Metall Vordach berechnen

Über die Berechnung eines Metallvordachs

Mit diesem Rechner lässt sich ein Metall Vordach berechnen und die tragende Stahlkonstruktion mit Pfetten, Hauptträger und Stützen automatisch dimensionieren. Die Berechnung berücksichtigt Spannweite, Konstruktionshöhe sowie Schnee-, Wind- und ständige Lasten. Die Schnittgrößen im Hauptrahmen werden mit dem Steifigkeitsverfahren unter Berücksichtigung der tatsächlichen Steifigkeit der gewählten Profile ermittelt, sodass eine Änderung des Träger- oder Stützenprofils sowohl dessen Tragfähigkeit als auch die Kräfteverteilung im gesamten Rahmen beeinflusst.

Der Rechner prüft die Querschnittstragfähigkeit, die lokale Stabilität, das globale Knicken gedrückter Stützen, das Biegedrillknicken offener Profile und die Durchbiegung. Für die automatische Profilwahl ist jeweils die ungünstigste berechnete Bedingung maßgebend.

Orientierungswerte und Empfehlungen

Tragwerksmodell und Bemessungsnormen

Tragwerksmodell. Die Hauptkonstruktion wird als zweidimensionaler Portalrahmen aus zwei Stützen und einem oberen Träger modelliert. Die unteren Enden der Stützen werden als eingespannt angenommen, die Verbindungen zwischen Träger und Stützen als biegesteif. Die Bauteile werden als gerade mit über ihre Länge konstantem Querschnitt betrachtet.

Berechnungsverfahren. Schnittgrößen und Verschiebungen des Rahmens werden mit dem linear-elastischen Steifigkeitsverfahren berechnet. Für jedes Bauteil werden die Normalkraftsteifigkeit EA und die Biegesteifigkeit EI berücksichtigt. Für Stahl wird E = 210000 MPa verwendet. Für die Berechnung des Biegedrillknickens wird der Schubmodul G = 80770 MPa angesetzt.

Europäische Normen. Lastkombinationen und Tragfähigkeitsnachweise orientieren sich an den Grundsätzen von EN 1990 „Eurocode - Grundlagen der Tragwerksplanung“, EN 1991-1-3 „Eurocode 1 - Einwirkungen auf Tragwerke - Teil 1-3: Allgemeine Einwirkungen - Schneelasten“, EN 1991-1-4 „Eurocode 1 - Einwirkungen auf Tragwerke - Teil 1-4: Allgemeine Einwirkungen - Windlasten“ und EN 1993-1-1 „Eurocode 3 - Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau“.

Eingegebene Schnee- und Windlasten. Diese Werte werden als bereits bestimmte Lasten je 1 m² Dachfläche verwendet. Bei ihrer Festlegung sollten die örtlichen Bedingungen nach EN 1991-1-3 für Schnee und EN 1991-1-4 für Wind berücksichtigt werden.

Einheiten und Umrechnung in Linienlasten

Lastumrechnung. Werte in kg/m² werden mit g = 9.80665 m/s2 in Kräfte umgerechnet. Damit gilt 1 kN/m2 = 101.9716 kg/m2.

Pfettenabstand. Bei zwei oder mehr Pfetten wird ihr Abstand aus der Rahmenspannweite L berechnet:

s = L / (N - 1)

Dabei ist N die Anzahl der Pfetten. Bei nur einer Pfette wird für die Berechnung s = L angesetzt.

Belastung einer Pfette. Die ständige Flächenlast wird mit dem Pfettenabstand multipliziert. Anschließend wird das Eigengewicht der gewählten Pfette m_p addiert. Die Schneelast wird ebenfalls über den Abstand s von einer Flächenlast in eine Linienlast umgerechnet.

Gk,p = G4 · s + mp

Sk,p = Qsnow · s

Belastung des Hauptrahmens. Die Einflussbreite eines Rahmens entspricht dem Stützenabstand B. Das gesamte Eigengewicht der Pfetten wird über die Länge des oberen Trägers verteilt. Das Eigengewicht des Trägers selbst wird ebenfalls in die ständige Linienlast einbezogen.

Gk = G4 · B + N · mp · B / L + mb

Sk = Qsnow · B

Wk = Qwind · B

Vertikale Lasten wirken auf den oberen Träger. Die horizontale Windlast wird gleichmäßig auf beide Stützen verteilt. Das Eigengewicht jeder Stütze wird separat als Normalkraft berücksichtigt.

