Über die Berechnung des Fachwerks
Dieser Fachwerk Rechner berechnet Lasten und Tragfähigkeit von Fachwerkkonstruktionen aus Holz oder Stahl für Dächer und Überdachungen. Auf Grundlage der vorgegebenen Geometrie und Belastung ermittelt er die axialen Schnittgrößen der Stäbe, wählt Querschnitte aus integrierten Größenreihen, prüft Zug, Druck und Stabilität, berücksichtigt das Eigengewicht und berechnet die Durchbiegung des Fachwerks. Stahl- und Holzstäbe werden getrennt unter Berücksichtigung der Eigenschaften des gewählten Materials, der Stablängen und der seitlichen Aussteifung der Gurte aus der Fachwerkebene berechnet.
Richtwerte und Empfehlungen
Tragwerksmodell und Lastverteilung
Fachwerkmodell. Das Fachwerk wird als ebenes, gelenkig verbundenes Stabsystem betrachtet. Jeder Stab trägt ausschließlich axiale Zug- oder Druckkräfte, und seine geometrische Länge entspricht dem Abstand zwischen den Mittelpunkten benachbarter Knoten. Das linke Auflager verhindert horizontale und vertikale Verschiebungen, während das rechte Auflager die vertikale Verschiebung verhindert und eine horizontale Bewegung zulässt.
Knotenlasten. Die vertikale Belastung wird an den Knoten des Obergurts angesetzt. Jeder belastete innere Knoten erhält die volle Knotenlast P, während die beiden Endknoten des Obergurts jeweils P / 2 erhalten. Dadurch entspricht die Summe der angesetzten Lasten der Belastung über die gesamte Spannweite des Fachwerks.
Flächenlast. Wird die Eingangslast als q in kN/m2 oder kg/m2 angegeben, wird zunächst die gesamte von einem Fachwerk aufgenommene Last berechnet:
Q = q · L · s
Dabei ist L die Spannweite des Fachwerks in Metern und s der Abstand zwischen benachbarten Fachwerken in Metern. Ist der Obergurt in n Felder unterteilt, ergibt sich die volle Knotenlast für die inneren Knoten zu:
P = Q / n
Die Endknoten erhalten jeweils P / 2. Bei Eingabe der Last in Kilogramm-Kraft wird die Umrechnung 1 kN = 101,9716 kgf verwendet; die interne Berechnung der Kräfte erfolgt in kN.
Auflagerreaktionen, Stabkräfte und Eigengewicht
Gleichgewicht des Fachwerks. Für jeden Knoten werden Gleichgewichtsbedingungen in horizontaler und vertikaler Richtung aufgestellt. Durch Lösen des vollständigen Gleichungssystems werden die Auflagerreaktionen und die axiale Stabkraft N in jedem Stab bestimmt. Eine positive Kraft wird als Zug, eine negative Kraft als Druck behandelt.
Eigengewicht. Nach der vorläufigen Querschnittswahl wird die Masse jedes Stabes aus seiner Querschnittsfläche, der tatsächlichen Länge und der Materialdichte berechnet. Das Gewicht wird mit g = 9,80665 m/s2 in eine Kraft umgerechnet und zu gleichen Teilen auf die beiden Knoten des Stabes verteilt. Anschließend werden Stabkräfte und Querschnitte erneut berechnet, sodass das höhere Eigengewicht größerer Querschnitte im nächsten Berechnungszyklus berücksichtigt wird.
Querschnittswahl. Für jeden belasteten Stab prüft der Rechner die verfügbaren Abmessungen des gewählten Querschnittstyps in aufsteigender Reihenfolge und wählt den ersten Querschnitt, der die Anforderungen an Tragfähigkeit und bei Druckstäben zusätzlich an Stabilität erfüllt. Ein Stab mit praktisch null berechneter Kraft erhält einen Querschnitt, der nicht kleiner ist als der kleinste Querschnitt belasteter Stäbe der entsprechenden Gruppe und des entsprechenden Materials.
Tragfähigkeitsreserve. Nach der Prüfung wird der Ausnutzungsgrad η berechnet, wobei η = 1 der Bemessungsgrenze entspricht. Die Reserve in Prozent wird berechnet als:
Reserve = (1 / η - 1) · 100%
Beispielsweise entspricht η = 0,80 einer Reserve von 25 %. Für unbelastete Stäbe wird keine numerische Reserve angezeigt.
