Über die Berechnung einer Stahlbetonsäule
Dieser Rechner dient zur überschlägigen Bemessung einer quadratischen Stahlbetonsäule und der erforderlichen Längsbewehrung anhand der Normalkraft und der Stützenhöhe. Zusätzlich werden Betonvolumen und Bewehrungsgewicht abgeschätzt.
Die Berechnung ist als vereinfachter Nachweis für zentrischen Druck mit Mindestexzentrizität und einem Reduktionsbeiwert φ umgesetzt. In der Praxis werden für die Bemessung typischerweise EN 1992-1-1 (Eurocode 2) sowie für Lastkombinationen EN 1990 und EN 1991 herangezogen.
Orientierungswerte und Empfehlungen
Lastumrechnung. Wird die Last in Tonnen (t) eingegeben, erfolgt die Umrechnung in kN mit NkN = Nt · 9,81. In allen weiteren Formeln wird NkN in kN verwendet.
Bemessungsfestigkeiten. Für Beton verwendet der Rechner fcd (MPa) entsprechend der gewählten Betongüte. Für Bewehrung wird eine konstante Bemessungsstreckgrenze angesetzt: fyd = 434,783 MPa. Der Reduktionsbeiwert wird je nach Bewehrungsklasse über φmax begrenzt: 0,75 (B500B), 0,80 (B500A), 0,85 (B500C).
Wahl der Querschnittsseite. Zuerst wird eine überschlägige erforderliche Betonfläche Ac (cm2) in der im Rechner verwendeten empirischen Form berechnet, die einen Bewehrungsanteil berücksichtigt:
Ac = NkN · 10 000 / ( fcd + 0,025 · fyd ) / 100
Danach wird die Quadratseite a (cm) als a = √Ac bestimmt und in Schritten von 5 cm nach oben gerundet. Der Mindestwert ist a = 25 cm.
Schlankheitsnachweis. Die wirksame Länge wird angesetzt als:
leff = L · √1,8
wobei L die Stützenhöhe (mm) ist. Die Schlankheit ergibt sich zu:
λ = leff / amm
mit amm = a · 10 (mm). Ist λ > 120, wird die Seite a in 5 cm-Schritten erhöht, bis λ ≤ 120 erfüllt ist. Der Endquerschnitt ist der erste, der diese Grenze einhält.
Mindestexzentrizität. Zur Berücksichtigung von Imperfektionen wird angesetzt:
ea = max( L/600 , e0 , amm/3 )
wobei e0 = 10 mm (Ortbeton) oder 20 mm (Fertigteil) ist. Danach:
k = ea / amm
Beiwert φ. φ wird aus k über eine abschnittsweise lineare Beziehung mit folgenden Stützpunkten bestimmt:
k < 0,03→φ = 0,80k = 0,05→φ = 0,74k = 0,10→φ = 0,60k = 0,15→φ = 0,48k = 0,20→φ = 0,37k = 0,25→φ = 0,28k = 0,30→φ = 0,20
Zwischen den Punkten wird linear interpoliert. Anschließend gilt die Begrenzung φ ≤ φmax für die gewählte Bewehrungsklasse.
Erforderliche Längsbewehrung. Die erforderliche Längsbewehrungsfläche As,req (mm2) wird als Differenz aus erforderlicher Tragfähigkeit und Betonanteil berechnet und durch die Bemessungsstreckgrenze geteilt:
As,req = ( NkN · 10 000 / φ − fcd · a2 · 100 ) / fyd
Hier ist a in cm, daher ist der Betonterm als a2 · 100 (cm2 → mm2) geschrieben. Bedeutung: N/φ beschreibt den „verstärkten“ Bedarf infolge Exzentrizität, Beton deckt einen Teil ab, der Rest wird von Stahl aufgenommen.
Wahl des Stabdurchmessers. Für die gewählte Stabzahl n (4, 8 oder 12) werden Standarddurchmesser d geprüft und der erste ausgewählt, bei dem die vorhandene Fläche nicht kleiner als die erforderliche ist:
As,prov = n · (π · d2 / 4)
Auswahlkriterium: As,prov ≥ As,req.
Materialgewichte. Es werden folgende Dichten verwendet: Stahl ρs = 7850 kg/m3, Beton ρc = 2450 kg/m3. Das Betongewicht wird aus dem Volumen amm · amm · L abgeschätzt, die Gewichte der Längs- und Querkraftbewehrung werden aus der gesamten Stablänge und der Querschnittsfläche ermittelt.
FAQs
Warum vergrößert der Rechner den Querschnitt bei einer hohen Stütze?
Das liegt am Schlankheitsnachweis λ. Wenn λ > 120, wird die Querschnittsseite automatisch in 5 cm-Schritten erhöht, bis λ ≤ 120 gilt. Damit wird eine zu große Schlankheit begrenzt.
Warum wird eine Mindestexzentrizität ea angesetzt?
Auch bei „zentrischem“ Druck haben reale Stützen Imperfektionen und unvermeidbare Exzentrizitäten. Deshalb wird ea = max(L/600, e0, amm/3) angesetzt. Das beeinflusst k, anschließend den Beiwert φ und schließlich As,req.
Was bedeutet der Beiwert φ?
φ reduziert die wirksame Tragfähigkeit mit zunehmender Exzentrizität. Je größer k ist, desto kleiner wird φ. Zusätzlich wird φ durch φmax abhängig von der Bewehrungsklasse nach oben begrenzt.
Warum wird der „erste passende“ Stabdurchmesser gewählt?
Der Rechner prüft Standarddurchmesser und wählt den ersten, der As,prov ≥ As,req erfüllt. Das ist ein schneller praxisnaher Ansatz. Eine Optimierung auf minimale Masse oder Kosten würde mehr Kombinationen aus n, d und Parametern der Querkraftbewehrung erfordern.
Kann ich das Ergebnis als endgültige Eurocode-2-Bemessung ansehen?
Das Ergebnis ist für eine Vorbemessung unter zentrischem Druck mit Vereinfachungen gedacht. Für eine vollständige Bemessung nach EN 1992-1-1 werden üblicherweise zusätzlich Kombinationen nach EN 1990, Effekte zweiter Ordnung, Anforderungen an die Querkraftbewehrung, Knotenpunkte und konstruktive Grenzwerte geprüft.