Knickung berechnen

Über die Berechnung der Knickung

Dieser Rechner prüft eine Stütze (Stab, Säule) auf Knickung, Tragfähigkeit und Stabilität bei zentrischer Druckbeanspruchung. Die Berechnung basiert auf dem Vergleich der tatsächlichen Spannungen mit dem Bemessungswiderstand des Materials und auf der Berücksichtigung des Stabilitätsverlustes durch einen Beulfaktor für Knicken. Er eignet sich für eine Vorbemessung des Querschnitts und zur Abschätzung der Reserve bei vorgegebener Länge und Normalkraft.

Orientierung und Empfehlungen

Bemessungsnormen. Für Stahl ist EN 1993-1-1 (Eurocode 3) ein üblicher Bezug. Für Holz EN 1995-1-1 (Eurocode 5). Für Stahlbeton EN 1992-1-1 (Eurocode 2). Allgemeine Grundsätze der Zuverlässigkeit und Lastkombinationen behandelt EN 1990 (Eurocode 0).

Wirksame Stablänge. Zuerst wird die wirksame Länge l₀ (m) als geometrische Länge L (m) multipliziert mit dem Wirklängenfaktor m bestimmt:

l0 = m · L

Der Rechner verwendet typische m-Werte zur Abbildung der Lagerung. Das gewählte m wird auf folgende Werte gerundet: 1.0, 0.8, 0.65, 2.2.

Querschnittsfläche. Die Fläche A wird in mm² verwendet. Für einen vollen Kreisquerschnitt gilt:

A = π · d² / 4

Für ein Rundrohr ist die Fläche die Differenz aus äußerem und innerem Kreis. Der Innendurchmesser wird als d - 2t angesetzt.

Trägheitsradius. Zur Beurteilung der Schlankheit wird der Trägheitsradius i (mm) benötigt. Beim I-Profil werden die Flächenträgheitsmomente I_x, I_y (mm⁴) ermittelt und die Trägheitsradien um die Achsen berechnet:

i_x = √(I_x / A), i_y = √(I_y / A)

Die Schlankheit wird anschließend um die „ungünstigste“ Achse geprüft (es wird der größte Wert verwendet). Damit wird die Stütze in der Richtung betrachtet, in der sie am leichtesten ausknickt.

Schlankheit. Die Schlankheit λ (dimensionslos) wird aus wirksamer Länge und Trägheitsradius berechnet:

λ = l0 · 1000 / i

Der Faktor 1000 wandelt Meter in Millimeter um, damit die Einheiten zusammenpassen.

Spannung aus Normalkraft. Bei einer Normalkraft N in kN wird die Spannung σ in MPa berechnet (da 1 N/mm² = 1 MPa):

σ = N · 1000 / A

Wenn σ kleiner oder gleich dem Bemessungswiderstand des Materials R_d (MPa) ist, ist die Tragfähigkeitsbedingung erfüllt.

Knickfaktor. Die Stabilität wird über einen Faktor φ berücksichtigt, der den Widerstand bei zunehmender Schlankheit reduziert.

Für Holzbauteile wird eine stückweise Beziehung mit einem Übergang bei λ = 70 verwendet:

für λ ≤ 70: φ = 1 − 0.8 · (λ/100)²

für λ > 70: φ = 3000 / λ²

Für andere Materialgruppen wird eine tabellierte/lineare Abhängigkeit φ(λ) im Bereich 0…200 angewendet, die sich schrittweise etwa von 1.00 auf 0.16 verringert. Bei λ > 200 gilt die Schlankheitsanforderung als nicht erfüllt.

Stabilitätsnachweis über den Widerstand. Es wird ein Ausnutzungsgrad (dimensionslos) berechnet:

η = N · 1000 / (A · φ · R_d)

Wenn η ≤ 1, ist der Stabilitätsnachweis über den Widerstand erfüllt. Dies ist äquivalent zur Bedingung σ ≤ φ · R_d.

Grenzschlankheit. Zusätzlich wird eine Grenzschlankheit λ_lim in Abhängigkeit vom Ausnutzungsgrad η festgelegt. Intern wird ein Parameter α verwendet, begrenzt auf 0.5…1.0, und anschließend berechnet:

α = clamp( σ / (φ · R_d), 0.5, 1.0 )

λ_lim = 180 − 60 · α

Damit ergibt sich λ_lim grob von 150 (bei geringeren Spannungen) bis 120 (bei höherer Ausnutzung). Die Bedingung gilt als erfüllt, wenn λ < λ_lim.

Lokale Stabilität für I-Profile. Für einige dünnwandige Querschnitte wird zusätzlich eine „reduzierte Schlankheit“ verwendet:

λ̄ = λ · √(R_d / E)

Hier ist E der Elastizitätsmodul (MPa). Typische Werte im Rechner sind: E = 10000 (Holz), E = 200000 (Stahl), E = 30000 (Stahlbeton). Auf Basis von λ̄ werden Grenzwerte für Steg und Flansch gewählt. Danach werden Steg- und Flanschschlankheiten aus Breite-zu-Dicke-Verhältnissen berechnet und mit den Grenzwerten verglichen. Zur Orientierung kann der Rechner auch einen empfohlenen Abstand von Aussteifungen anzeigen:

s ≈ 3 · h_w

wobei h_w die wirksame Steghöhe (mm) oder eine gleichwertige charakteristische Abmessung des gewählten dünnwandigen Elements ist.

FAQs

Warum wird die Last in kN eingegeben, aber die Spannung in MPa ausgegeben?

Die Berechnung verwendet σ = N·1000/A. Die Normalkraft N in kN wird durch Multiplikation mit 1000 in N umgerechnet, die Fläche ist in mm². Das Ergebnis ist N/mm², was zahlenmäßig MPa entspricht.

Wozu dient der Wirklängenfaktor m?

Er beschreibt, wie die Endlagerung das Knickverhalten beeinflusst. Bei geringerer Einspannung steigt die wirksame Länge, die Schlankheit nimmt zu und der Knickfaktor φ wird kleiner.

Warum wird die maximale Schlankheit um zwei Achsen verwendet?

Bei unsymmetrischen oder dünnwandigen Querschnitten ist die Stabilität richtungsabhängig. Der Rechner verwendet die ungünstigste Achse, weil das Ausknicken um die Achse mit der größten Schlankheit erfolgt.

Was bedeutet die Bedingung η ≤ 1 im Stabilitätsnachweis?

Sie bedeutet, dass die Last den durch Knicken reduzierten Widerstand nicht überschreitet: N ≤ A·φ·R_d/1000. Ist η größer als 1, ist die Stütze unter den angenommenen Bedingungen überlastet.

Warum gibt es zusätzlich die Prüfung λ < λ_lim?

Sie begrenzt sehr schlanke Bauteile, selbst wenn der Widerstandsnachweis günstig aussieht. In diesem Rechner wird λ_lim bei höherer Ausnutzung automatisch reduziert, sodass die Schlankheitsanforderung für stärker belastete Stützen strenger wird.