Knickung berechnen

Über die Berechnung der Knickung

Mit diesem Knickung-Rechner lässt sich die Stabilität von Säulen aus Holz, Stahl und Stahlbeton berechnen. Er ermittelt die Festigkeit, Knicktragfähigkeit und axiale Tragfähigkeit von Stützen unter Druckbelastung. Bei Stahlbetonstützen berücksichtigt die Berechnung zusätzlich den Biegewiderstand des Querschnitts.

Die Berechnung bestimmt die Tragfähigkeit der Stütze in kN, bewertet die Festigkeit und Knickstabilität und ermittelt die maßgebende Richtung des Stabilitätsversagens. Das Berechnungsverfahren berücksichtigt die Materialeigenschaften, die Querschnittsgeometrie, die Stützenlänge und die Lagerungsbedingungen.

Richtwerte und Empfehlungen

Allgemeine Grundlagen der Stützenberechnung

Geometrische Eigenschaften. Aus den Querschnittsabmessungen werden die Fläche A in mm² und die Flächenträgheitsmomente I_y und I_z in mm⁴ berechnet. Bei Hohlprofilen wird die Fläche des inneren Hohlraums von der äußeren Querschnittsfläche abgezogen. Bei rechteckigen Stahlhohlprofilen werden die abgerundeten Ecken berücksichtigt, während bei Winkelprofilen die Hauptträgheitsachsen bestimmt werden.

Die Trägheitsradien um die beiden Achsen werden aus der Querschnittsfläche und den zugehörigen Flächenträgheitsmomenten berechnet:

iy = √(Iy / A)

iz = √(Iz / A)

Knicklänge. Sie berücksichtigt den Einfluss der Endlagerungen auf das Knickverhalten der Stütze. Die Berechnung erfolgt nach folgender Formel:

Lcr = K × L

Dabei ist L die tatsächliche Stützenlänge in Metern und K der Knicklängenbeiwert. Folgende Werte werden verwendet:

• Beidseitig gelenkig gelagert: K = 1.0.
• Einseitig eingespannt und am anderen Ende gelenkig gelagert: K = 0.7.
• Beidseitig eingespannt: K = 0.5.
• Einseitig eingespannt und am anderen Ende frei: K = 2.0.

Geometrischer Schlankheitsgrad. Er beschreibt das Verhältnis der Knicklänge zum Trägheitsradius des Querschnitts. Die Berechnung erfolgt für jede Richtung getrennt:

λ = Lcr / i

Bei der Berechnung des Schlankheitsgrades werden sowohl die Knicklänge als auch der Trägheitsradius in Millimetern angegeben. Ein höherer Schlankheitsgrad verstärkt den Einfluss des Knickens auf die Tragfähigkeit. Es gibt keinen einheitlichen Grenzwert für den Schlankheitsgrad, der für alle Materialien und Querschnitte gilt.

Berechnung von Stahlstützen nach Eurocode 3

Stahlstützen werden nach den Bestimmungen der Norm EN 1993-1-1 „Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau“ berechnet.

Stahlfestigkeit. Der Bemessungswiderstand wird anhand der Streckgrenze f_y bestimmt. Für Bauteildicken bis 16 mm gelten die Werte 235 MPa für S235, 275 MPa für S275 und 355 MPa für S355. Bei größeren Dicken nimmt die Streckgrenze ab. Beispielsweise beträgt die Streckgrenze von S355-Stahl bei einer Dicke über 16 mm bis einschließlich 40 mm 345 MPa.

Der Querschnitt wird zunächst anhand des Breiten-Dicken-Verhältnisses oder des Durchmesser-Dicken-Verhältnisses seiner einzelnen Elemente klassifiziert. Die Berechnung erfolgt für die Querschnittsklassen 1, 2 und 3. Für Querschnitte der Klasse 4, bei denen eine wirksame Querschnittsfläche unter Berücksichtigung des örtlichen Beulens ermittelt werden muss, wird kein Ergebnis ausgegeben.

Drucktragfähigkeit des Querschnitts. Sie wird durch Multiplikation der Querschnittsfläche mit der Streckgrenze des Stahls bestimmt:

Nc,Rd = A × fy

Die Fläche A wird in mm² und die Streckgrenze in MPa angegeben. Die resultierende Kraft ergibt sich in Newton und wird durch Division durch 1000 in kN umgerechnet. Bei der Berechnung des Widerstands werden die Teilsicherheitsbeiwerte γ_M0 = 1.0 und γ_M1 = 1.0 verwendet.

Euler'sche kritische Knicklast. Für jede Hauptachse wird die Last berechnet, bei der eine ideale gerade Stütze ausknicken kann:

Ncr = π2 × E × I / Lcr2

Für den Elastizitätsmodul von Stahl wird E = 210000 MPa angesetzt. Ein kleineres Flächenträgheitsmoment oder eine größere Knicklänge verringert die kritische Knicklast.