Berechnung von Stahlstäben
Elastizitätsmodul. Für die Verformungsberechnung von Stahl wird E = 210000 MPa verwendet. Bei den Stahlgüten S235, S275, S355 und S420 hängt die für die Berechnung verwendete Streckgrenze von der Wand- oder Flanschdicke des Profils ab.
- bei einer Dicke bis einschließlich 16 mm: S235 - 235 MPa, S275 - 275 MPa, S355 - 355 MPa, S420 - 420 MPa;
- bei einer Dicke über 16 mm bis 40 mm: 225, 265, 345 bzw. 400 MPa;
- bei einer Dicke über 40 mm: 215, 255, 335 bzw. 390 MPa.
Zug. Für einen Zugstab wird der Ausnutzungsgrad aus der axialen Kraft und dem Widerstand des vollen Querschnitts berechnet:
η = N / (A · fy)
Dabei wird N in N, A als Querschnittsfläche in mm2 und fy als Streckgrenze in MPa eingesetzt. Die Bedingung ist erfüllt, wenn η ≤ 1.
Druck und Gesamtstabilität. Zunächst wird die Schlankheit in beiden Hauptrichtungen berechnet:
λ = Leff / i
Für jede Richtung wird anschließend die bezogene Schlankheit bestimmt:
λrel = λ / π · √(fy / E)
Der Imperfektionsbeiwert wird mit α = 0,49 für quadratische und rechteckige Hohlprofile sowie Rundrohre und mit α = 0,76 für einzelne Winkelprofile und U-Profile angesetzt. Der Stabilitätsabminderungsbeiwert wird berechnet als:
Φ = 0,5 · [1 + α · (λrel - 0,2) + λrel2]
χ = min(1; 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)])
Die Berechnung wird in beiden Richtungen durchgeführt, und der kleinere Wert von χ wird verwendet. Die Druckbeanspruchung wird geprüft mit:
η = N / (χ · A · fy) ≤ 1
Lokale Stabilität von Stahlquerschnitten. Vor der Prüfung des Gesamtknickens werden bei Druckstäben die Verhältnisse von Breite oder Durchmesser zur Dicke überprüft. Verwendet wird ε = √(235 / fy). Für quadratische und rechteckige Hohlprofile gilt (max(h,b) - 2t) / t ≤ 42ε, für Rundrohre D / t ≤ 90ε2 und für Winkelprofile a / t ≤ 14ε. Bei U-Profilen wird der Steg gegen 42ε und der auskragende Flanschbereich gegen 14ε geprüft.
Berechnung von Holzstäben
Bemessungseigenschaften von Holz. Der Rechner verwendet die Festigkeitsklassen C16, C24 und C30. Für Zugfestigkeit, Druckfestigkeit, Elastizitätsmodul und mittlere Rohdichte werden folgende Werte verwendet:
- C16: ft = 10 MPa, fc = 17 MPa, E0,05 = 5400 MPa, Emean = 8000 MPa, Rohdichte 370 kg/m3;
- C24: ft = 14,5 MPa, fc = 21 MPa, E0,05 = 7400 MPa, Emean = 11000 MPa, Rohdichte 420 kg/m3;
- C30: ft = 18 MPa, fc = 23 MPa, E0,05 = 8000 MPa, Emean = 12000 MPa, Rohdichte 460 kg/m3.
Beiwerte für Holz. Für die Tragfähigkeitsprüfung werden der Modifikationsbeiwert kmod = 0,60 und der Materialsicherheitsbeiwert γM = 1,30 verwendet. Die grundlegende Bemessungsfestigkeit ergibt sich somit aus der charakteristischen Festigkeit multipliziert mit 0,60 / 1,30.
Zug bei Holz. Für Stäbe mit einer größten Querschnittsabmessung h unter 150 mm wird zusätzlich ein Größenbeiwert verwendet:
kh = min[(150 / h)0,2; 1,30]
Bei h von 150 mm oder mehr wird kh = 1 angesetzt. Die Zugprüfung lautet:
η = N / [A · ft · kmod · kh / γM]
Druck bei Holz. Für jede Richtung wird zunächst die geometrische Schlankheit λ und anschließend die bezogene Schlankheit berechnet:
λrel = λ / π · √(fc / E0,05)
Bei λrel ≤ 0,30 wird kc = 1 verwendet. Bei größerer Schlankheit gilt:
Φ = 0,5 · [1 + 0,20 · (λrel - 0,30) + λrel2]
kc = min(1; 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)])
Aus beiden Richtungen wird der kleinere Wert von kc verwendet. Die abschließende Prüfung eines gedrückten Holzstabes lautet:
η = N / [kc · A · fc · kmod / γM] ≤ 1
Aussteifung und effektive Länge
In der Fachwerkebene. Die für die Schlankheit verwendete effektive Länge wird als vollständige geometrische Stablänge zwischen benachbarten Knoten angesetzt. Durch die Unterteilung eines Gurts durch Fachwerkknoten wird er daher gleichzeitig in einzelne Berechnungsstäbe innerhalb der Fachwerkebene unterteilt.
