Über die Berechnung der Balkendurchbiegung
Die Ergebnisse sind Näherungswerte. Prüfen Sie die Berechnungen vor der Anwendung anhand der geltenden Normen und ziehen Sie einen Fachmann hinzu. Der Entwickler übernimmt keine Verantwortung für die Folgen der Nutzung ohne projektbezogene Prüfung.
Der Rechner für Balkendurchbiegung, Biegespannung und Tragfähigkeit berechnet die Durchbiegung und Festigkeit von Stahlträgern unter statischer gleichmäßig verteilter Last oder Einzellast. Aus den Abmessungen des Querschnitts werden zunächst die Querschnittswerte bestimmt, anschließend werden das Eigengewicht des Trägers sowie das maximale Biegemoment, die Querkraft, die Durchbiegung, die Normalspannung und die Schubspannung berechnet.
Die Berechnung gilt für gerade Stahlträger mit konstantem Querschnitt, kleinen Verformungen und linear-elastischem Materialverhalten. Bei einer Einzellast greift die Kraft bei beidseitig gelagerten Trägern in der Mitte der Spannweite und bei einem Kragträger am freien Ende an.
Richtwerte und Empfehlungen
Berechnungsmodell
Balkendurchbiegung. Die Berechnung basiert auf der klassischen Balkenbiegetheorie. Verwendet werden ein Elastizitätsmodul des Stahls von E = 210000 MPa und das Flächenträgheitsmoment I. Je größer das Flächenträgheitsmoment ist, desto kleiner ist die Durchbiegung bei gleicher Spannweite und Last.
Querschnittsgeometrie. Aus den eingegebenen Abmessungen werden die Querschnittsfläche A in mm2, das Flächenträgheitsmoment I in mm4, das elastische Widerstandsmoment W in mm3 und das statische Flächenmoment Q in mm3 berechnet. Der Querschnitt wird als idealisierte geometrische Form ohne Ausrundungsradien oder Flanschneigungen behandelt.
Das elastische Widerstandsmoment wird aus dem Abstand zwischen der neutralen Achse und dem am weitesten entfernten Punkt des Querschnitts bestimmt:
W = I / ymax
Bei einem Querschnitt, der nicht symmetrisch zur Biegeachse ist, wird zuerst die Lage des Schwerpunkts berechnet. Beim Winkelprofil wird eine Biegung in der Ebene angenommen, die der im Rechner dargestellten Orientierung entspricht.
Material und Stahleigenschaften
Elastizitätsmodul. Für alle Stahlgüten wird E = 210000 MPa verwendet. Dieser Wert geht in die Berechnung der Balkendurchbiegung ein und beschreibt die Steifigkeit des Stahls im elastischen Bereich.
Dichte. Für die Berechnung von Masse und Eigengewicht des Trägers verwendet der Rechner eine Stahldichte von ρ = 7850 kg/m3 und die Erdbeschleunigung g = 9.80665 m/s2.
Streckgrenze. Für die Stahlgüten S235, S275, S355 und S420 verwendet der Rechner entsprechend fy = 235, 275, 355 und 420 MPa. Diese Werte werden für die Spannungsnachweise verwendet. Bei einem konkreten Stahlprodukt kann der tatsächliche Wert von fy von der Produktdicke und der anzuwendenden Produktnorm abhängen.
Lasteinheiten und Eigengewicht
Verteilte Last. Sie kann in kg/m oder kN/m eingegeben werden. Ein Wert in kg/m wird als kgf/m behandelt und mit g = 9.80665 m/s2 in Krafteinheiten umgerechnet:
1 kgf/m = 0.00980665 kN/m
Einzellast. Sie kann in kg oder kN eingegeben werden. Ein Wert in Kilogramm wird als Kilogrammkraft behandelt:
1 kgf = 9.80665 N
Eigengewicht. Zunächst wird aus den eingegebenen Abmessungen die Querschnittsfläche A berechnet, anschließend wird die Masse des Trägers aus seinem Volumen und der Stahldichte bestimmt. Das Eigengewicht wird in eine gleichmäßig verteilte Last über die gesamte Trägerlänge umgerechnet:
qself = ρ · A · g
Bei einer äußeren verteilten Last ergibt sich die gesamte verteilte Last zu:
q = qext + qself
Wirkt eine äußere Einzellast P, wirkt das Eigengewicht des Trägers weiterhin als verteilte Last qself. Das Eigengewicht des Trägers wird daher bei jeder Lagerungs- und Lastkonfiguration berücksichtigt.
Biegemoment und Querkraft
Schnittgrößen. Nach Bestimmung der Gesamtlast ermittelt der Rechner das betragsmäßig maximale Biegemoment M und die maximale Querkraft V. Die Gleichungen hängen von der Lagerungsart ab.
