Calcul du flambement de poteau

Méthode de calcul du flambement du poteau

Ce calculateur de flambement de poteau permet d'évaluer la résistance, la stabilité au flambement et la capacité portante axiale des poteaux en bois, en acier et en béton armé soumis à une compression axiale. Le calcul de la charge critique de flambement tient compte des dimensions, de la longueur et des conditions d'appui. Pour les poteaux en béton armé, le calcul prend également en compte la résistance en flexion de la section transversale.

Le calcul détermine la capacité portante du poteau en kN, évalue sa résistance et sa stabilité au flambement, et identifie la direction la plus défavorable de perte de stabilité. La méthode tient compte des propriétés du matériau, de la géométrie de la section transversale, de la longueur du poteau et des conditions de liaison à ses extrémités.

Valeurs de référence et recommandations

Principes généraux du calcul des poteaux

Caractéristiques géométriques. Les dimensions de la section transversale permettent de calculer l'aire A en mm² et les moments quadratiques I_y et I_z en mm⁴. Pour les sections creuses, l'aire de la cavité intérieure est soustraite de l'aire extérieure. Les angles arrondis sont pris en compte pour les profils creux rectangulaires en acier, tandis que les axes principaux d'inertie sont déterminés pour les cornières.

Les rayons de giration par rapport aux deux axes sont calculés à partir de l'aire de la section transversale et des moments quadratiques correspondants :

iy = √(Iy / A)

iz = √(Iz / A)

Longueur de flambement. Elle tient compte de l'influence des liaisons aux extrémités sur le flambement du poteau. Elle est calculée selon la formule suivante :

Lcr = K × L

Ici, L représente la longueur réelle du poteau en mètres et K est le coefficient de longueur de flambement. Les valeurs suivantes sont utilisées :

• Articulé aux deux extrémités : K = 1.0.
• Encastrement à une extrémité et articulation à l'autre : K = 0.7.
• Encastrement aux deux extrémités : K = 0.5.
• Encastrement à une extrémité et extrémité opposée libre : K = 2.0.

Élancement géométrique. Il représente le rapport entre la longueur de flambement et le rayon de giration de la section transversale. Il est calculé séparément pour chaque direction :

λ = Lcr / i

Pour calculer l'élancement, la longueur de flambement et le rayon de giration sont tous deux exprimés en millimètres. Un élancement plus élevé augmente l'influence du flambement sur la capacité portante. Il n'existe pas de limite universelle unique d'élancement applicable à tous les matériaux et à toutes les sections transversales.

Calcul des poteaux en acier selon l'Eurocode 3

Les poteaux en acier sont calculés conformément aux dispositions de la norme EN 1993-1-1 « Eurocode 3 : Calcul des structures en acier - Règles générales et règles pour les bâtiments ».

Résistance de l'acier. La résistance de calcul est déterminée à partir de la limite d'élasticité f_y. Pour les épaisseurs d'éléments jusqu'à 16 mm, les valeurs utilisées sont de 235 MPa pour S235, 275 MPa pour S275 et 355 MPa pour S355. La limite d'élasticité diminue pour les épaisseurs supérieures. Par exemple, l'acier S355 d'une épaisseur supérieure à 16 mm et inférieure ou égale à 40 mm présente une limite d'élasticité de 345 MPa.

La section transversale est d'abord classifiée selon les rapports largeur/épaisseur ou diamètre/épaisseur de ses éléments. Les calculs sont effectués pour les sections de classes 1, 2 et 3. Aucun résultat n'est fourni pour les sections de classe 4, qui nécessitent le calcul d'une aire efficace tenant compte du voilement local.

Résistance en compression de la section transversale. Elle est déterminée en multipliant l'aire de la section transversale par la limite d'élasticité de l'acier :

Nc,Rd = A × fy

L'aire A est exprimée en mm² et la limite d'élasticité en MPa. La force obtenue est exprimée en newtons, puis convertie en kN par division par 1000. Les coefficients partiels de sécurité utilisés pour calculer la résistance sont γ_M0 = 1.0 et γ_M1 = 1.0.