Aus der Fachwerkebene. Für Ober- und Untergurt wird die effektive Länge durch die Aussteifung bestimmt. Wird ein Abstand der Aussteifung angegeben, wird der eingegebene Wert in Millimetern direkt als Ly,eff verwendet. Werden einzelne ausgesteifte Knoten gewählt, bestimmt der Rechner den größten Abstand zwischen benachbarten seitlichen Haltepunkten des jeweiligen Gurts. Für Diagonal- und Vertikalstäbe wird die effektive Länge aus der Ebene als vollständige Stablänge angesetzt.
Ausrichtung rechteckiger Querschnitte. Bei rechteckigen Hohlprofilen und rechteckigen Holzquerschnitten wird angenommen, dass die größere Querschnittsabmessung in der Fachwerkebene und die kleinere Abmessung senkrecht dazu liegt. Deshalb kann die Stabilität aus der Ebene maßgebend werden, auch wenn die Schlankheit in der Ebene relativ gering ist.
Praktischer Richtwert. Ein Aussteifungspunkt sollte nur dann als wirksam betrachtet werden, wenn das angeschlossene Bauteil oder der Knoten die seitliche Bewegung des Gurts tatsächlich verhindert. Der Obergurt wird häufig durch Pfetten, Lattung oder ein Aussteifungssystem gehalten, während der Untergurt durch Verbände zwischen den Fachwerken oder andere Bauteile mit wirksamer seitlicher Halterung ausgesteift werden kann.
Durchbiegungsberechnung und Querschnittswahl nach Steifigkeit
Elastische Durchbiegung. Nach der Querschnittswahl stellt der Rechner die Steifigkeitsmatrix des gesamten Fachwerks auf. Die axiale Steifigkeit jedes Stabes wird durch E · A / L bestimmt. Anschließend werden die horizontalen und vertikalen Verschiebungen aller Knoten berechnet, und die größte absolute vertikale Verschiebung wird als berechnete Durchbiegung des Fachwerks verwendet.
Elastizitätsmodul. Für Stahl wird die Durchbiegung mit E = 210000 MPa berechnet. Für Holz werden die mittleren Elastizitätsmodule Emean verwendet: 8000 MPa für C16, 11000 MPa für C24 und 12000 MPa für C30.
Berücksichtigung der tatsächlichen Nachgiebigkeit. Ein rein gelenkiges Fachwerkmodell berücksichtigt nur axiale Stabverformungen und ergibt üblicherweise eine geringere Durchbiegung als die reale Konstruktion. Deshalb wird die berechnete elastische Durchbiegung mit einem internen Korrekturfaktor von 1,15 für Stahlfachwerke und 1,50 für Holzfachwerke multipliziert. Diese Werte sind konservative Annahmen des Rechners und keine Bemessungsbeiwerte des Eurocodes.
Durchbiegungsgrenze. Die gewählte Steifigkeitsstufe legt die maximal zulässige Durchbiegung fest:
flim = L / 200, L / 250 oder L / 300
Ein größerer Nenner bedeutet eine kleinere zulässige Durchbiegung. Im Rechner wird L/200 als normale Steifigkeitsstufe, L/250 als erhöhte und L/300 als steifste Option verwendet.
Automatische Vergrößerung der Querschnitte. Überschreitet die Durchbiegung nach den Tragfähigkeits- und Stabilitätsprüfungen den gewählten Grenzwert, vergrößert der Rechner die Zielquerschnittsfläche der belasteten Stäbe. In jedem Zyklus wird folgender Faktor verwendet:
kA = min[2,50; max(1,05; 1,02 · f / flim)]
Nach der Vergrößerung der Querschnitte werden Eigengewicht, Stabkräfte, Tragfähigkeit, Stabilität und Durchbiegung erneut berechnet. Es werden bis zu 12 Zyklen durchgeführt. Bei der Wahl des nächsten Querschnitts muss dieser ebenfalls die Tragfähigkeits- und Stabilitätsprüfungen erfüllen.
