Расчет фермы

О расчете фермы

Калькулятор выполняет расчет плоской стержневой фермы по заданной геометрии и нагрузке, определяет продольные усилия в элементах, подбирает сечения из встроенных рядов, проверяет растяжение, сжатие и устойчивость, учитывает собственный вес и оценивает прогиб. Расчет выполняется отдельно для стальных и деревянных элементов с учетом свойств выбранного материала, длины стержней и раскрепления поясов из плоскости фермы.

Ориентиры и рекомендации

Расчетная схема и распределение нагрузки

Стержневая модель. Ферма рассматривается как плоская шарнирно-стержневая система. Каждый элемент работает на продольную силу растяжения или сжатия, а его геометрическая длина принимается равной расстоянию между центрами соседних узлов. Левая опора фиксирует горизонтальное и вертикальное перемещение, правая опора фиксирует вертикальное перемещение и допускает горизонтальное.

Узловые нагрузки. Вертикальная нагрузка прикладывается к узлам верхнего пояса. Внутренний загруженный узел получает полную узловую нагрузку P, а два крайних узла верхнего пояса получают по P / 2. Благодаря этому суммарная нагрузка соответствует нагрузке на всю длину фермы.

Нагрузка на площадь. Если исходная нагрузка задана как q в кН/м² или кг/м², сначала определяется полная нагрузка на полосу крыши, приходящуюся на одну ферму:

Q = q · L · s

Здесь L - пролет фермы в метрах, s - расстояние между соседними фермами в метрах. Если верхний пояс разделен на n панелей, полная узловая нагрузка для внутренних узлов определяется как:

P = Q / n

Крайние узлы получают по P / 2. При вводе нагрузки в килограммах силы используется соотношение 1 кН = 101,9716 кгс; внутренний расчет усилий выполняется в кН.

Опорные реакции, усилия и собственный вес

Равновесие фермы. Для каждого узла составляются уравнения равновесия по горизонтальному и вертикальному направлениям. Совместное решение системы уравнений дает реакции опор и продольную силу N в каждом стержне. Положительное усилие рассматривается как растяжение, отрицательное - как сжатие.

Собственный вес. После предварительного подбора сечений вычисляется масса каждого стержня по площади сечения, его фактической длине и плотности материала. Вес переводится в силу с использованием g = 9,80665 м/с2 и поровну прикладывается к двум узлам стержня. Затем усилия и сечения пересчитываются повторно, поэтому увеличение массы профилей учитывается в следующем цикле расчета.

Подбор сечения. Для каждого нагруженного стержня калькулятор последовательно проверяет доступные размеры выбранного типа сечения и принимает первое сечение, которое удовлетворяет условиям прочности и, для сжатия, устойчивости. Стержню с практически нулевым расчетным усилием назначается сечение не меньше минимального сечения нагруженных элементов соответствующей группы и материала.

Запас прочности. После проверки определяется коэффициент использования η, где значение η = 1 соответствует расчетному пределу. Запас в процентах вычисляется как:

Запас = (1 / η - 1) · 100%

Например, η = 0,80 соответствует запасу 25%. Для ненагруженных элементов числовой запас не выводится.

Расчет стальных элементов

Модуль упругости. Для определения деформаций стали используется E = 210000 МПа. Для классов S235, S275, S355 и S420 расчетный предел текучести зависит от толщины стенки или полки профиля.

• при толщине до 16 мм включительно: S235 - 235 МПа, S275 - 275 МПа, S355 - 355 МПа, S420 - 420 МПа;
• при толщине более 16 до 40 мм: 225, 265, 345 и 400 МПа соответственно;
• при толщине более 40 мм: 215, 255, 335 и 390 МПа соответственно.

Растяжение. Для растянутого стержня коэффициент использования определяется по отношению продольной силы к несущей способности полного сечения:

η = N / (A · fy)

Здесь N задается в Н, A - площадь сечения в мм², f_y - предел текучести в МПа. Условие выполняется при η ≤ 1.