Abminderung der Tragfähigkeit. Zur Berücksichtigung von Anfangsimperfektionen und den Eigenschaften von Stahlprofilen werden die Knickspannungslinien a, b, c und d verwendet. Die zugehörigen Imperfektionsbeiwerte α betragen 0.21, 0.34, 0.49 und 0.76.

Die Knickspannungslinie wird abhängig von der Querschnittsform, der Knickrichtung und dem Herstellungsverfahren ausgewählt. Für warmgefertigte Hohlprofile nach EN 10210 wird die Linie a verwendet, für kaltgeformte Hohlprofile nach EN 10219 die Linie c. Bei I-Profilen hängt die Auswahl zusätzlich vom Verhältnis zwischen Höhe und Breite, der Flanschdicke und dem Herstellungsverfahren ab.

Der bezogene Schlankheitsgrad und der Abminderungsbeiwert χ werden nacheinander berechnet:

λrel = √(A × fy / Ncr)

Φ = 0.5 × [1 + α(λrel - 0.2) + λrel2]

χ = 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)]

Der Beiwert χ ist auf maximal 1.0 begrenzt. Wenn der bezogene Schlankheitsgrad 0.2 nicht überschreitet, wird χ = 1.0 verwendet. Der Knickwiderstand wird anschließend wie folgt berechnet:

Nb,Rd = χ × A × fy

Torsionsknickwiderstand. Bei offenen Profilen, einschließlich I-Profilen, U-Profilen und Winkelprofilen, wird zusätzlich die Möglichkeit eines Stabilitätsverlustes mit Verdrehung des Querschnitts untersucht. Die Berechnung verwendet die Torsionskonstante J, das Wölbträgheitsmoment I_w und den Schubmodul G = E / 2.6, entsprechend etwa 80769 MPa. Die wirksame Länge für das Torsionsknicken wird mindestens gleich der tatsächlichen Stützenlänge angesetzt.

Die endgültige Knicktragfähigkeit einer Stahlstütze ergibt sich aus dem kleinsten Widerstand gegen Biegeknicken um die Hauptachsen sowie gegen die entsprechenden torsionalen oder biegetorsionalen Knickformen.

Berechnung von Holzstützen nach Eurocode 5

Holzstützen werden nach den Bestimmungen der Norm EN 1995-1-1 „Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau“ berechnet. Die Eigenschaften des Bauholzes basieren auf den in EN 338 festgelegten Festigkeitsklassen.

Druckfestigkeit von Holz. Für die Festigkeitsklassen C16, C18, C24 und C30 beträgt die charakteristische Druckfestigkeit parallel zur Faser f_c,0,k jeweils 17, 18, 21 und 23 MPa. Für den 5%-Quantilwert des Elastizitätsmoduls E_0,05 werden 5400, 6000, 7400 und 8000 MPa angesetzt.

Einfluss der Nutzungsbedingungen. Die Bemessungsfestigkeit von Holz wird mit dem Modifikationsbeiwert k_mod angepasst, der die Feuchtigkeitsbedingungen und die Lasteinwirkungsdauer berücksichtigt. Für ständige, lange, mittlere, kurze und sehr kurze Lasteinwirkungsdauer werden folgende Werte verwendet:

• Nutzungsklassen 1 und 2: 0.60, 0.70, 0.80, 0.90 und 1.10.
• Nutzungsklasse 3: 0.50, 0.55, 0.65, 0.70 und 0.90.

Die Bemessungsdruckfestigkeit wird unter Verwendung des Teilsicherheitsbeiwerts für das Material γ_M = 1.3 berechnet:

fc,0,d = kmod × fc,0,k / 1.3

Die Drucktragfähigkeit des Querschnitts ergibt sich aus dem Produkt der Querschnittsfläche und der Bemessungsdruckfestigkeit des Holzes:

Nc,Rd = A × fc,0,d

Knicken von Holzstützen. Der bezogene Schlankheitsgrad wird für jede Hauptachse anhand der Knicklänge, des Trägheitsradius und der Holzeigenschaften berechnet:

λrel = Lcr / (π × i) × √(fc,0,k / E0,05)

Die Verringerung des Widerstands wird durch den Knickbeiwert k_c berücksichtigt. Zur Bestimmung dieses Beiwerts wird der Anfangsimperfektionsbeiwert β_c = 0.2 verwendet. Überschreitet der bezogene Schlankheitsgrad 0.3 nicht, wird k_c = 1.0 angesetzt. Bei größerem Schlankheitsgrad gelten folgende Beziehungen:

k = 0.5 × [1 + 0.2(λrel - 0.3) + λrel2]

kc = 1 / [k + √(k2 - λrel2)]

Der Knickwiderstand wird als k_c × A × f_c,0,d berechnet. Die Berechnung erfolgt für beide Achsen, wobei der kleinere Wert maßgebend ist.

