Расчет стропильной системы

О расчете стропильной системы

Калькулятор выполняет расчёт деревянной стропильной ноги с двумя опорами и консольным свесом. Определяются длина стропила, нагрузки, изгибающий момент, поперечная сила, прогиб и минимальное прямоугольное сечение древесины классов C16, C24 или C30.

При подборе сечения одновременно проверяются прочность на изгиб, прочность на сдвиг и конечный прогиб. В расчёт входят постоянная нагрузка кровли, собственный вес стропила, снег, ветер и отдельная сосредоточенная нагрузка от обслуживания крыши.

Ориентиры и рекомендации

Геометрия стропильной ноги

Угол ската. Горизонтальное расстояние B задаётся между опорами, а H является вертикальным перепадом между ними. Если известна высота, угол ската определяется как:

α = arctan(H / B)

Если задан угол α, высота определяется обратной зависимостью:

H = B · tan(α)

Пролёт и свес. Горизонтальный свес S не изменяет угол ската. Длина участка между опорами L_s и длина консольного свеса L_o измеряются вдоль стропила:

Ls = B / cos(α)

Lo = S / cos(α)

Длина заготовки. После определения высоты сечения h калькулятор учитывает дополнительную длину, необходимую для вертикальных торцевых срезов. Итоговая длина стропильной ноги определяется по формуле:

L = Ls + Lo + h · tan(α)

Постоянная нагрузка и собственный вес

Постоянная нагрузка. В неё входят масса выбранного кровельного покрытия, дополнительная постоянная нагрузка от остальных слоёв крыши и собственный вес стропила. Дополнительная нагрузка может включать обрешётку, контробрешётку, утеплитель, подшивку и другие постоянно закреплённые элементы.

Собственный вес стропила. Он рассчитывается автоматически для каждого проверяемого сечения. Используются плотности древесины 370 кг/м³ для C16, 420 кг/м³ для C24 и 460 кг/м³ для C30.

При ширине сечения b, высоте h и шаге стропил D, заданных в мм, собственный вес в пересчёте на площадь крыши определяется как:

gself = ρ · b · h / (1000 · D)

Поскольку собственный вес зависит от сечения, он пересчитывается при каждой проверке нового размера и участвует в подборе сечения.

Снеговая нагрузка

Снег на грунте. Исходное значение принимается как характеристическая снеговая нагрузка для местоположения здания. Калькулятор преобразует её в нагрузку на скат с помощью коэффициента формы μ.

• при α ≤ 30° используется μ = 0.8
• при 30° < α < 60° используется μ = 0.8 · (60 - α) / 30
• при α ≥ 60° используется μ = 0

Характеристическая снеговая нагрузка на скат определяется как:

Sk = μ · Sg,k

Коэффициент сочетания. Для снега используется задаваемый коэффициент ψ_0,S. Распространённое значение составляет 0.5. Для Финляндии, Исландии, Норвегии и Швеции, а также для других стран CEN на высотах более 1000 м применяется значение 0.7, если Национальное приложение не устанавливает другое значение.

Ветровая нагрузка

Давление на скат. В расчёт вводится характеристическое ветровое давление, уже определённое для рассматриваемой поверхности крыши с учётом высоты здания, местности и аэродинамических коэффициентов. Положительное значение соответствует давлению на скат, отрицательное значение соответствует ветровому отсосу.

Ветровое давление считается действующим нормально к поверхности ската. Поэтому дополнительное преобразование через угол крыши для него не выполняется.

Переход от площадной нагрузки к нагрузке на стропило

Шаг стропил. Площадные нагрузки преобразуются в линейные через шаг D. Вертикальные постоянные нагрузки дополнительно умножаются на cos(α), а снеговая нагрузка на горизонтальную проекцию при переходе к нормальной нагрузке на наклонное стропило получает множитель cos2(α).

Если нагрузки заданы в кг/м², для перехода к силовым единицам используется ускорение свободного падения g = 9.81 м/с². Соотношение единиц принимается как 1 кН/м² ≈ 101.97 кг/м².

Характеристические линейные нагрузки на стропило определяются по зависимостям:

qG = Gk · g · D · cos(α) / 106

qS = Sk · g · D · cos2(α) / 106

qW = Wk · g · D / 106

При размерах в мм полученное числовое значение выражается в Н/мм, что численно соответствует кН/м.

