Durchbiegung von Balken berechnen

Über die Berechnung der Balkendurchbiegung

Der Rechner ermittelt die Balken Durchbiegung und prüft die Biegefestigkeit eines Balkens bei gleichmäßig verteilter Linienlast (kg/m oder kN/m) oder bei einer Einzellast (kg oder kN). Die Berechnung basiert auf klassischen Formeln der Festigkeitslehre für das gewählte Lagerungssystem und die Querschnittsgeometrie.

Das Eigengewicht des Balkens wird zusätzlich berücksichtigt. Ausgegeben werden die berechnete Durchbiegung d (mm), die zulässige Durchbiegung d_lim (mm) sowie Spannungsnachweise (Normal- und Schubspannung). Für einige dünnwandige Querschnitte werden außerdem vereinfachte Nachweise für Steg und Flansch angegeben.

Orientierung und Empfehlungen

Normenbezug folgt der in Eurocodes üblichen ingenieurmäßigen Logik. Durchbiegung und Schnittgrößen werden mit linear-elastischer Theorie bestimmt. Materialhinweise und Nachweise orientieren sich an EN 1990 (Grundlagen), EN 1991 (Einwirkungen), EN 1993-1-1 (Stahl), EN 1995-1-1 (Holz).

Einheiten und Lastumrechnung verwenden die Normfallbeschleunigung g = 9.80665. Es gelten folgende Umrechnungen:

1 kN = 1000 N

1 kg ≈ 9.80665 N

Daher wird für kg/m → kN/m der Faktor 9.80665 / 1000 verwendet. Für die Rückumrechnung gilt der Faktor 1000 / 9.80665.

Material legt den Elastizitätsmodul E, die Dichte für das Eigengewicht und die Festigkeitswerte für die Nachweise fest.

• Stahl (EN 1993-1-1). Elastizitätsmodul: E = 200000 MPa. Dichte: 7850 kg/m³. Als Grenzwerte in diesem Rechner verwendete Festigkeit: S235 → 197 MPa, S275 → 231 MPa, S355 → 298 MPa, S420 → 353 MPa. Schubbeiwert: k_v = 0.58.
• Holz (EN 1995-1-1). Elastizitätsmodul: E = 10000 MPa. Dichte für Eigengewicht: 700 kg/m³. Als Grenzwerte in diesem Rechner verwendete Festigkeit: C16 → 8.62 MPa, C24 → 12.92 MPa, C30 → 16.15 MPa. Schubbeiwert: k_v = 0.10.

Eigengewicht des Balkens wird zur äußeren Last addiert. Die Linienlast aus Eigengewicht wird aus Querschnittsfläche A und Dichte ρ bestimmt:

G = ρ · A · g

wobei G die Linienlast aus Eigengewicht (N/m) ist, ρ die Dichte (kg/m³), A die Fläche (mm², wird in m² umgerechnet) und g = 9.80665. Danach wird G je nach Ausgabeeinheit in kN/m oder kg/m umgerechnet.

Querschnittswerte werden aus den eingegebenen Abmessungen berechnet. Für die weiteren Schritte werden verwendet:

• A Fläche (mm²).
• I Flächenträgheitsmoment zur Biegeachse (mm⁴).
• W Widerstandsmoment (mm³), typischerweise W = I / y, wobei y der Abstand von der Neutralachse zur Randfaser ist (mm).

Lagerungssystem beeinflusst den maximalen Biegemoment und die Durchbiegung über Koeffizienten. Für eine gleichmäßig verteilte Last q werden folgende Zahlenwerte verwendet:

• Gelenk-Gelenk: Durchbiegungskoeffizient k_f = 0.0130208333 (das ist 5/384). Momentenkoeffizient k_M = 0.125001 (≈ 1/8).
• Einspannung-Gelenk: k_f = 0.0054054054 (das ist 1/185). k_M = 0.125 (das ist 1/8).
• Einspannung-Einspannung: k_f = 0.0026041667 (das ist 1/384). k_M = 0.08333333 (das ist 1/12).
• Kragarm: k_f = 0.125 (das ist 1/8). k_M = 0.5 (das ist 1/2).

Schnittgrößen bei gleichmäßig verteilter Last werden so berechnet:

Mmax = kM · q · L²

wobei q die gesamte Linienlast (kN/m oder N/m) ist und L die Spannweite (m oder mm, wird in konsistente Einheiten umgerechnet).

Durchbiegung bei gleichmäßig verteilter Last wird so berechnet:

d = kf · q · L⁴ / (E · I)

wobei E der Elastizitätsmodul (MPa) ist, I das Flächenträgheitsmoment (mm⁴) und d nach Einheitenumrechnung in mm ausgegeben wird.

Einzellast wird mit typischen Formeln für eine mittig angreifende Kraft berechnet. Für die Durchbiegung wird der Koeffizient k_p (statt k_f) verwendet, abhängig von der Lagerung:

• Gelenk-Gelenk: k_p = 0.020833 (das ist 1/48).
• Einspannung-Gelenk: k_p = 0.00912.
• Einspannung-Einspannung: k_p = 0.0052.
• Kragarm: k_p = 0.3333333 (das ist 1/3).