Berechnung von Stahlbetonstützen nach Eurocode 2

Stahlbetonstützen werden mit einem Berechnungsmodell auf Grundlage der Norm EN 1992-1-1 „Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau“ untersucht. Der Nachweis berücksichtigt den Widerstand von Beton und Bewehrung, die Anfangsexzentrizität der axialen Belastung und Effekte zweiter Ordnung.

Bemessungswerte der Materialeigenschaften. Für Betonfestigkeitsklassen von C20/25 bis C90/105 wird die Bemessungsdruckfestigkeit nach folgender Formel berechnet:

fcd = 0.85 × fck / 1.5

Dabei bezeichnet f_ck die charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons in MPa. Für die Längsbewehrung B500 mit einer Streckgrenze von 500 MPa und einem Teilsicherheitsbeiwert von 1.15 beträgt die Bemessungsstreckgrenze:

fyd = 500 / 1.15 = 434.78 MPa

Bewehrungsfläche. Sie wird aus der Anzahl und dem Durchmesser der Längsbewehrungsstäbe berechnet. Bei rechteckigen Querschnitten werden die Stäbe entlang des Umfangs angeordnet, während sie bei kreisförmigen Querschnitten auf einer Kreislinie verteilt werden. Die Lage ihrer Mittelpunkte wird unter Berücksichtigung der Betondeckung und der Querbewehrung mit einem Durchmesser von 8 mm bestimmt.

Die Mindestfläche der Längsbewehrung beträgt mindestens 0.2% der Betonquerschnittsfläche und mindestens 10% der Bemessungsnormalkraft, geteilt durch die Bemessungsstreckgrenze der Bewehrung. Der maximale Bewehrungsgrad ist auf 4% begrenzt. Zusätzlich werden die Abstände zwischen den Bewehrungsstäben und ihre Anordnung innerhalb des angegebenen Querschnitts überprüft.

Querschnittstragfähigkeit. Für Beton bis einschließlich C50/60 wird ein parabolisch-rechteckiges Spannungs-Dehnungs-Diagramm mit einer Dehnung von 2.0‰ bei maximaler Spannung und einer Grenzdehnung von 3.5‰ verwendet. Bei höheren Betonfestigkeitsklassen ändern sich die Diagrammparameter entsprechend der Betonfestigkeit. Der Elastizitätsmodul der Bewehrung wird mit 200000 MPa angesetzt.

Aus der Dehnungsverteilung werden die Kräfte im Beton und in jedem einzelnen Bewehrungsstab berechnet. Anhand dieser Kräfte werden Wertepaare aus Normalkraft N und Biegewiderstand M für jede Hauptachse ermittelt. Daraus entsteht ein Interaktionsdiagramm zwischen Normalkraft und Biegemoment, mit dem die maximal zulässige Belastung bestimmt wird.

Anfangsexzentrizität. Auch bei axialer Druckbeanspruchung wird ein Mindestabstand zwischen der Wirkungslinie der Last und dem Mittelpunkt des Querschnitts berücksichtigt:

emin = max(20 mm, h / 30)

Dabei bezeichnet h die Querschnittsabmessung in der betrachteten Richtung. Für den Stabilitätsnachweis wird zusätzlich eine Anfangsimperfektion von L_cr / 400 berücksichtigt. Der größere dieser Werte wird als Anfangsexzentrizität verwendet.

Effekte zweiter Ordnung. Die Vergrößerung des Biegemoments durch die Verformung der gedrückten Stütze wird mit dem Verfahren der Nennkrümmung bewertet. Für Beton wird ein Kriechbeiwert φ = 2.0 angenommen. Der Grenzschlankheitsgrad, oberhalb dessen zusätzliche Biegung berücksichtigt wird, hängt von der axialen Druckbeanspruchung, der Bewehrungsmenge und dem Kriechen des Betons ab.

Falls erforderlich, wird die zusätzliche Exzentrizität aus dem Quadrat der Knicklänge und der Krümmung berechnet:

e2 = Lcr2 / 10 × fyd / (200000 × 0.45deff) × kr × kφ

Dabei ist d_eff die statische Nutzhöhe der Bewehrung, k_r berücksichtigt die Höhe der Normalkraftbeanspruchung und k_φ den Einfluss des Kriechens. Die resultierende Exzentrizität erhöht das Bemessungsbiegemoment.

