Über die Berechnung einer Stahlbetonsäule
Dieser Stahlbetonsäule Rechner berechnet Querschnitt und Bewehrung einer quadratischen Stahlbetonsäule anhand der Bemessungslast, Säulenhöhe, Betonklasse, Anzahl der Längsstäbe und Betondeckung. Die Berechnung bestimmt den Säulenquerschnitt, den Durchmesser der Längsbewehrung und die Querbewehrung und prüft dabei den Querschnittswiderstand, die Mindest- und Höchstbewehrung, die Schlankheit der Säule, Effekte zweiter Ordnung und konstruktive Grenzen für die Anordnung der Bewehrung.
Das Berechnungsverfahren basiert auf EN 1992-1-1 „Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau“. Die Betonklassen entsprechen EN 206 „Beton - Festlegung, Eigenschaften, Herstellung und Konformität“. Die Bemessungslast sollte die Kombinationen von Einwirkungen nach EN 1990 „Eurocode: Grundlagen der Tragwerksplanung“ und die relevanten Einwirkungen nach EN 1991 „Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke“ berücksichtigen.
Richtwerte und Empfehlungen
Bemessungseigenschaften der Materialien
Bemessungsfestigkeit des Betons. Für die gewählte Betonklasse wird die charakteristische Zylinderdruckfestigkeit fck verwendet. Sie entspricht der ersten Zahl in der Klassenbezeichnung. Für C20/25 gilt beispielsweise fck = 20 MPa. Die Bemessungsdruckfestigkeit wird mit αcc = 0.85 und dem Teilsicherheitsbeiwert γc = 1.50 berechnet:
fcd = 0.85 · fck / 1.50
Für Beton C20/25 ergibt sich beispielsweise fcd = 11.3 MPa. Bei hochfestem Beton oberhalb C50/60 werden zusätzlich die Parameter des äquivalenten rechteckigen Druckspannungsblocks angepasst.
Bemessungsfestigkeit der Bewehrung. Für die Längsbewehrung wird eine charakteristische Streckgrenze von fyk = 500 MPa mit dem Teilsicherheitsbeiwert γs = 1.15 angesetzt. Die Bemessungsfestigkeit der Bewehrung beträgt:
fyd = 500 / 1.15 = 434.8 MPa
Der Elastizitätsmodul des Bewehrungsstahls wird mit Es = 200000 MPa angesetzt.
Auswahl von Säulenquerschnitt und Längsbewehrung
Auswahlreihenfolge. Der Rechner beginnt mit einem quadratischen Querschnitt von 250 x 250 mm und vergrößert die Seitenabmessung in Schritten von 50 mm bis zur maximal geprüften Größe von 1500 x 1500 mm. Für jeden Querschnitt werden die Durchmesser der Längsstäbe 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 32, 36 und 40 mm geprüft. Ausgewählt wird die erste Variante, die alle Nachweise erfüllt.
Fläche der Längsbewehrung. Für die vorgegebene Anzahl der Stäbe n und den Stabdurchmesser d wird die Bewehrungsfläche wie folgt berechnet:
As = n · π · d2 / 4
Die berechnete Fläche wird mit den Mindest- und Höchstgrenzen der Bewehrung verglichen. Die erforderliche Mindestbewehrungsfläche wird als der größere der beiden folgenden Werte angesetzt:
As,min = max(0.10 · NEd / fyd, 0.002 · Ac)
Die maximale Fläche der Längsbewehrung wird angesetzt als:
As,max = 0.04 · Ac
Dabei ist NEd die Bemessungsnormalkraft in N und Ac die Betonquerschnittsfläche in mm2. Wird die Last in Tonnen eingegeben, verwendet die Berechnung die Umrechnung 1 t = 9.81 kN.
Anordnung der Stäbe. Bei 4 Stäben werden diese in den Ecken des Querschnitts angeordnet. Bei 8 Stäben wird auf jeder Seite ein Zwischenstab ergänzt. Bei 12 Stäben werden auf jeder Seite zwei Zwischenstäbe angeordnet. Die Betondeckung wird in der Berechnung von der Betonoberfläche bis zur Außenfläche der Querbewehrung gemessen.
Der lichte Abstand zwischen benachbarten Längsstäben darf nicht kleiner sein als der größere Wert aus d und 25 mm. Wenn eine Kombination aus Stabdurchmesser, Betondeckung und Querschnittsgröße den erforderlichen Abstand nicht ermöglicht, wird diese Kombination von der Auswahl ausgeschlossen.
Schlankheit und Effekte zweiter Ordnung
Schlankheit der Säule. Die Knicklänge wird gleich der eingegebenen Säulenhöhe L angesetzt. Für einen quadratischen Querschnitt wird der Trägheitsradius berechnet als:
i = h / √12
Der Schlankheitsgrad wird berechnet als:
λ = L / i
wobei h die Seitenabmessung des quadratischen Querschnitts in mm ist.
