Расчет стропильной системы

О расчете стропильной системы

Калькулятор рассчитывает геометрию стропильной ноги, снеговую, ветровую и постоянную нагрузки, линейную нагрузку, изгибающий момент, прогиб и необходимое прямоугольное сечение деревянной стропилины. Расчёт выполняется для стропилины с одним консольным свесом и двумя опорами.

При подборе сечения одновременно проверяются прочность на изгиб и жёсткость по прогибу. Для нагрузок используются сочетания постоянного, снегового и ветрового воздействий, а свойства древесины принимаются по выбранному классу прочности C16, C24 или C30.

Ориентиры и рекомендации

Геометрия ската

Угол крыши. Горизонтальное расстояние B измеряется между осями опор. Высота H представляет перепад по вертикали между уровнями опирания стропилины. Если задана высота, угол наклона α определяется из прямоугольного треугольника:

α = arctan(H / B)

Если вместо высоты задан угол, высота крыши вычисляется обратным способом:

H = B · tan(α)

Пролёт и свес. Длина стропилины между опорами и длина консольного свеса определяются отдельно. Горизонтальный свес S не влияет на угол крыши.

Ls = B / cos(α)

Lo = S / cos(α)

Геометрическая длина по скату равна сумме этих участков:

Lg = Ls + Lo

Длина заготовки стропилины. В результатах учитывается не только геометрическая длина по скату, но и дополнительная длина, необходимая для вертикальных торцевых срезов. После определения высоты сечения h итоговая длина рассчитывается как:

L = Lg + h · tan(α)

Добавка h · tan(α) учитывает суммарную разницу длин верхней и нижней граней при двух вертикальных торцевых срезах.

Снеговая нагрузка

Характеристическая снеговая нагрузка. Исходное значение S_g,k принимается для грунта по национальным нормативным данным для местоположения объекта. Калькулятор переводит её в характеристическую снеговую нагрузку на скат с помощью коэффициента формы μ. Коэффициенты экспозиции и температуры в расчётной модели приняты равными 1.0.

Sr,k = μ · Sg,k

Коэффициент формы зависит от угла крыши:

• при α ≤ 30°: μ = 0.8
• при 30° < α < 60°: μ = 0.8 · (60 − α) / 30
• при α ≥ 60°: μ = 0

Такая зависимость соответствует схеме равномерной снеговой нагрузки для скатной крыши: до 30° коэффициент остаётся постоянным, затем линейно уменьшается до нуля при 60°.

Постоянная и ветровая нагрузки

Постоянная нагрузка. Характеристическая постоянная нагрузка G_k складывается из массы выбранного кровельного покрытия и дополнительной нагрузки от остальных постоянных слоёв крыши.

Gk = Groof + Gadd

Ветровая нагрузка. Заданная характеристическая ветровая нагрузка W_k используется в расчётной модели как нагрузка, действующая нормально к плоскости ската. Значение принимается по национальным нормативным данным для объекта.

Расчётные коэффициенты. Для предельного состояния по прочности калькулятор использует коэффициент 1.35 для постоянной нагрузки и 1.50 для переменных снеговой и ветровой нагрузок:

Gd = 1.35 · Gk

Sd = 1.50 · Sr,k

Wd = 1.50 · Wk

Сочетания нагрузок

Расчёт по наиболее неблагоприятному сочетанию. Снег и ветер не складываются как две одновременно действующие максимальные нагрузки. Калькулятор проверяет два сочетания: снег как ведущее переменное воздействие и ветер как ведущее переменное воздействие. Для сопутствующего ветра используется коэффициент ψW = 0.60, для сопутствующего снега ψS = 0.70.

Для сочетания с ведущей снеговой нагрузкой:

pS = 1.35 · Gk · cos(α) + 1.50 · Sr,k · cos2(α) + 1.50 · 0.60 · Wk

Для сочетания с ведущей ветровой нагрузкой:

pW = 1.35 · Gk · cos(α) + 1.50 · Wk + 1.50 · 0.70 · Sr,k · cos2(α)

В дальнейший расчёт прочности передаётся большее значение:

pULS = max(pS, pW)

Проекция нагрузок. Постоянная нагрузка от собственного веса действует вертикально и для изгиба стропилины преобразуется множителем cos(α). Снеговая нагрузка задаётся на горизонтальную проекцию крыши, поэтому при переходе к нагрузке, изгибающей наклонную стропилину, используется cos2(α). Ветровая нагрузка в принятой модели уже рассматривается как нормальная к скату.

