Einläufige gerade Betontreppe berechnen

Über die Berechnung einer einläufigen geraden Treppe

Der Rechner führt die geometrische Berechnung einer einläufigen geraden Betontreppe durch. Aus Treppenlänge und -höhe, Laufbreite, Stufenanzahl, Lage der obersten Stufe und Plattendicke werden Stufenmaße, Treppenneigung, Komfortkennwert und das benötigte Betonvolumen der einläufigen geraden Betontreppe berechnet.

Die Berechnung geht von einer konstanten Höhe aller Steigungen, gleicher Auftrittstiefe und einer konstanten Dicke der geneigten Treppenplatte aus. Das Betonvolumen wird aus dem tatsächlichen Längsprofil des abgestuften Treppenlaufs ohne zusätzlichen Zuschlag für Verluste bestimmt.

Orientierungswerte und Empfehlungen

Aufteilung von Treppenhöhe und Treppenlänge

Anzahl der Steigungen. Die gesamte Geschosshöhe H in mm wird durch die Anzahl der gleich hohen Steigungen geteilt. Liegt die oberste Stufe auf Höhe des oberen Geschosses, entspricht die Anzahl der Steigungen der Stufenanzahl N. Liegt die oberste Stufe unterhalb des oberen Geschossniveaus, kommt zwischen der letzten Stufe und der Geschossebene eine weitere Steigung hinzu, sodass die Anzahl der Steigungen N + 1 beträgt.

h = H / N

h = H / (N + 1)

Die erste Formel wird verwendet, wenn die oberste Stufe auf Höhe des oberen Geschosses liegt. Die zweite gilt, wenn die oberste Stufe unterhalb des oberen Geschossniveaus liegt. Der berechnete Wert h ist die Höhe einer Steigung in Millimetern.

Auftrittstiefe. Die horizontale Treppenlänge L in mm wird durch die Stufenanzahl N geteilt. Für alle Stufen wird die gleiche Auftrittstiefe angenommen.

a = L / N

Der Wert a entspricht der berechneten horizontalen Auftrittstiefe einer Stufe in Millimetern.

Treppenneigung und Komfortkennwert

Treppenneigung. Der Neigungswinkel des Treppenlaufs wird aus dem Verhältnis der Stufenhöhe h zur Auftrittstiefe a berechnet.

α = arctan(h / a)

Für die automatische Auswahl der Stufenanzahl verwendet der Rechner einen Bereich von 30-40°. Dieser Bereich dient als praktischer Orientierungswert für eine komfortable gerade Treppe.

Stufenhöhe. Bei der Bewertung möglicher Varianten wird ein Bereich von 150-200 mm verwendet. Bei ansonsten unveränderten Parametern führt eine geringere Stufenhöhe in der Regel zu einer flacheren Treppenneigung.

Auftrittstiefe. Für die automatische Auswahl wird ein Bereich von 270-320 mm verwendet. Ein größerer Auftritt vergrößert bei unveränderter Stufenanzahl die horizontale Länge des Treppenlaufs.

Komfortkennwert. Zusätzlich prüft der Rechner das häufig verwendete Verhältnis zwischen Stufenhöhe und Auftrittstiefe.

2h + a

Der Rechner verwendet einen Bereich von 600-660 mm, wobei ungefähr 630 mm als mittlerer Orientierungswert dient. Dieses Kriterium bewertet die Kombination aus Stufenhöhe und Auftrittstiefe und nicht beide Maße getrennt voneinander.

Automatische Auswahl der Stufenanzahl

Prüfung möglicher Varianten. Im automatischen Modus bewertet der Rechner eine Stufenanzahl von 1 bis 30. Für jede Variante werden die Stufenhöhe h, die Auftrittstiefe a, der Treppenwinkel α und der Komfortkennwert 2h + a neu berechnet.

Bewertung der Abweichungen. Ein Wert innerhalb seines empfohlenen Bereichs erhält eine Abweichung von null. Ein Wert außerhalb des Bereichs wird anhand des Abstands zur nächstgelegenen Grenze geteilt durch die Breite des jeweiligen Bereichs bewertet. Verwendet werden Intervalle von 50 mm für die Stufenhöhe, 50 mm für die Auftrittstiefe, 10° für den Treppenwinkel und 60 mm für den Komfortkennwert.

Q = ph2 + pa2 + pα2 + pc2

Dabei ist p die normierte Abweichung des jeweiligen Parameters von seinem empfohlenen Bereich. Durch das Quadrieren der Abweichungen werden Varianten stärker gewichtet, die einen empfohlenen Bereich deutlicher überschreiten.

Endgültige Auswahl. Zunächst wählt der Rechner die Variante mit dem niedrigsten Q-Wert. Haben zwei Varianten denselben Wert, wird diejenige mit weniger Parametern außerhalb der empfohlenen Bereiche bevorzugt. Sind auch diese Werte gleich, wird verglichen, wie nahe die Parameter an den Mittelpunkten der Bereiche liegen: 175 mm für die Stufenhöhe, 295 mm für die Auftrittstiefe, 35° für den Treppenwinkel und 630 mm für den Kennwert 2h + a.

Für die vorgegebenen verfügbaren Abmessungen sucht der automatische Modus somit nach der ausgewogensten Kombination der Treppenparameter. Wenn keine ganzzahlige Stufenanzahl gleichzeitig alle vier Bereiche erfüllt, wird die Variante mit den geringsten normierten Abweichungen ausgewählt.

Geometrie des monolithischen Treppenlaufs

Plattendicke. Die eingegebene Dicke t in mm wird über den gesamten Treppenlauf als konstant angenommen und senkrecht zur geneigten Linie der Platte gemessen. Die Unterseite der Platte verläuft parallel zur Neigungslinie der Treppe im Abstand t.