Сжатие и общая устойчивость. Сначала вычисляется гибкость в двух направлениях:

λ = Leff / i

Для каждого направления безразмерная гибкость определяется как:

λrel = λ / π · √(fy / E)

Коэффициент несовершенства принимается равным α = 0,49 для квадратных и прямоугольных профильных труб и круглых труб, и α = 0,76 для одиночных уголков и швеллеров. Коэффициент устойчивости вычисляется последовательно:

Φ = 0,5 · [1 + α · (λrel - 0,2) + λrel2]

χ = min(1; 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)])

Расчет выполняется в обоих направлениях, после чего используется меньшее значение χ. Проверка сжатого элемента имеет вид:

η = N / (χ · A · fy) ≤ 1

Местная устойчивость стальных сечений. Перед проверкой общего изгибного выпучивания для сжатых элементов контролируются отношения ширины или диаметра к толщине. Используется ε = √(235 / fy). Для квадратных и прямоугольных труб принимается условие (max(h,b) - 2t) / t ≤ 42ε, для круглых труб D / t ≤ 90ε2, для уголков a / t ≤ 14ε. Для швеллеров стенка проверяется по пределу 42ε, а выступ полки - по пределу 14ε.

Расчет деревянных элементов

Расчетные свойства древесины. В калькуляторе используются классы C16, C24 и C30. Для них приняты следующие значения продольной прочности, модуля упругости и средней плотности:

• C16: f_t = 10 МПа, f_c = 17 МПа, E_0,05 = 5400 МПа, E_mean = 8000 МПа, плотность 370 кг/м³;
• C24: f_t = 14,5 МПа, f_c = 21 МПа, E_0,05 = 7400 МПа, E_mean = 11000 МПа, плотность 420 кг/м³;
• C30: f_t = 18 МПа, f_c = 23 МПа, E_0,05 = 8000 МПа, E_mean = 12000 МПа, плотность 460 кг/м³.

Коэффициенты древесины. Для проверки прочности используется коэффициент модификации kmod = 0,60 и коэффициент материала γM = 1,30. Таким образом, базовая расчетная прочность получается умножением характеристической прочности на 0,60 / 1,30.

Растяжение древесины. Для элементов с максимальным размером поперечного сечения h менее 150 мм дополнительно используется коэффициент размера:

kh = min[(150 / h)0,2; 1,30]

При h не менее 150 мм принимается kh = 1. Проверка растянутого элемента выполняется по зависимости:

η = N / [A · ft · kmod · kh / γM]

Сжатие древесины. Для каждого направления сначала определяется геометрическая гибкость λ, затем относительная гибкость:

λrel = λ / π · √(fc / E0,05)

При λrel ≤ 0,30 принимается kc = 1. При большей гибкости используется:

Φ = 0,5 · [1 + 0,20 · (λrel - 0,30) + λrel2]

kc = min(1; 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)])

Из двух направлений принимается меньшее значение k_c. Итоговая проверка сжатого деревянного стержня:

η = N / [kc · A · fc · kmod / γM] ≤ 1

Раскрепление и расчетная длина

В плоскости фермы. Расчетная длина для проверки гибкости принимается равной полной геометрической длине стержня между соседними узлами. Поэтому деление пояса узлами фермы одновременно делит его на отдельные расчетные элементы в плоскости.

Из плоскости фермы. Для верхнего и нижнего поясов расчетная длина определяется раскреплением. При заданном шаге раскрепления введенное значение в миллиметрах непосредственно используется как L_y,eff. При выборе конкретных раскрепленных узлов калькулятор находит наибольшее расстояние между соседними точками боковой фиксации соответствующего пояса. Для элементов решетки расчетная длина из плоскости принимается равной полной длине самого стержня.

Ориентация прямоугольного сечения. Для прямоугольных профильных труб и деревянных прямоугольных элементов больший размер сечения принимается расположенным в плоскости фермы, меньший - из плоскости. Поэтому устойчивость из плоскости может оказаться определяющей даже при небольшой гибкости в плоскости.

Практический ориентир. Точкой раскрепления считается только такой элемент или узел связи, который действительно препятствует боковому перемещению пояса. Верхний пояс часто раскрепляют прогонами, обрешеткой или системой связей, нижний пояс - связями между фермами или элементами, обеспечивающими фактическую боковую фиксацию.

Расчет прогиба и подбор по жесткости

Упругий прогиб. После подбора сечений калькулятор формирует матрицу жесткости всей фермы. Продольная жесткость каждого стержня определяется величиной E · A / L. По этой модели вычисляются горизонтальные и вертикальные перемещения всех узлов, а расчетным прогибом принимается наибольшее по абсолютной величине вертикальное перемещение.