Линейная нагрузка и нагрузка на стропилину

Линейная нагрузка. Площадная расчётная нагрузка преобразуется в равномерную линейную нагрузку через шаг стропил D. Если p_ULS выражено в кН/м², а D в мм:

q = pULS · D / 1000

Результат q получается в кН/м. Для пересчёта единиц калькулятор использует соотношение 1 кН/м² ≈ 101.97 кг/м².

Площадь, приходящаяся на одну стропилину. Для справочного значения общей нагрузки используется геометрическая длина ската без добавки на торцевые срезы:

A = Lg · D / 1 000 000

Здесь L_g и D задаются в миллиметрах, а площадь A получается в м².

Изгибающий момент

Расчётная схема. Стропилина рассматривается как балка на двух опорах с консольным свесом слева и равномерно распределённой нагрузкой по всей длине. Для расчёта используются наклонный пролёт L_s и наклонная длина свеса L_o.

Положительный изгибающий момент в пролёте определяется с учётом влияния консольного свеса:

Ms = q · (Ls2 − Lo2)2 / (8 · Ls2)

Эта величина используется при Lo < Ls. Для консольного участка момент у опоры равен:

Mo = q · Lo2 / 2

Для подбора сечения принимается большее по величине значение:

M = max(Ms, Mo)

Прочность древесины и подбор сечения

Расчётная прочность на изгиб. Для классов древесины C16, C24 и C30 характеристическая прочность на изгиб принимается соответственно 16, 24 и 30 Н/мм². В калькуляторе применяется коэффициент модификации kmod = 0.70 и коэффициент материала γM = 1.30.

fm,d = kmod · fm,k / γM

• C16: fm,d = 8.62 Н/мм²
• C24: fm,d = 12.92 Н/мм²
• C30: fm,d = 16.15 Н/мм²

Требуемый момент сопротивления определяется по максимальному изгибающему моменту:

Wreq = M / fm,d

Для прямоугольного сечения:

W = b · h2 / 6

Если задано отношение r = h/b, минимальная высота по условию прочности рассчитывается как:

h = (6 · Wreq · r)1/3

Если ширина b задана непосредственно:

h = (6 · Wreq / b)1/2

Проверка прогиба

Модуль упругости. Для расчёта прогиба используются средние модули упругости: 8000 Н/мм² для C16, 11000 Н/мм² для C24 и 12000 Н/мм² для C30.

Сочетание для прогиба. Для проверки жёсткости коэффициенты 1.35 и 1.50 не применяются. Проверяются два сочетания эксплуатационных нагрузок:

pSLS,S = Gk · cos(α) + Sr,k · cos2(α) + 0.60 · Wk

pSLS,W = Gk · cos(α) + Wk + 0.70 · Sr,k · cos2(α)

pSLS = max(pSLS,S, pSLS,W)

Допустимый прогиб. Ограничение определяется по наклонному пролёту между опорами. При выбранном коэффициенте k, равном 200, 250 или 300:

flim = Ls / k

Чем больше знаменатель, тем строже требование к жёсткости.

Фактический прогиб. Момент инерции прямоугольного сечения определяется по формуле:

I = b · h3 / 12

Прогиб рассчитывается по всей длине пролёта с учётом равномерной нагрузки на консольный свес. Для координаты x от левой опоры используется зависимость:

f(x) = q / (24 · E · I) · [−6 · Lo2 · x2 + 2 · (Ls2 + Lo2) · x3 / Ls − x4 − Ls · (Ls2 − 4 · Lo2) · x]

Максимальный абсолютный прогиб определяется численно по пролёту с шагом Ls / 1000. После предварительного подбора сечения фактический прогиб пересчитывается. Если он превышает допустимый, высота h увеличивается по 1 мм до выполнения условия f ≤ flim.