Lastkombinationen

Grenzzustand der Tragfähigkeit. Für ungünstige ständige Einwirkungen wird γG = 1.35 und für die führende veränderliche Einwirkung γQ = 1.50 verwendet. Die Kombinationsbeiwerte betragen ψ0,snow = 0.50 und ψ0,wind = 0.60.

Der Hauptrahmen wird für drei Kombinationen berechnet. Für jedes Bauteil wird anschließend das ungünstigste Ergebnis verwendet:

• 1.35Gk + 1.50Sk
• 1.35Gk + 1.50Sk + 0.90Wk
• 1.35Gk + 0.75Sk + 1.50Wk

Die Werte 0.90 und 0.75 ergeben sich aus 1.50 · 0.60 und 1.50 · 0.50. Dadurch kann entweder Schnee oder Wind als führende veränderliche Einwirkung angesetzt werden, während die andere Einwirkung als Begleiteinwirkung berücksichtigt wird.

Durchbiegungsnachweis. Für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit wird die Kombination ohne Erhöhungsfaktoren verwendet:

Gk + Sk

Für die Stahltragfähigkeitsnachweise verwendet der Algorithmus γM0 = 1.00 und γM1 = 1.00.

Berechnung der Pfetten

Pfettenmodell. Jede Pfette wird als einfach gelagerter Träger mit einer Spannweite entsprechend dem Rahmenabstand B und gleichmäßig verteilter Belastung angesetzt. Das Bemessungsbiegemoment und die Querkraft werden wie folgt berechnet:

MEd = qdB2 / 8

VEd = qdB / 2

Die Bemessungslinienlast für den Tragfähigkeitsnachweis lautet:

qd = 1.35Gk,p + 1.50Sk,p

Durchbiegung der Pfette. Für die Kombination Gk,p + Sk,p wird die Standardformel für einen einfach gelagerten Träger unter gleichmäßig verteilter Last verwendet:

f = 5qB4 / (384EI)

Die zulässige Durchbiegung wird angesetzt mit:

flim = B / 250

Berechnung von Träger und Stützen

Zusammenwirken der Rahmenelemente. Träger und Stützen werden nicht als voneinander unabhängige, einfach gelagerte Bauteile berechnet. Für jede geprüfte Kombination von Profilen wird die Steifigkeitsmatrix der vollständigen Stahlkonstruktion aufgestellt. Daraus werden Knotenverschiebungen, Normalkräfte N, Querkräfte V und Biegemomente M bestimmt.

Dieses Verfahren berücksichtigt die Umverteilung der Biegemomente bei einer Änderung der Steifigkeit von Träger oder Stützen. Deshalb werden Träger und Stützen gemeinsam und nicht unabhängig voneinander ausgewählt.

Durchbiegung des Trägers. Die maximale vertikale Verschiebung wird aus der verformten Rahmenform relativ zur Verbindungslinie zwischen den Trägerenden bestimmt. Der Grenzwert beträgt:

flim = L / 250

Nachweis der Querschnittstragfähigkeit

Normalspannung. Normalkraft und Biegemoment werden gleichzeitig berücksichtigt:

σ = N / A + M / W

Schubspannung. Für I-Profile und U-Profile wird das statische Flächenmoment verwendet:

τ = VS / (It)

Für die übrigen Profiltypen gilt:

τ = 1.5V / A

Kombinierter Spannungsnachweis. Die Vergleichsspannung wird berechnet als:

σeq = √(σ2 + 3τ2)

Der Tragfähigkeitsnachweis ist erfüllt, wenn σeq / fy ≤ 1. Sind mehrere Grenzbedingungen gleichzeitig maßgebend, entscheidet der größte Ausnutzungsgrad über die Profilwahl.

Bemessungsfestigkeit des Stahls

Streckgrenze. Die Nennstreckgrenze wird entsprechend der maximalen Dicke eines Profilelements angepasst. Die folgenden Werte sind in MPa in der Reihenfolge S235, S275, S355 und S420 angegeben.

• für t ≤ 16 mm: 235, 275, 355, 420
• für 16 < t ≤ 40 mm: 225, 265, 345, 400
• für 40 < t ≤ 63 mm: 215, 255, 335, 390
• für 63 < t ≤ 80 mm: 215, 245, 325, 370

Zwei Profile derselben Stahlgüte können daher mit unterschiedlichen Bemessungsstreckgrenzen gerechnet werden, wenn sich die Dicken ihrer Querschnittselemente deutlich unterscheiden.