Модуль упругости. Для стали в расчете прогиба используется E = 210000 МПа. Для древесины используются средние модули E_mean: 8000 МПа для C16, 11000 МПа для C24 и 12000 МПа для C30.

Поправка на реальную податливость. Чистая шарнирно-стержневая модель учитывает только осевые деформации элементов и обычно дает меньший прогиб, чем реальная конструкция. Поэтому полученный упругий прогиб умножается на внутренний поправочный коэффициент 1,15 для стальной фермы и 1,50 для деревянной. Эти коэффициенты являются консервативным допущением калькулятора и не являются нормативными коэффициентами Eurocode.

Предельный прогиб. Выбранная жесткость задает максимально допустимое значение:

flim = L / 200, L / 250 или L / 300

Чем больше знаменатель, тем меньше допустимый прогиб. В калькуляторе L/200 используется как обычный уровень жесткости, L/250 - как повышенный, L/300 - как более жесткий.

Автоматическое увеличение сечений. Если после проверки прочности и устойчивости прогиб превышает выбранный предел, калькулятор увеличивает целевую площадь сечений нагруженных элементов. На одном цикле используется коэффициент:

kA = min[2,50; max(1,05; 1,02 · f / flim)]

После увеличения сечений заново пересчитываются собственный вес, усилия, прочность, устойчивость и прогиб. Выполняется до 12 циклов. При выборе следующего сечения оно дополнительно должно проходить проверку прочности и устойчивости.

Масса и нормативная основа

Масса фермы. Для каждого стержня используется зависимость m = A · L · ρ, где A переводится в м², L - длина стержня в метрах, ρ - плотность в кг/м³. Для стали принимается 7850 кг/м³, для древесины - 370, 420 или 460 кг/м³ в зависимости от класса C16, C24 или C30. Итоговая масса является суммой масс расчетных стержней.

Европейские нормативы. Логика расчета связана с принципами EN 1990 «Еврокод. Основы проектирования конструкций» и EN 1991 «Еврокод 1. Воздействия на конструкции». Проверки стальных элементов основаны на подходах EN 1993-1-1 «Еврокод 3. Проектирование стальных конструкций. Часть 1-1: Общие правила и правила для зданий». Для деревянных элементов используются подходы EN 1995-1-1 «Еврокод 5. Проектирование деревянных конструкций. Часть 1-1: Общие положения. Общие правила и правила для зданий», а классы прочности C16, C24 и C30 соответствуют системе EN 338 «Древесина конструкционная. Классы прочности».

FAQs

Почему уменьшение шага раскрепления может заметно уменьшить требуемое сечение?

Шаг раскрепления определяет расчетную длину пояса из плоскости фермы. При меньшей длине уменьшается гибкость, возрастает коэффициент устойчивости и сжатый элемент может выдержать ту же продольную силу при меньшем сечении. Эффект особенно заметен у прямоугольных профилей с небольшой жесткостью относительно слабой оси.

Почему в столбце «Устойчивость» у некоторых стержней стоит прочерк?

Потеря устойчивости рассматривается для сжатых элементов. Растянутый стержень проверяется по растяжению полного сечения, поэтому для него выводится прочерк. Для сжатого элемента результат OK означает выполнение принятой проверки устойчивости, NO - невыполнение.

Почему увеличение класса стали или древесины не всегда сильно уменьшает сечение?

Итоговый размер определяется не только прочностью материала. Для сжатого стержня часто определяющими становятся гибкость и устойчивость, а для всей фермы дополнительно может определять прогиб. Поэтому более высокая прочность материала не всегда позволяет перейти к следующему меньшему типоразмеру.

Чем запас прочности отличается от коэффициента запаса?

Показанный процент рассчитывается из фактического коэффициента использования уже выбранного сечения. Например, использование 80% дает запас 25% по принятой расчетной проверке. Это расчетный остаток несущей способности выбранного элемента, а не отдельный постоянный коэффициент, заранее прибавляемый к нагрузке.

Почему расчетный прогиб фермы может быть значительно меньше L/250?

Ферма работает главным образом за счет продольного растяжения и сжатия стержней, поэтому при достаточной высоте конструкции ее упругий прогиб может быть небольшим. Калькулятор дополнительно увеличивает идеализированный прогиб в 1,15 раза для стали и в 1,50 раза для древесины, а при превышении выбранного предела автоматически увеличивает сечения и выполняет расчет повторно.