Masse und europäische Bemessungsgrundlage
Masse des Fachwerks. Die Masse jedes Stabes wird nach m = A · L · ρ berechnet, wobei A in m2 umgerechnet wird, L die Stablänge in Metern und ρ die Dichte in kg/m3 ist. Für Stahl wird eine Dichte von 7850 kg/m3 verwendet. Für Holz werden je nach Festigkeitsklasse C16, C24 oder C30 Werte von 370, 420 bzw. 460 kg/m3 angesetzt. Die Gesamtmasse des Fachwerks ergibt sich aus der Summe der Massen aller berechneten Stäbe.
Europäische Normen. Die Berechnungslogik orientiert sich an den Grundsätzen von EN 1990 „Eurocode - Grundlagen der Tragwerksplanung“ und EN 1991 „Eurocode 1 - Einwirkungen auf Tragwerke“. Für die Prüfung von Stahlstäben werden Ansätze aus EN 1993-1-1 „Eurocode 3 - Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau“ verwendet. Für Holzstäbe werden Ansätze aus EN 1995-1-1 „Eurocode 5 - Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau“ verwendet, während die Festigkeitsklassen C16, C24 und C30 der EN 338 „Bauholz für tragende Zwecke - Festigkeitsklassen“ entsprechen.
FAQs
Warum kann ein kleinerer Aussteifungsabstand den erforderlichen Querschnitt deutlich reduzieren?
Der Aussteifungsabstand bestimmt die effektive Länge des Gurts aus der Fachwerkebene. Eine kürzere effektive Länge reduziert die Schlankheit, erhöht den Stabilitätsabminderungsbeiwert und kann ermöglichen, dieselbe Druckkraft mit einem kleineren Querschnitt aufzunehmen. Besonders deutlich ist dieser Effekt bei rechteckigen Querschnitten mit vergleichsweise geringer Steifigkeit um die schwache Achse.
Warum wird bei manchen Stäben in der Spalte „Stabilität“ ein Strich angezeigt?
Die Knickstabilität wird für Druckstäbe geprüft. Ein Zugstab wird auf Zugtragfähigkeit des vollen Querschnitts geprüft, daher wird bei der Stabilität ein Strich angezeigt. Bei einem Druckstab bedeutet OK, dass die verwendete Stabilitätsprüfung erfüllt ist, während NO bedeutet, dass sie nicht erfüllt ist.
Warum führt eine höhere Festigkeitsklasse von Stahl oder Holz nicht immer zu einem deutlich kleineren Querschnitt?
Der erforderliche Querschnitt wird nicht allein durch die Materialfestigkeit bestimmt. Bei Druckstäben können Schlankheit und Stabilität maßgebend sein, während für das gesamte Fachwerk zusätzlich die Durchbiegung bestimmend werden kann. Eine höhere Materialfestigkeit ermöglicht daher nicht immer die Verwendung des nächstkleineren Querschnitts.
Wie unterscheidet sich die angezeigte Tragfähigkeitsreserve von einem Sicherheitsbeiwert?
Der angezeigte Prozentwert wird aus dem tatsächlichen Ausnutzungsgrad des gewählten Querschnitts berechnet. Beispielsweise ergibt eine Ausnutzung von 80 % nach der verwendeten Prüfung eine Reserve von 25 %. Es handelt sich um die verbleibende berechnete Tragfähigkeit des gewählten Stabes und nicht um einen festen Sicherheitsbeiwert, der der Last vorab zugeschlagen wird.
Warum kann die berechnete Durchbiegung des Fachwerks deutlich kleiner als L/250 sein?
Ein Fachwerk trägt Lasten überwiegend durch axiale Zug- und Druckkräfte in seinen Stäben, sodass eine ausreichend hohe Konstruktion eine relativ geringe elastische Durchbiegung aufweisen kann. Der Rechner multipliziert die idealisierte Durchbiegung zusätzlich mit 1,15 für Stahl und 1,50 für Holz. Wird der gewählte Durchbiegungsgrenzwert überschritten, vergrößert er automatisch die Stabquerschnitte und berechnet das Fachwerk erneut.