Grenzschlankheit. Zur Bestimmung, ob Effekte zweiter Ordnung berücksichtigt werden müssen, wird die Beziehung nach EN 1992-1-1 verwendet:
λlim = 20 · A · B · C / √n
In der Berechnung werden die festen Koeffizienten A = 0.70 und C = 0.70 verwendet. Der Koeffizient A entspricht dem angenommenen effektiven Kriechbeiwert φef = 2.143. Der Koeffizient B hängt vom Anteil der Längsbewehrung ab:
B = √(1 + 2 · ω)
ω = As · fyd / (Ac · fcd)
Die bezogene Normalkraft wird berechnet als:
n = NEd / (Ac · fcd)
Ist die tatsächliche Schlankheit λ kleiner als der Grenzwert λlim, wird kein zusätzliches Moment zweiter Ordnung angesetzt. Wenn λ ≥ λlim, ermittelt der Rechner die zusätzliche Exzentrizität nach dem Verfahren der Nennkrümmung.
Anfangsimperfektionen. Die Mindestexzentrizität wird als der größere der folgenden beiden Werte angesetzt:
e0 = max(h / 30, 20 mm)
Zusätzlich wird eine geometrische Imperfektion berücksichtigt:
ei = L / 400
Effekte zweiter Ordnung. Bei einer schlanken Säule wird die zusätzliche Krümmung unter Berücksichtigung des Normalkraftniveaus, des Bewehrungsgrades, der Betonklasse und des angesetzten Kriechbeiwerts bestimmt. Die Grundkrümmung wird aus der Fließdehnung der Bewehrung fyd / Es und der statischen Nutzhöhe der Bewehrung berechnet. Die zusätzliche Exzentrizität wird bestimmt als:
e2 = kr · kφ · (1 / r0) · L2 / 10
Das zusätzliche Moment zweiter Ordnung beträgt dann:
M2 = NEd · e2
Für den Querschnittsnachweis wird der größere Wert aus dem Moment infolge der Mindestexzentrizität und dem Moment einschließlich geometrischer Imperfektion und Effekten zweiter Ordnung verwendet:
MEd = max(NEd · e0, NEd · ei + M2)
Nachweis des Querschnittswiderstands
Kombination aus Druck und Biegung. Der gewählte Querschnitt wird nicht nur auf axiale Druckbeanspruchung geprüft. Für jede Kombination aus Säulenabmessung und Bewehrung wird die Lage der neutralen Achse so bestimmt, dass die innere Normalkraft aus Beton und Bewehrungsstahl der vorgegebenen Bemessungslast entspricht.
Für Beton bis C50/60 werden für den rechteckigen Druckspannungsblock der Tiefenbeiwert λc = 0.80, der Spannungsbeiwert η = 1.00 und die Grenzdehnung des Betons εcu = 3.5‰ verwendet. Für Betonklassen oberhalb C50/60 gelten folgende Beziehungen:
λc = 0.80 - (fck - 50) / 400
η = 1 - (fck - 50) / 200
εcu = [2.6 + 35 · ((90 - fck) / 100)4]‰
Spannungen in der Bewehrung. Die Dehnungen der Stäbe werden aus einer linearen Dehnungsverteilung über die Querschnittshöhe bestimmt. Die Stahlspannung wird mit Es berechnet und auf die Bemessungsfestigkeit ±fyd begrenzt. Aus den Kräften im Betondruckblock und in allen Bewehrungsstäben wird das Widerstandsmoment MRd bestimmt.
Der Querschnitt gilt als ausreichend, wenn sein Bemessungswiderstand folgende Bedingung erfüllt:
MRd ≥ MEd
Wird diese Bedingung nicht erfüllt, prüft der Rechner zunächst den nächsten Durchmesser der Längsbewehrung und anschließend die nächste Größe des quadratischen Querschnitts.
Querbewehrung
Bügeldurchmesser. Der Mindestdurchmesser der Querbewehrung wird als der größere Wert aus 6 mm und einem Viertel des Durchmessers der Längsstäbe angesetzt:
dsw ≥ max(6 mm, d / 4)
Der berechnete Wert wird auf einen der verfügbaren Durchmesser aufgerundet: 6, 8, 10, 12, 14 oder 16 mm.
Bügelabstand. Der maximale Abstand im mittleren Bereich wird berechnet als:
smax = min(20 · d, h, 400 mm)
Der resultierende Wert wird in Schritten von 25 mm abgerundet. In den Endbereichen wird ein reduzierter Abstand verwendet:
send = 0.60 · smax
Die Länge jedes Endbereichs wird gleich der Seitenabmessung der Säule h angesetzt, jedoch nicht größer als die Hälfte der Säulenhöhe.