Lokale Stabilität der Querschnittselemente

Plattenschlankheit. Breiten-Dicken- beziehungsweise Durchmesser-Dicken-Verhältnisse werden geprüft, um die Auswahl zu schlanker Querschnittselemente zu vermeiden. Verwendet wird der Parameter:

ε = √(235 / fy)

Der Algorithmus verwendet folgende Grenzwerte:

• kreisförmiges Hohlprofil: D / t ≤ 90ε2
• quadratisches Hohlprofil: (b - 3t) / t ≤ 42ε
• gleichschenkliges Winkelprofil: (b - t) / t ≤ 14ε
• Steg eines I- oder U-Profils bei Biegung: c / t ≤ 124ε
• Steg eines I- oder U-Profils als Stütze: c / t ≤ 42ε
• gedrückter Flansch eines offenen Profils: c / t ≤ 14ε

Wird ein Grenzverhältnis überschritten, besteht der Querschnitt den Nachweis nicht. Die automatische Auswahl berücksichtigt daher kein Profil, für das eine Berechnung mit wirksamem Querschnitt für schlankere Elemente der Querschnittsklasse 4 erforderlich wäre.

Knicken der Stützen

Nachweis um beide Hauptachsen. Für jede Stütze werden die Trägheitsradien i_y und i_z, die geometrische Schlankheit und die bezogene Schlankheit berechnet:

i = √(I / A)

λ = H / i

λ̄ = λ / (π√(E / fy))

Für diesen Nachweis wird die Knicklänge gleich der vollständigen Stützenhöhe H angesetzt. Zusätzlich wird die Bedingung λ ≤ 200 geprüft.

Abminderungsfaktor. Für jede Achse wird der allgemeine Ausdruck der Knickkurve verwendet:

Φ = 0.5[1 + α(λ̄ - 0.2) + λ̄2]

χ = 1 / [Φ + √(Φ2 - λ̄2)]

Nb,Rd = χAfy

Knickkurven. Für I-Profile werden die Imperfektionsbeiwerte abhängig vom Verhältnis h/b und von der Flanschdicke gewählt. Der Rechner verwendet α = 0.21, 0.34, 0.49 oder 0.76, entsprechend den Knicklinien a, b, c und d. Für gleichschenklige Winkelprofile wird α = 0.34 verwendet. Für quadratische und kreisförmige Hohlprofile sowie die übrigen entsprechenden Fälle wird α = 0.49 angesetzt.

Druck mit Biegung. Axialdruck und Biegung werden gemeinsam um beide Hauptachsen geprüft. Der äquivalente Momentenbeiwert wird mit Cmy = 0.90 angesetzt. Für geschlossene Hohlprofile gilt für den Interaktionsbeiwert um die zweite Achse kzy = 0.8kyy. Maßgebend ist der größere Ausnutzungsgrad der beiden Achsen.

Biegedrillknicken

Seitliche Stabilität. Offene Profile werden zusätzlich auf Biegedrillknicken geprüft. Für I-Profile und U-Profile wird das elastische kritische Moment berechnet als:

Mcr = C1π / Lb · √[EIz(GIt + π2EIw / Lb2)]

Für eine Pfette wird C1 = 1.13 verwendet. Für Hauptträger und Stützen gilt C1 = 1.00. Bei geschlossenen quadratischen und kreisförmigen Hohlprofilen wird keine separate Abminderung infolge Biegedrillknickens vorgenommen.

Ungestützte Länge. Für den Hauptträger wird bei zwei oder mehr Pfetten der Abstand zwischen den Pfetten verwendet:

Lb = L / (N - 1)

Bei weniger Pfetten gilt Lb = L. Für eine einzelne Pfette wird Lb = B und für eine Stütze Lb = H angesetzt.

Bezogene Schlankheit für Biegedrillknicken. Nach der Berechnung von M_cr wird folgender Wert bestimmt:

λ̄LT = √(Wfy / Mcr)

Der Abminderungsfaktor wird anschließend mit demselben allgemeinen Ausdruck für χ berechnet. Für I-Profile beträgt der Imperfektionsbeiwert abhängig vom Verhältnis h/b 0.34, 0.49 oder 0.76. Für U-Profile wird α = 0.76 verwendet. Bei gleichschenkligen Winkelprofilen wird das Biegemoment auf die Hauptachsen u-u und v-v aufgeteilt und anschließend die kombinierte Ausnutzung um diese Achsen geprüft.