Charge critique de flambement d'Euler. Pour chaque axe principal, on calcule la charge à laquelle un poteau idéal parfaitement rectiligne peut subir un flambement :

Ncr = π2 × E × I / Lcr2

Le module d'élasticité de l'acier est pris égal à E = 210000 MPa. Un moment quadratique plus faible ou une longueur de flambement plus importante réduit la charge critique de flambement.

Réduction de la capacité portante. Les courbes de flambement a, b, c et d sont utilisées pour tenir compte des imperfections initiales et des caractéristiques des profils en acier. Leurs coefficients d'imperfection α sont respectivement de 0.21, 0.34, 0.49 et 0.76.

La courbe de flambement est sélectionnée selon la forme de la section transversale, la direction de flambement et le procédé de fabrication. La courbe a est utilisée pour les profils creux finis à chaud selon EN 10210, tandis que la courbe c est utilisée pour les profils creux formés à froid selon EN 10219. Pour les profilés en I, le choix dépend également du rapport hauteur/largeur, de l'épaisseur des semelles et du procédé de fabrication.

L'élancement réduit et le coefficient de réduction au flambement χ sont calculés successivement :

λrel = √(A × fy / Ncr)

Φ = 0.5 × [1 + α(λrel - 0.2) + λrel2]

χ = 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)]

Le coefficient χ est limité à une valeur maximale de 1.0. Lorsque l'élancement réduit ne dépasse pas 0.2, la valeur χ = 1.0 est utilisée. La résistance au flambement est ensuite calculée comme suit :

Nb,Rd = χ × A × fy

Résistance au flambement par torsion. Pour les sections ouvertes, notamment les profilés en I, les profilés en U et les cornières, la possibilité d'un flambement accompagné d'une rotation de la section transversale est également évaluée. Le calcul utilise la constante de torsion J, la constante de gauchissement I_w et le module de cisaillement G = E / 2.6, soit environ 80769 MPa. La longueur de flambement en torsion est prise au moins égale à la longueur réelle du poteau.

La capacité portante finale au flambement d'un poteau en acier correspond à la plus faible résistance obtenue entre le flambement par flexion autour des axes principaux et les modes correspondants de flambement par torsion ou par flexion-torsion.

Calcul des poteaux en bois selon l'Eurocode 5

Les poteaux en bois sont calculés conformément aux dispositions de la norme EN 1995-1-1 « Eurocode 5 : Conception et calcul des structures en bois - Règles générales et règles pour les bâtiments ». Les propriétés du bois de structure reposent sur les classes de résistance définies dans la norme EN 338.

Résistance du bois à la compression. Pour les classes de résistance C16, C18, C24 et C30, la résistance caractéristique à la compression parallèle au fil f_c,0,k est respectivement de 17, 18, 21 et 23 MPa. Le module d'élasticité au cinquième percentile E_0,05 est pris égal à 5400, 6000, 7400 et 8000 MPa.

Influence des conditions de service. La résistance de calcul du bois est ajustée à l'aide du coefficient de modification k_mod, qui tient compte des conditions d'humidité et de la durée de chargement. Les valeurs suivantes sont utilisées pour les charges permanentes, de longue durée, de moyenne durée, de courte durée et instantanées :

• Classes de service 1 et 2 : 0.60, 0.70, 0.80, 0.90 et 1.10.
• Classe de service 3 : 0.50, 0.55, 0.65, 0.70 et 0.90.