Dann ergibt sich die Durchbiegung aus einer Kraft P (N oder kN) zu:

d = kp · P · L³ / (E · I)

wobei L die wirksame Länge für das gewählte System ist. Für den Kragarm wird im Grenzwertnachweis der Durchbiegung eine erhöhte Länge verwendet: L_eff = 2 · L.

Zulässige Durchbiegung wird über den Teiler n in der Regel d_lim = L_eff / n festgelegt. Der Teiler n wird automatisch nach der Länge (mm) gewählt:

• L_eff ≤ 1000: n = 120.
• 1000 < L_eff ≤ 3000: n linear von 120 bis 150.
• 3000 < L_eff ≤ 6000: n linear von 150 bis 200.
• 6000 < L_eff ≤ 24000: n linear von 200 bis 250.
• 24000 < L_eff ≤ 36000: n linear von 250 bis 300.
• L_eff > 36000: n = 300.

Diese Wahl entspricht gängiger Gebrauchstauglichkeitspraxis. Für Wohn- und öffentliche Decken wird häufig der Bereich L/200…L/300 verwendet. Für Kragarme sind die Anforderungen meist strenger, daher wird L_eff = 2·L angewendet.

Nachweis der Normalspannung vergleicht die berechnete Spannung mit dem zulässigen Wert für das gewählte Material und die Güte:

σ = Mmax / W

wobei σ die Normalspannung (MPa) ist. Kriterium: σ ≤ v, wobei v der gewählte Festigkeitswert (MPa) ist. Die Reserve wird prozentual als v/σ − 1 ausgegeben.

Nachweis der Schubspannung vergleicht die berechnete Schubspannung τ mit dem Grenzwert v · k_v:

τ ≤ v · kv

wobei für Stahl k_v = 0.58 und für Holz k_v = 0.10 gilt. Das liefert einen klaren numerischen Schubgrenzwert ohne unnötige Komplexität.

Kombinierte Spannungswirkung wird bei einigen Querschnitten über eine äquivalente Spannung abgeschätzt und mit dem Grenzwert 0.87 · v verglichen:

σeq ≤ 0.87 · v

Dieses Kriterium dient als ingenieurmäßige Kontrolle, wenn Normal- und Schubspannung gemeinsam auftreten.

Vereinfachte Steg- und Flanschnachweise für dünnwandige Elemente verwenden dimensionslose Kriterien. Für den Steg gilt der Grenzwert: λ ≤ 2.5. Für den Flansch wird das tatsächliche Verhältnis mit dem Grenzwert verglichen:

w = 0.5 · √(206000 / v)

Wenn die Bedingungen nicht erfüllt sind, lautet die praktische Empfehlung: Dicke erhöhen oder Aussteifungen vorsehen.

FAQs

Warum basieren Durchbiegung und zulässige Durchbiegung beim Kragarm auf unterschiedlichen Längen?

Bei Kragarmen sind Durchbiegungen stärker wahrnehmbar und die Gebrauchstauglichkeitsanforderungen sind oft strenger. Deshalb wird im Grenzwertnachweis der zulässigen Durchbiegung L_eff = 2·L verwendet und nicht nur die geometrische Kragarmlänge. Dadurch wird das Kriterium für die gleiche Spannweite konservativer.

Was ist in der gesamten Linienlast enthalten?

Die gesamte Linienlast q ist die Summe aus äußerer Last und Eigengewicht des Balkens. Das Eigengewicht wird aus Materialdichte und Querschnittsfläche mit g = 9.80665 berechnet. Dadurch ändern sich Durchbiegung und Spannungen auch bei gleicher äußerer Last, wenn Material oder Geometrie variieren.

Welche Festigkeitswerte werden für Stahl und Holz verwendet?

Für Stahl verwendet der Rechner feste Werte (MPa): S235 → 197, S275 → 231, S355 → 298, S420 → 353. Für Holz: C16 → 8.62, C24 → 12.92, C30 → 16.15. Diese Werte werden als Grenzwerte im Normalspannungsnachweis verwendet.

Warum ist ein Schubnachweis nötig, wenn bereits ein Biegespannungsnachweis erfolgt?

Der Biegennachweis erfasst die Spannungen in den Randfasern, aber Schub kann nahe der Auflager und in dünnen Stegen maßgebend sein. Der Nachweis τ ≤ v·k_v ergänzt daher die Kontrolle des Stegverhaltens und von Bereichen mit hoher Querkraft. Für Stahl wird k_v = 0.58 verwendet. Für Holz wird k_v = 0.10 verwendet.

Welche Durchbiegungsgrenzen werden in der Praxis häufig verwendet?

Häufig wird der Bereich L/200…L/300 verwendet, abhängig von Nutzung und Empfindlichkeit der Oberflächen. In diesem Rechner variiert der Teiler n je nach Balkenlänge von 120 bis 300 und deckt damit gängige ingenieurmäßige Zielwerte ab. Wenn strengere Anforderungen gelten, sollte der obere Bereich und die Kragarmbegrenzung angesetzt werden.