten halten, liefert das Markieren der Knoten meist eine realistischere Abschätzung. Bei regelmäßiger Aussteifung ermöglicht der Abstandmodus eine schnelle Berücksichtigung des Einflusses der Aussteifungsdichte auf die Stabilität. Der allgemeine Ansatz zur Stabilität und Aussteifung entspricht EN 1993-1-1 und EN 1995-1-1.
Richtwerte für den Abstand. In der Praxis richtet sich die Aussteifung des Obergurts oft nach dem Pfetten- oder Dachscheibenabstand. Häufige Werte liegen grob bei 1000–2000 mm, der tatsächliche Abstand hängt jedoch vom Dachaufbau, der Aussteifungsanordnung und den Spannweiten ab. Größere Druckkräfte und schlankere Stäbe erfordern meist engere Aussteifung.
FAQs
Warum eine Flächenlast in eine Last pro Dachbinder umgerechnet wird
Die Dachfläche leitet die Last über die Einflussfläche an die einzelnen Dachbinder weiter. Daher wird die Flächenlast mit Spannweite und Binderabstand multipliziert. Die resultierende Kraft wird anschließend auf die Knoten verteilt, an denen die Lasten im Berechnungsmodell angreifen.
Warum die Stabkräfte als Normalkräfte ohne Biegung betrachtet werden
Dachbinder werden typischerweise als gelenkige Fachwerke berechnet, in denen Stäbe auf Zug und Druck beansprucht werden. In diesem Ansatz sind Stabbiegung und Knotensteifigkeit nicht die primäre Quelle der Stabkräfte. Das ist für eine schnelle Querschnittsauswahl und den Vergleich von Geometrievarianten geeignet.
Was die Reserve in der Ergebnistabelle bedeutet
Die Reserve zeigt, um wie viel der ausgewählte Querschnitt den minimal erforderlichen Querschnitt nach dem angewendeten Nachweis übertrifft. Sie ergibt sich aus dem Verhältnis von Bemessungswiderstand des Materials zur berechneten Spannung unter Berücksichtigung der Stabilität. Eine negative Reserve bedeutet, dass der ausgewählte Querschnitt den Nachweis nicht erfüllt.
Warum die Schlankheit für Druckstäbe wichtig ist
Druckstäbe können instabil werden, bevor der Materialwiderstand erreicht ist. Deshalb wird die Schlankheit in und aus der Ebene berechnet und der ungünstigere Fall verwendet. Aus der Schlankheit wird ein Reduktionsbeiwert abgeleitet, der die zulässige Tragfähigkeit verringert.
Kann man die Ergebnisse zur Auswahl eines kaufbaren Querschnitts verwenden
Die Tabelle zeigt Querschnittsabmessungen in Millimetern und die berechneten Stabkräfte. Das hilft bei der Auswahl eines passenden Standardprofils aus dem Handel. Bei der Umstellung auf ein Katalogprofil sollten Querschnittsfläche und Trägheitseigenschaften mindestens so groß sein wie beim ausgewählten Querschnitt.