Как выбирается итоговое сечение

Два независимых условия. Сечение должно одновременно выдерживать изгибающий момент и удовлетворять ограничению прогиба. Предварительно определяется минимальная высота по прочности и минимальная высота по жёсткости, после чего принимается большее значение.

При заданном отношении h/b ширина рассчитывается из этого отношения и округляется вверх вместе с высотой. При заданной ширине она сохраняется, а высота увеличивается до выполнения обоих условий. Размеры итогового сечения округляются вверх до целых миллиметров.

Практические ориентиры

Шаг стропил. В малоэтажных крышах часто используют шаг около 600-900 мм, однако фактическое значение зависит от пролёта, нагрузок, кровельного пирога и выбранного сечения.

Пропорции сечения. Для прямоугольных деревянных стропил распространены отношения h/b примерно от 1.5 до 3. Увеличение высоты обычно значительно эффективнее увеличения ширины при ограничении по прогибу, поскольку момент инерции зависит от h³.

Климатические нагрузки. Характеристические значения снеговой нагрузки на грунт и ветровой нагрузки следует принимать для конкретного местоположения по национальным нормативным данным и Национальным приложениям к Еврокодам.

Европейские нормы

Расчётная схема и обозначения связаны с европейским подходом к расчёту конструкций. Для сочетаний воздействий применяется EN 1990 «Еврокод. Основы проектирования конструкций». Снеговые воздействия рассматриваются в EN 1991-1-3 «Еврокод 1. Воздействия на конструкции. Часть 1-3: Общие воздействия. Снеговые нагрузки», ветровые воздействия в EN 1991-1-4 «Еврокод 1. Воздействия на конструкции. Часть 1-4: Общие воздействия. Ветровые воздействия».

Классы прочности C16, C24 и C30 связаны с EN 338 «Конструкционная древесина. Классы прочности». Расчётные свойства деревянного элемента и проверка прочности и жёсткости связаны с EN 1995-1-1 «Еврокод 5. Проектирование деревянных конструкций. Часть 1-1: Общие правила и правила для зданий». Национальные приложения могут устанавливать отличающиеся климатические данные и отдельные национально определяемые параметры.

FAQs

Почему свес S не влияет на угол крыши?

Угол ската определяется треугольником между двумя опорами, поэтому его задают горизонтальный пролёт B и высота H. Свес S является продолжением уже сформированного наклонного стропила за левую опору. Изменение свеса увеличивает длину стропильной ноги и консольный момент, но не изменяет угол крыши.

Почему длина стропильной ноги больше геометрической длины ската?

Геометрическая длина определяется по пролёту и свесу вдоль линии ската. После подбора высоты сечения калькулятор дополнительно учитывает вертикальные торцевые срезы, для которых требуется добавка h · tan(α). Поэтому необходимая длина заготовки зависит не только от размеров крыши, но и от рассчитанной высоты стропилины.

Почему общая расчётная нагрузка не равна простой сумме снеговой, ветровой и постоянной нагрузок?

Снег и ветер являются переменными воздействиями, поэтому калькулятор проверяет отдельные сочетания с ведущим снегом и ведущим ветром. Сопутствующее воздействие уменьшается коэффициентом ψ, а вертикальные нагрузки дополнительно преобразуются с учётом угла ската. Для расчёта стропил выбирается более неблагоприятное из двух сочетаний.

Как уклон крыши влияет на необходимое сечение стропил?

С ростом угла меняется длина пролёта по скату и преобразование постоянной и снеговой нагрузок. После 30° также начинает уменьшаться коэффициент формы снеговой нагрузки μ, а при 60° он в принятой расчётной схеме становится равным нулю. Поэтому изменение угла может одновременно влиять на нагрузку, изгибающий момент и прогиб.

Почему для C16, C24 и C30 получается разное сечение?

Классы древесины имеют разную характеристическую прочность на изгиб и разные модули упругости. Более высокая прочность уменьшает требуемый момент сопротивления, а более высокий модуль упругости уменьшает прогиб при одинаковом сечении. Итоговый размер всё равно определяется тем условием, которое требует большего сечения: прочностью или жёсткостью.