Stufenprofil. Die obere Begrenzung des Längsschnitts folgt der tatsächlichen Abfolge aus horizontalen Auftritten und vertikalen Steigungen. Die untere Begrenzung bildet die gerade geneigte Unterseite der Platte. Dadurch umfasst die Berechnung sowohl die geneigte Platte selbst als auch den zusätzlichen Beton oberhalb der Platte, der die Stufen bildet.

Querschnittsfläche. Nach der Konstruktion des Längsprofils wird die Fläche S des geschlossenen Polygons aus den Koordinaten seiner Eckpunkte in mm² berechnet.

S = 1 / 2 × |Σ(xiyi+1 - xi+1yi)|

Betonvolumen. Die Fläche des Längsschnitts wird mit der konstanten Laufbreite B in mm multipliziert. Das resultierende Volumen wird von mm³ in m³ umgerechnet.

V = S × B / 1 000 000 000

Auf das berechnete Volumen wird kein zusätzlicher Verlust- oder Reservezuschlag angewendet. Der Volumenfaktor beträgt 1.00, sodass das Ergebnis dem reinen geometrischen Betonvolumen der Treppe entspricht.

Geometrische Annahmen der Berechnung

• Alle Steigungen im Treppenlauf haben die gleiche Höhe.
• Alle berechneten Auftrittstiefen sind gleich.
• Die Laufbreite ist über die gesamte Treppe konstant.
• Die geneigte Betonplatte hat eine konstante Dicke, die senkrecht zu ihrer Oberfläche gemessen wird.
• Rechts- und linksgerichtete Ausführungen sind spiegelbildliche Varianten derselben Geometrie und verändern weder die berechneten Maße noch das Betonvolumen.

Europäische Normen und Referenzdokumente

EN 1992-1-1, Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Diese europäische Norm wird für die Bemessung von Beton- und Stahlbetonkonstruktionen zusammen mit EN 1990, Eurocode: Grundlagen der Tragwerksplanung, und dem jeweils geltenden Nationalen Anhang verwendet.

Treppenabmessungen. In den EU-Ländern werden konkrete Anforderungen an Stufenhöhe, Auftrittstiefe, Laufbreite und weitere geometrische Treppenparameter durch nationale Bauvorschriften festgelegt. Daher verwendet der Rechner die Bereiche 150-200 mm, 270-320 mm, 30-40° und 600-660 mm als praktische Kriterien für Komfort und automatische Auswahl und nicht als verbindliche Grenzwerte, die einheitlich in der gesamten EU gelten.

Berechnetes Volumen. Teilsicherheitsbeiwerte, die im Eurocode-System für statische Nachweise verwendet werden, gehen nicht in die geometrische Berechnung des Betonvolumens ein. Das Volumen wird direkt aus den Abmessungen des konstruierten Profils und der Laufbreite berechnet.

FAQs

Warum liefert die automatische Auswahl manchmal Werte außerhalb der empfohlenen Bereiche?

Bei einer vorgegebenen Geschosshöhe und verfügbaren Treppenlänge gibt es möglicherweise keine ganzzahlige Stufenanzahl, die gleichzeitig die bevorzugte Stufenhöhe, Auftrittstiefe, Treppenneigung und den Wert 2h + a erfüllt. In diesem Fall vergleicht der Rechner Varianten mit 1 bis 30 Stufen und wählt die Kombination mit der geringsten gesamten normierten Abweichung.

Wie beeinflusst die Lage der obersten Stufe die Berechnung?

Liegt die oberste Stufe auf Höhe des oberen Geschosses, entspricht die Anzahl der Steigungen der Stufenanzahl. Liegt die oberste Stufe unterhalb des oberen Geschossniveaus, kommt eine zusätzliche letzte Steigung hinzu, sodass dieselbe Gesamthöhe in N + 1 Abschnitte geteilt wird. Dadurch ändern sich die Stufenhöhe und damit auch Treppenneigung, Komfortkennwert und Betongeometrie.

Warum wird das Betonvolumen nicht einfach aus Treppenlänge, Breite und Plattendicke berechnet?

Die Plattendicke beschreibt nur die geneigte Platte unter den Stufen. Oberhalb dieser Platte befindet sich zusätzlicher Beton, der die horizontalen Auftritte und vertikalen Steigungen bildet. Deshalb berechnet der Rechner zunächst die Fläche des vollständigen abgestuften Längsschnitts und multipliziert sie anschließend mit der Laufbreite.

Sollte zum berechneten Betonvolumen eine zusätzliche Reserve addiert werden?

Das angezeigte Ergebnis ist das reine geometrische Betonvolumen mit einem Faktor von 1.00. Bei der Bestellung von Transportbeton wird häufig eine zusätzliche Reserve für tatsächliche Verluste, Maßabweichungen der Schalung und Ausführungsbedingungen berücksichtigt, diese Reserve wird jedoch separat zum berechneten Ergebnis addiert.

Welcher Parameter ist bei der Auswahl der Stufenanzahl am wichtigsten?

Der Rechner bewertet Stufenhöhe, Auftrittstiefe und Treppenwinkel nicht unabhängig voneinander. Die automatische Auswahl berücksichtigt vier Kriterien gemeinsam: 150-200 mm für die Stufenhöhe, 270-320 mm für die Auftrittstiefe, 30-40° für die Treppenneigung und 600-660 mm für das Verhältnis 2h + a. Die endgültige Stufenanzahl wird daher anhand des gemeinsamen Gleichgewichts dieser Werte bestimmt.