Zusätzliche Querverbinder. Bei Anordnungen mit 8 und 12 Längsstäben wird der Abstand zwischen den Zwischenstäben geprüft. Überschreitet der berechnete lichte Abstand 150 mm, werden innere Querverbinder ergänzt. Bei 8 Längsstäben werden auf jeder Bügelebene 2 zusätzliche Verbinder verwendet. Bei 12 Stäben werden 4 Verbinder verwendet.
Betonvolumen und Materialmasse
Säulenvolumen. Das geometrische Volumen wird aus der Abmessung des quadratischen Querschnitts und der Säulenhöhe berechnet:
V = h2 · L
Für das angezeigte Ergebnis werden die Abmessungen von Millimetern in Meter umgerechnet, sodass das Volumen in m3 angegeben wird.
Masse der Bewehrung. Die Masse der Längsstäbe und der Querbewehrung wird aus ihrer Querschnittsfläche und Gesamtlänge berechnet. Für Stahl wird eine Dichte von 7850 kg/m3 verwendet. Bei der Berechnung der Länge eines geschlossenen Bügels wird zusätzlich eine Gesamtzugabe von 20 · dsw für den Bügelverschluss berücksichtigt.
Betonmasse. Für Beton wird eine Dichte von 2450 kg/m3 verwendet. Vor der Berechnung der Betonmasse wird das Volumen der berechneten Bewehrung vom geometrischen Säulenvolumen abgezogen, damit das Stahlvolumen nicht gleichzeitig als Beton und Stahl berücksichtigt wird. Die Gesamtmasse der Säule ergibt sich aus der Summe der Betonmasse, der Masse der Längsbewehrung und der Masse der Querbewehrung.
FAQs
Warum kann sich der Säulenquerschnitt bei größerer Säulenhöhe vergrößern?
Mit zunehmender Höhe steigt auch die Schlankheit der Stahlbetonsäule. Sobald die berechnete Grenzschlankheit überschritten wird, berücksichtigt der Rechner ein zusätzliches Biegemoment zweiter Ordnung, wodurch der erforderliche Querschnittswiderstand steigt. Eine höhere Säule kann daher bei gleicher axialer Last einen größeren Querschnitt oder einen größeren Durchmesser der Längsbewehrung benötigen.
Warum führt eine höhere Betonklasse nicht immer zu kleineren Säulenabmessungen?
Die Betonfestigkeit ist nur eine der Bedingungen für die Berechnung von Querschnitt und Bewehrung. Die endgültigen Abmessungen hängen außerdem von der Schlankheit, den Mindest- und Höchstbewehrungsgraden, der Anordnung der Stäbe, der Betondeckung und der Fähigkeit des Querschnitts ab, die Kombination aus axialem Druck und Biegung aufzunehmen. Ab einem bestimmten Niveau kann eine höhere Betonklasse deshalb den gewählten Säulenquerschnitt nicht mehr verändern.
Warum beeinflusst eine Änderung der Betondeckung das Berechnungsergebnis?
Eine größere Betondeckung verschiebt die Längsstäbe näher zur Mitte des Querschnitts. Dadurch verringert sich der Hebelarm der Bewehrung, und der Widerstand gegen Biegemomente kann abnehmen. Gleichzeitig steht weniger Raum für die Anordnung der Stäbe zur Verfügung, sodass bestimmte Kombinationen aus Stabdurchmesser und Querschnittsgröße ausgeschlossen werden können.
Warum sind bei 8 oder 12 Längsstäben zusätzliche Querverbinder erforderlich?
Der äußere geschlossene Bügel hält hauptsächlich die Stäbe direkt in der Nähe der Querschnittsecken. Bei größeren Abständen zwischen den Längsstäben benötigen die Zwischenstäbe eine zusätzliche seitliche Halterung. Der Rechner fügt deshalb automatisch innere Querverbinder hinzu, wenn der lichte Abstand 150 mm überschreitet.
Wie wählt der Stahlbetonsäule Rechner den endgültigen Querschnitt und den Bewehrungsdurchmesser aus?
Die Berechnung beginnt mit einem Querschnitt von 250 x 250 mm und dem kleinsten verfügbaren Durchmesser der Längsstäbe. Jede Variante wird nacheinander hinsichtlich Bewehrungsfläche, Stababständen, Schlankheit, Effekten zweiter Ordnung und Widerstand bei kombinierter Druck- und Biegebeanspruchung geprüft. Als Ergebnis wird die erste Variante ausgewählt, die alle Nachweise erfüllt.