La résistance de calcul à la compression est déterminée à l'aide du coefficient partiel de sécurité du matériau γ_M = 1.3 :

fc,0,d = kmod × fc,0,k / 1.3

La résistance en compression de la section transversale est le produit de l'aire par la résistance de calcul du bois à la compression :

Nc,Rd = A × fc,0,d

Flambement des poteaux en bois. L'élancement réduit est calculé pour chaque axe principal à partir de la longueur de flambement, du rayon de giration et des propriétés du bois :

λrel = Lcr / (π × i) × √(fc,0,k / E0,05)

La réduction de résistance est prise en compte par le coefficient de flambement k_c. Un coefficient d'imperfection initiale β_c = 0.2 est utilisé pour déterminer ce coefficient. Lorsque l'élancement réduit ne dépasse pas 0.3, la valeur k_c = 1.0 est utilisée. Pour des élancements supérieurs, les relations suivantes s'appliquent :

k = 0.5 × [1 + 0.2(λrel - 0.3) + λrel2]

kc = 1 / [k + √(k2 - λrel2)]

La résistance au flambement est calculée comme k_c × A × f_c,0,d. Le calcul est effectué pour les deux axes et la valeur la plus faible est retenue.

Calcul des poteaux en béton armé selon l'Eurocode 2

Les poteaux en béton armé sont évalués à l'aide d'un modèle de calcul fondé sur la norme EN 1992-1-1 « Eurocode 2 : Calcul des structures en béton - Règles générales et règles pour les bâtiments ». La vérification tient compte de la résistance du béton et des armatures, de l'excentricité initiale de la charge axiale et des effets du second ordre.

Caractéristiques de calcul des matériaux. Pour les classes de résistance du béton allant de C20/25 à C90/105, la résistance de calcul à la compression est déterminée par :

fcd = 0.85 × fck / 1.5

Ici, f_ck représente la résistance caractéristique à la compression sur cylindre du béton, exprimée en MPa. Pour les armatures longitudinales B500, avec une limite d'élasticité de 500 MPa et un coefficient partiel de sécurité de 1.15, la limite d'élasticité de calcul est :

fyd = 500 / 1.15 = 434.78 MPa

Section des armatures. Elle est calculée à partir du nombre et du diamètre des barres longitudinales. Dans les sections rectangulaires, les barres sont réparties sur le périmètre, tandis que dans les sections circulaires, elles sont disposées le long d'une circonférence. La position de leurs centres est déterminée en tenant compte de l'enrobage du béton et des armatures transversales de 8 mm.

La section minimale des armatures longitudinales est prise au moins égale à 0.2% de l'aire de la section de béton et à 10% de l'effort axial de calcul divisé par la limite d'élasticité de calcul des armatures. Le taux maximal d'armatures est limité à 4%. L'espacement entre les barres et la possibilité de les disposer dans la section indiquée sont également vérifiés.

Résistance de la section transversale. Pour les bétons jusqu'à C50/60, un diagramme contrainte-déformation parabole-rectangle est utilisé, avec une déformation de 2.0‰ à la contrainte maximale et une déformation ultime de 3.5‰. Pour les classes de résistance supérieures, les paramètres du diagramme varient en fonction de la résistance du béton. Le module d'élasticité des armatures est pris égal à 200000 MPa.

Les efforts dans le béton et dans chaque barre d'armature sont calculés à partir de la distribution des déformations. Ces efforts permettent de déterminer des couples de valeurs de l'effort axial N et de la résistance en flexion M pour chaque axe principal. On obtient ainsi un diagramme d'interaction effort normal-moment fléchissant, utilisé pour établir la charge maximale admissible.

Excentricité initiale. Même sous compression axiale, un décalage minimal de la ligne d'action de la charge par rapport au centre de la section transversale est pris en compte :

emin = max(20 mm, h / 30)

Ici, h représente la dimension de la section transversale dans la direction considérée. Pour la vérification au flambement, une imperfection initiale supplémentaire de L_cr / 400 est prise en compte. La plus grande de ces valeurs est utilisée comme excentricité initiale.

Effets du second ordre. L'augmentation du moment fléchissant provoquée par la déformation du poteau comprimé est évaluée à l'aide de la méthode de la courbure nominale. Un coefficient de fluage du béton φ = 2.0 est supposé. L'élancement limite, au-delà duquel une flexion supplémentaire est prise en compte, dépend du niveau de compression axiale, de la quantité d'armatures et du fluage.