Bestimmung der Tragfähigkeit. Für verschiedene Normalkraftwerte wird überprüft, ob der Biegewiderstand des Querschnitts mindestens dem Moment entspricht, das durch diese Kraft und die zugehörige Exzentrizität entsteht:

MRd(N) ≥ N × e(N)

Die maximal zulässige Normalkraft wird für beide Hauptrichtungen getrennt bestimmt. Beim Festigkeitsnachweis wird die Anfangsexzentrizität berücksichtigt, während beim Stabilitätsnachweis zusätzlich die Effekte zweiter Ordnung einbezogen werden. Der kleinste der berechneten Werte gilt als maßgebender Widerstand.

Interpretation der Berechnungsergebnisse

Ausnutzungsgrad. Er gibt an, welcher Prozentsatz des Bemessungswiderstands durch die einwirkende Normalkraft N_Ed beansprucht wird. Die Berechnung erfolgt getrennt für Festigkeit und Knicktragfähigkeit:

η = NEd / NRd × 100%

Ein Wert unter 100% bedeutet, dass der entsprechende Nachweis erfüllt ist. Bei 100% entspricht die Bemessungslast genau dem berechneten Widerstand. Ein Wert über 100% weist auf eine unzureichende Tragfähigkeit unter der untersuchten Bedingung hin.

Maßgebende Bedingung. Für eine insgesamt erfolgreiche Bemessung müssen beide Nachweise erfüllt sein. Ist die Querschnittsfestigkeit ausreichend, aber die Knicktragfähigkeit unzureichend, erfüllt die Stütze die Anforderungen der Berechnung nicht. Bei Querschnitten mit unterschiedlichen Eigenschaften bezüglich ihrer Hauptachsen ist die Richtung mit der geringeren Tragfähigkeit maßgebend.

FAQs

Warum besteht eine Stütze den Festigkeitsnachweis, aber nicht den Knicknachweis?

Die Festigkeit beschreibt die Fähigkeit des Materials und des Querschnitts, eine Druckbelastung aufzunehmen. Die Knicktragfähigkeit hängt zusätzlich von der Stützenlänge, den Lagerungsbedingungen und der Querschnittssteifigkeit ab. Daher kann eine lange und relativ schlanke Stütze bereits bei einer Belastung ausknicken, die deutlich unter der Festigkeitsgrenze des Materials liegt.

Warum haben Stützen mit gleicher Querschnittsfläche unterschiedliche Tragfähigkeiten?

Eine gleiche Querschnittsfläche bedeutet nicht automatisch eine gleiche Steifigkeit. Material, das weiter vom Querschnittsmittelpunkt entfernt angeordnet ist, kann ein größeres Flächenträgheitsmoment und einen höheren Widerstand gegen Biegeknicken erzeugen. Deshalb beeinflussen die Querschnittsform und die Materialverteilung die berechnete Tragfähigkeit einer Stütze erheblich.

Wie stark beeinflussen die Lagerungsbedingungen die Knicktragfähigkeit einer Stütze?

Die Lagerungsbedingungen bestimmen die Knicklänge, die in der Formel für die Euler'sche kritische Knicklast im Nenner quadriert wird. Beispielsweise verringert eine Erhöhung des Beiwerts K von 1.0 auf 2.0 bei gleicher tatsächlicher Länge die ideale kritische Knicklast auf ein Viertel. Die tatsächliche Bemessungstragfähigkeit gegen Knicken hängt zusätzlich von den Materialeigenschaften und der jeweils geltenden Knickspannungslinie ab.

Warum lässt sich der Schlankheitsgrad einer Stütze nicht anhand eines einzigen Grenzwerts beurteilen?

Der gleiche geometrische Schlankheitsgrad bedeutet bei Stahl, Holz und Stahlbeton nicht die gleiche Sicherheitsreserve gegen Knicken. Jedes Material besitzt unterschiedliche Verformungseigenschaften und ein eigenes Berechnungsmodell. Deshalb verwendet der Rechner den Schlankheitsgrad als Zwischenwert, während die abschließende Bewertung auf dem Verhältnis zwischen der einwirkenden Last und dem berechneten Widerstand basiert.

Warum wird bei Stahlbetonstützen unter axialer Belastung auch die Biegung berücksichtigt?

Selbst bei einer nominell zentrischen Druckbeanspruchung werden kleine geometrische Imperfektionen und Abweichungen der Lastposition berücksichtigt. Dadurch entsteht ein Biegemoment, das mit zunehmender Verformung der Stütze größer werden kann. Deshalb wird die Knickstabilität von Stahlbetonstützen unter Berücksichtigung der Exzentrizität und der Effekte zweiter Ordnung bewertet und nicht allein anhand der Beton- und Bewehrungsflächen.