Auswahl des endgültigen Profils

Pfetten. Der Rechner prüft alle verfügbaren Größen des gewählten Profiltyps. Ein Querschnitt wird nur akzeptiert, wenn Tragfähigkeit, lokale Stabilität, Biegedrillknicken und Durchbiegung gleichzeitig die Anforderungen erfüllen. Aus allen geeigneten Querschnitten wird das Profil mit der geringsten Masse je Meter gewählt.

Träger und Stützen. Diese Bauteile werden gemeinsam ausgewählt. Für jede Kombination aus Träger und Stützen wird der komplette Rahmen neu berechnet. Unter allen Kombinationen, die sämtliche Nachweise erfüllen, wird die Variante mit der geringsten Gesamtmasse des Rahmens ausgewählt:

mframe = mbL + 2mcH

Wenn kein Profil aus dem verfügbaren Sortiment alle Anforderungen erfüllt, zeigt der Rechner die Variante mit der geringsten Überschreitung der Bemessungsgrenzen. Der nicht erfüllte Nachweis wird dann in den Ergebnissen angezeigt.

Tragfähigkeitsreserve. Die prozentuale Reserve wird aus dem maximalen Ausnutzungsgrad des Querschnitts u berechnet:

Reserve = (1 / u - 1) · 100%

Bei u = 1.00 ist die berechnete Tragfähigkeit vollständig ausgenutzt. Ein positiver Prozentwert bedeutet vorhandene Reserve, ein negativer Wert eine Überschreitung der berechneten Tragfähigkeit.

Stabilitätsausnutzung der Stütze. Der für die Stützenstabilität angezeigte Wert ist ein Ausnutzungsgrad. Sein Grenzwert beträgt 1.00. Ein Ergebnis von beispielsweise 0.90 bedeutet, dass beim maßgebenden Stabilitätsnachweis etwa 90 % der verfügbaren Bemessungstragfähigkeit ausgenutzt werden.

FAQs

Warum kann das gewählte Stahlprofil deutlich größer sein als nach einer einfachen M/W-Berechnung?

Ein einfacher Nachweis mit M/W berücksichtigt nur die Biegespannung. Dieser Rechner für ein Metall Vordach prüft zusätzlich Quer- und Normalkräfte, lokale Stabilität, Gesamtdurchbiegung und das Biegedrillknicken offener Stahlprofile. Maßgebend kann daher die Stabilität oder die Durchbiegung sein und nicht die Streckgrenze des Stahls.

Warum kann eine Änderung des Stützenprofils das erforderliche Trägerprofil verändern?

Träger und Stützen bilden eine gemeinsame biegesteife Stahlkonstruktion. Eine Änderung der Stützensteifigkeit EI verändert die Verteilung der Biegemomente zwischen Stützen und Träger. Deshalb berechnet der Rechner den kompletten Rahmen für jede Profilkombination neu und wählt Träger und Stützen gemeinsam aus.

Wie beeinflusst die Anzahl der Pfetten die Berechnung des Hauptträgers?

Die Anzahl der Pfetten beeinflusst mehrere Berechnungsgrößen gleichzeitig. Sie verändert den Pfettenabstand und die Belastung jeder Pfette, das auf den Rahmen übertragene gesamte Pfetteneigengewicht sowie die ungestützte Länge L_b des Hauptträgers. Eine größere Pfettenanzahl kann daher die Belastung der einzelnen Pfette verringern und gleichzeitig den Stabilitätsnachweis des Hauptträgers verändern.

Warum kann dieselbe Stahlgüte unterschiedliche Bemessungsfestigkeiten haben?

Die Streckgrenze hängt nicht nur von der Bezeichnung S235, S275, S355 oder S420 ab, sondern auch von der Dicke des Stahlprofils. Der Rechner reduziert den Wert von f_y entsprechend den angegebenen Dickenbereichen. Ein schwereres Profil gewinnt daher nicht zwangsläufig proportional zu seiner größeren Querschnittsfläche an Tragfähigkeit.

Was ist bei der Profilwahl wichtiger: Tragfähigkeitsreserve oder Durchbiegung?

Das gewählte Profil muss alle anwendbaren Nachweise gleichzeitig erfüllen. Besitzt ein Querschnitt eine große Tragfähigkeitsreserve, überschreitet seine berechnete Durchbiegung jedoch L/250, wird er von der automatischen Auswahl nicht akzeptiert. Ebenso wird ein Profil mit geringer Durchbiegung nicht akzeptiert, wenn seine Tragfähigkeits- oder Stabilitätsgrenze überschritten wird.