Сочетания нагрузок по прочности

Коэффициенты надёжности. Для неблагоприятной постоянной нагрузки используется коэффициент γG = 1.35, для снеговой, ветровой и сосредоточенной переменной нагрузки используется γQ = 1.50.

При положительном ветровом давлении проверяются следующие распределённые сочетания:

• 1.35 · qG
• 1.35 · qG + 1.50 · qS
• 1.35 · qG + 1.50 · qW
• 1.35 · qG + 1.50 · qS + 1.50 · 0.60 · qW
• 1.35 · qG + 1.50 · qW + 1.50 · ψ0,S · qS

Коэффициент сочетания сопутствующего ветра принят равным ψ0,W = 0.60. Для сопутствующего снега используется заданное значение ψ_0,S.

Ветровой отсос. Если ветровая нагрузка отрицательная, калькулятор отдельно проверяет сочетание:

qG + 1.50 · qW

В этом случае собственный вес и остальные постоянные нагрузки противодействуют подъёмному действию ветра и поэтому учитываются без повышающего коэффициента 1.35.

Сосредоточенная нагрузка

Нагрузка от обслуживания. Вертикальная сосредоточенная нагрузка проверяется отдельно от снега и ветра. Для крыш категории H в EN 1991-1-1 рекомендуемое характеристическое значение составляет 1.0 кН, если Национальное приложение не устанавливает другое значение.

Вертикальная сила преобразуется в составляющую, изгибающую наклонное стропило:

P = Pk · cos(α)

Для расчёта прочности используется сочетание постоянной и сосредоточенной нагрузки с коэффициентами 1.35 и 1.50. Положение силы проверяется по длине стропила, а для расчёта принимается наиболее неблагоприятный изгибающий момент и поперечная сила.

Изгибающий момент и консольный свес

Расчётная схема. Стропильная нога рассматривается как балка на двух опорах с одним консольным свесом. Равномерная нагрузка действует как на пролёт между опорами, так и на свес.

Для пролёта длиной L_s и свеса L_o положительный момент в пролёте определяется как:

Mspan = q · (Ls2 - Lo2)2 / (8 · Ls2)

Отрицательный момент у опоры от загруженного свеса определяется как:

Moverhang = q · Lo2 / 2

Для проверки сечения используется больший по абсолютной величине момент. Аналогично определяется максимальная поперечная сила в характерных сечениях у опор и на консольном участке.

Свойства древесины и расчётная прочность

Классы древесины. Для C16, C24 и C30 используются следующие характеристики:

• C16: fm,k = 16 Н/мм², fv,k = 3.2 Н/мм², E = 8000 Н/мм²
• C24: fm,k = 24 Н/мм², fv,k = 4.0 Н/мм², E = 11000 Н/мм²
• C30: fm,k = 30 Н/мм², fv,k = 4.0 Н/мм², E = 12000 Н/мм²

Условия эксплуатации. Для стропил принят класс эксплуатации 2. Коэффициент материала принимается равным γM = 1.30.

Коэффициент модификации k_mod зависит от рассматриваемого случая нагрузки. В расчёте используются значения 0.60 для постоянной нагрузки, 0.80 для снеговой нагрузки, 0.90 для сосредоточенной нагрузки от обслуживания и 1.10 для сочетаний с ветровым воздействием.

Расчётная прочность древесины определяется как:

fd = kmod · fk / γM

Проверка изгиба и сдвига

Изгиб. Для прямоугольного сечения шириной b и высотой h момент сопротивления равен:

W = b · h2 / 6

Расчётное напряжение определяется как σm = M / W и сравнивается с расчётной прочностью на изгиб f_m,d.

Сдвиг. Для прямоугольного сечения расчётное касательное напряжение определяется по максимальной поперечной силе V:

τ = 1.5 · V / (kcr · b · h)

Для эффективной площади при проверке сдвига используется коэффициент kcr = 0.67. Полученное напряжение сравнивается с расчётной прочностью на сдвиг f_v,d.

Прогиб и длительная деформация древесины

Момент инерции. Жёсткость прямоугольного сечения определяется моментом инерции:

I = b · h3 / 12

Прогиб рассчитывается по упругой линии балки с двумя опорами и консольным свесом. Для каждого сочетания определяется максимальный абсолютный прогиб по пролёту.