- Beidseitig gelenkig gelagert:
M = qL2/8 + PL/4, V = qL/2 + P/2.
- Einseitig eingespannt, einseitig gelenkig:
M = qL2/8 + 3PL/16, V = 5qL/8 + 11P/16.
- Beidseitig eingespannt:
M = qL2/12 + PL/8, V = qL/2 + P/2.
- Kragträger:
M = qL2/2 + PL, V = qL + P.
Dabei ist L die Spannweite des Trägers, q die gesamte gleichmäßig verteilte Last einschließlich Eigengewicht und P die äußere Einzellast. Bei einer äußeren verteilten Last gilt P = 0.
Maximale Balkendurchbiegung
Beidseitig gelenkig gelagerter Balken. Die maximale Durchbiegung aus verteilter Last und einer Einzellast in Feldmitte wird durch Superposition berechnet:
d = 5qL4/(384EI) + PL3/(48EI)
Beidseitig eingespannter Balken. Die Einspannung beider Enden reduziert die Durchbiegung deutlich:
d = qL4/(384EI) + PL3/(192EI)
Kragträger. Die maximale Durchbiegung tritt am freien Ende auf:
d = qL4/(8EI) + PL3/(3EI)
Einseitig eingespannter und einseitig gelenkig gelagerter Balken. Die Lage der maximalen Durchbiegung hängt vom Verhältnis zwischen verteilter Last und Einzellast ab. Bei ausschließlich verteilter Last gilt:
d = (39 + 55√33)qL4/(65536EI)
Bei ausschließlich in der Feldmitte angreifender Einzellast gilt:
d = √5 · PL3/(240EI)
Wirken eine Einzellast und das verteilte Eigengewicht gleichzeitig, werden ihre Durchbiegungslinien addiert. Der Maximalwert wird anschließend entlang der Trägerlänge bestimmt, weil seine Lage nicht zwingend mit der Feldmitte zusammenfällt.
Bestimmung der zulässigen Durchbiegung
Durchbiegungsgrenze. Die berechnete Balkendurchbiegung wird mit einem Grenzwert in der Form L/n verglichen. Je größer der Koeffizient n ist, desto kleiner ist die zulässige Durchbiegung:
dlim = L / n
Wenn der Benutzer keinen eigenen Wert für n vorgibt, verwendet der Rechner abhängig von der Spannweite einen integrierten praktischen Richtwert:
- für L ≤ 1000 mm: n = 120;
- für 1000 < L ≤ 3000 mm: n steigt linear von 120 auf 150;
- für 3000 < L ≤ 6000 mm: n steigt linear von 150 auf 200;
- für 6000 < L ≤ 24000 mm: n steigt linear von 200 auf 250;
- für 24000 < L ≤ 36000 mm: n steigt linear von 250 auf 300;
- für L > 36000 mm: n = 300.
Innerhalb jedes Zwischenbereichs ändert sich n nicht sprunghaft, sondern wird linear zwischen den angegebenen Grenzwerten interpoliert. Bei einer Spannweite von 4000 mm ergibt sich beispielsweise n ≈ 166.7 und eine zulässige Durchbiegung von etwa 24 mm. Gibt der Benutzer einen eigenen L/n-Wert vor, ersetzt dieser den automatischen Richtwert.
Festigkeitsnachweis
Normalspannung. Die maximale Biegespannung wird aus dem maximalen Biegemoment und dem elastischen Widerstandsmoment berechnet:
σ = M / W
Die Bedingung für den Festigkeitsnachweis lautet:
σ ≤ fy / γM0
Der Rechner verwendet γM0 = 1.0. Bei der Stahlgüte S235 wird die berechnete Normalspannung daher beispielsweise mit 235 MPa verglichen.
Schubspannung. Sie wird aus der maximalen Querkraft V, dem statischen Flächenmoment Q, dem Flächenträgheitsmoment I und der maßgebenden Materialbreite b berechnet:
τ = V · Q / (I · b)
Der zugehörige Grenzwert lautet:
τlim = fy / (√3 · γM0)
Bei γM0 = 1.0 entspricht dies ungefähr 135.7 MPa für S235, 158.8 MPa für S275, 205.0 MPa für S355 und 242.5 MPa für S420. Normalspannung und Schubspannung werden getrennt mit den jeweiligen Grenzwerten verglichen.
Interpretation des Ergebnisses
Steifigkeit. Die berechnete Balkendurchbiegung wird mit dlim verglichen. Wenn d ≤ dlim gilt, erfüllt der gewählte Balken das angesetzte Durchbiegungskriterium. Überschreitet die berechnete Durchbiegung den Grenzwert, ist eine steifere Kombination aus Spannweite und Querschnitt oder ein anderer vorgegebener L/n-Wert erforderlich.