Lorsque cela est nécessaire, l'excentricité supplémentaire est calculée à partir du carré de la longueur de flambement et de la courbure :

e2 = Lcr2 / 10 × fyd / (200000 × 0.45deff) × kr × kφ

Ici, d_eff est la hauteur utile des armatures, k_r tient compte du niveau de charge axiale et k_φ prend en compte le fluage. L'excentricité obtenue augmente le moment fléchissant de calcul.

Détermination de la capacité portante. Pour différentes valeurs de l'effort axial, le calcul vérifie si la résistance en flexion de la section transversale est au moins égale au moment produit par cet effort et son excentricité correspondante :

MRd(N) ≥ N × e(N)

L'effort axial maximal admissible est déterminé séparément pour les deux directions principales. L'excentricité initiale est prise en compte dans la vérification de résistance, tandis que la vérification au flambement intègre également les effets du second ordre. La plus faible des valeurs calculées est retenue comme résistance déterminante.

Interprétation des résultats du calcul

Taux d'utilisation de la capacité portante. Il indique le pourcentage de la résistance de calcul mobilisé par la charge axiale appliquée N_Ed. Il est calculé séparément pour la résistance de la section et la résistance au flambement :

η = NEd / NRd × 100%

Une valeur inférieure à 100% signifie que la vérification correspondante est satisfaite. À 100%, la charge de calcul est égale à la résistance calculée. Une valeur supérieure à 100% indique une capacité portante insuffisante pour la condition étudiée.

Condition déterminante. Les deux vérifications doivent être satisfaites pour que l'évaluation globale soit positive. Si la résistance de la section transversale est suffisante, mais que la résistance au flambement est insuffisante, le poteau ne satisfait pas aux critères du calcul. Pour les sections présentant des propriétés différentes selon leurs axes principaux, la direction ayant la capacité portante la plus faible détermine le résultat.

FAQs

Pourquoi un poteau satisfait-il à la vérification de résistance, mais pas à celle du flambement ?

La résistance décrit la capacité du matériau et de la section transversale à supporter une charge de compression. La résistance au flambement dépend également de la longueur du poteau, des conditions d'appui et de la rigidité de la section. Ainsi, un poteau long et relativement élancé peut flamber sous une charge nettement inférieure à la limite de résistance du matériau.

Pourquoi des poteaux ayant la même aire de section transversale présentent-ils des capacités portantes différentes ?

Une aire de section transversale identique ne signifie pas une rigidité identique. Un matériau réparti plus loin du centre de la section peut offrir un moment quadratique plus élevé et une meilleure résistance au flambement par flexion. Par conséquent, la forme de la section et la répartition du matériau influencent considérablement la capacité portante calculée du poteau.

Dans quelle mesure les conditions d'appui influencent-elles la résistance au flambement d'un poteau ?

Les conditions d'appui déterminent la longueur de flambement, qui apparaît au carré au dénominateur de la formule d'Euler pour la charge critique de flambement. Par exemple, pour une même longueur réelle, l'augmentation du coefficient K de 1.0 à 2.0 divise la charge critique idéale par 4. La résistance de calcul réelle au flambement dépend également des propriétés du matériau et de la courbe de flambement applicable.

Pourquoi l'élancement d'un poteau ne peut-il pas être évalué à partir d'une seule valeur limite ?

Un même élancement géométrique ne correspond pas à la même marge de sécurité au flambement pour l'acier, le bois et le béton armé. Chaque matériau possède des propriétés de déformation différentes et un modèle de calcul spécifique. Le calculateur utilise donc l'élancement comme caractéristique intermédiaire, tandis que l'évaluation finale repose sur le rapport entre la charge appliquée et la résistance calculée.

Pourquoi la flexion est-elle prise en compte pour les poteaux en béton armé soumis à une charge axiale ?

Même sous une compression nominalement centrée, de petites imperfections géométriques et des écarts dans la position de la charge sont pris en compte. Ils produisent un moment fléchissant qui peut augmenter à mesure que le poteau se déforme. Le flambement des poteaux en béton armé est donc évalué en tenant compte de l'excentricité et des effets du second ordre, et non uniquement des aires de béton et d'armatures.