Tragfähigkeit. Normal- und Schubspannungen werden getrennt mit ihren jeweiligen Grenzwerten verglichen. Wird die Bedingung erfüllt, zeigt der Rechner zusätzlich eine Reserve in Prozent an, die aus dem Verhältnis zwischen Grenzspannung und berechneter Spannung bestimmt wird:
Reserve = (σlim/σ - 1) · 100%
Für die Schubspannung wird derselbe Ansatz mit τ und τlim verwendet.
Zugehörige europäische Normen
EN 1990 „Eurocode: Grundlagen der Tragwerksplanung“. Diese Norm legt die allgemeinen Grundsätze der Tragwerksplanung fest, einschließlich der Nachweise der Grenzzustände der Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit. Die zulässige Durchbiegung hängt von der Nutzung des Tragwerks und den anzuwendenden Gebrauchstauglichkeitskriterien ab, daher verwendet der Rechner die integrierte L/n-Skala als praktischen Richtwert.
EN 1991 „Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke“. Diese Normenreihe legt die Grundsätze für die Ermittlung von Einwirkungen und Lasten auf Tragwerke fest. Die für die Balkenberechnung verwendete Last sollte der jeweiligen Belastungssituation entsprechen.
EN 1993-1-1 „Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau“. Diese Norm betrifft die bei den Festigkeitsnachweisen verwendeten Stahleigenschaften, den Querschnittswiderstand und den Beiwert γM0. Der Rechner verwendet γM0 = 1.0.
EN 10025-2 „Warmgewalzte Erzeugnisse aus Baustählen - Teil 2: Technische Lieferbedingungen für unlegierte Baustähle“. Diese Norm legt die mechanischen Eigenschaften gebräuchlicher Baustähle fest. Die vom Rechner verwendeten Nennwerte fy für S235, S275, S355 und S420 sind zusammen mit der tatsächlichen Dicke und der Art des Stahlprodukts zu betrachten.
FAQs
Warum kann ein Balken den Festigkeitsnachweis bestehen, aber die Durchbiegungsgrenze überschreiten?
Festigkeit und Steifigkeit sind unterschiedliche Kriterien. Die Biegespannung hängt hauptsächlich vom Verhältnis M/W ab, während die Balkendurchbiegung zusätzlich sehr empfindlich auf Spannweite und Flächenträgheitsmoment I reagiert. Ein Stahlträger kann daher eine ausreichende Tragfähigkeit besitzen und sich trotzdem stärker als zulässig durchbiegen.
Warum beeinflusst die Querschnittshöhe die Balkendurchbiegung so stark?
Für einen rechteckigen Querschnitt gilt I = bh3/12, sodass die Querschnittshöhe in der dritten Potenz eingeht. Bereits eine moderate Erhöhung der Höhe kann die Steifigkeit deutlich erhöhen und die Durchbiegung verringern. Die Breite beeinflusst das Ergebnis ebenfalls, bei diesem Querschnitt jedoch linear.
Warum wird das Eigengewicht berücksichtigt, wenn die äußere Last deutlich größer ist?
Das Eigengewicht wirkt kontinuierlich über die gesamte Trägerlänge und erzeugt zusätzliches Biegemoment und zusätzliche Durchbiegung. Bei schweren Querschnitten oder großen Spannweiten kann dieser Anteil erheblich werden. Der Rechner bestimmt ihn automatisch aus der Querschnittsfläche, der Stahldichte von 7850 kg/m3 und der Trägerlänge.
Wie wähle ich die Durchbiegungsgrenze L/n?
Wenn kein separates Kriterium vorgegeben ist, kann der automatische Wert des Rechners für Balkendurchbiegung und Tragfähigkeit als praktischer Richtwert dienen. Er verändert sich schrittweise von etwa L/120 bei kurzen Balken bis L/300 bei großen Spannweiten. Ist für das Tragwerk ein bestimmter Grenzwert wie L/250 oder L/300 festgelegt, sollte der entsprechende Wert für n eingegeben werden. Je größer n ist, desto strenger ist die Durchbiegungsbegrenzung.
Warum können berechnete Querschnittswerte geringfügig von Profiltafeln abweichen?
Der Rechner bestimmt A, I und W direkt aus den eingegebenen Abmessungen eines idealisierten Querschnitts. Reale Walzprofile können Ausrundungsradien, Formdetails und Fertigungsabmessungen aufweisen, die in tabellierten Querschnittswerten berücksichtigt sind. Daher sind kleine Abweichungen von Katalogwerten auch bei gleichen Hauptabmessungen möglich.