Длительная деформация. Для класса эксплуатации 2 используется коэффициент ползучести kdef = 0.80. Постоянная составляющая нагрузки в конечном прогибе поэтому учитывается с множителем 1 + kdef = 1.80.

Для снеговой составляющей калькулятор использует коэффициент ψ_2,S, равный 0 при ψ0,S < 0.65 и 0.20 при ψ0,S ≥ 0.65.

Для сочетания, определяемого снегом, конечная нагрузка для проверки прогиба формируется как:

qfin,S = qG · (1 + kdef) + qS · (1 + ψ2,S · kdef) + 0.60 · qW

Последний член используется только при положительном ветровом давлении.

Для сочетания, определяемого положительным ветром, используется:

qfin,W = qG · (1 + kdef) + qW + qS · (ψ0,S + ψ2,S · kdef)

При ветровом отсосе проверяется сочетание постоянной нагрузки с отрицательной ветровой нагрузкой. Для сосредоточенной нагрузки отдельно проверяется конечный прогиб от постоянной нагрузки и наиболее неблагоприятного положения силы обслуживания.

Допустимый прогиб. Ограничение задаётся относительно длины пролёта между опорами:

flim = Ls / n

В калькуляторе предусмотрены значения n = 200, 250 и 300. Чем больше знаменатель, тем меньше допустимый прогиб и тем более жёсткое сечение требуется.

Подбор итогового сечения

Три условия. Сечение считается достаточным только при одновременном выполнении трёх требований: использование по изгибу не более 100 %, использование по сдвигу не более 100 % и использование по прогибу не более 100 %.

Использование показывает отношение расчётного воздействия к допустимому значению. Например, значение 85 % означает, что по соответствующей проверке используется около 85 % расчётной несущей способности или допустимого прогиба.

Автоматический подбор. Начальное сечение подбирается с отношением высоты к ширине примерно h : b = 2 : 1. Размеры увеличиваются до выполнения всех проверок, после чего принимается минимальное проходящее сечение с округлением размеров вверх до целых миллиметров.

Если один из размеров сечения изменяется, второй размер определяется как минимальный, при котором снова выполняются условия по изгибу, сдвигу и прогибу. Поэтому итоговое соотношение h/b после ручной корректировки не обязано оставаться равным 2.

Определяющая проверка. Калькулятор сравнивает использование по изгибу, сдвигу и прогибу. Проверка с наибольшим процентом использования считается определяющей. Одновременно указывается сочетание нагрузок, при котором возникло это максимальное использование.

Европейские нормы

Сочетания воздействий. Общие принципы сочетания постоянных и переменных воздействий связаны с EN 1990 «Еврокод. Основы проектирования конструкций».

Эксплуатационная нагрузка. Сосредоточенная нагрузка на крышу связана с EN 1991-1-1 «Еврокод 1. Воздействия на конструкции. Часть 1-1: Общие воздействия. Удельный вес, собственный вес и эксплуатационные нагрузки на здания».

Снег. Снеговые воздействия рассматриваются в EN 1991-1-3 «Еврокод 1. Воздействия на конструкции. Часть 1-3: Общие воздействия. Снеговые нагрузки».

Ветер. Ветровые воздействия рассматриваются в EN 1991-1-4 «Еврокод 1. Воздействия на конструкции. Часть 1-4: Общие воздействия. Ветровые воздействия».

Древесина. Классы C16, C24 и C30 связаны с EN 338 «Конструкционная древесина. Классы прочности». Проверки деревянного элемента выполняются по принципам EN 1995-1-1 «Еврокод 5. Проектирование деревянных конструкций. Часть 1-1: Общие правила и правила для зданий».

Климатические значения и отдельные коэффициенты могут уточняться Национальными приложениями страны строительства. Для проектного расчёта следует использовать параметры, установленные действующим Национальным приложением.

FAQs

Почему сечение стропила часто определяется прогибом, а не прочностью?

Высокая деревянная стропильная нога может иметь достаточную прочность на изгиб задолго до того, как будет выполнено требование по жёсткости. Прогиб особенно важен при больших пролётах, потому что момент инерции зависит от высоты сечения в третьей степени, а величина деформации быстро растёт с увеличением пролёта.

Почему уменьшение шага стропил позволяет уменьшить их сечение?

Площадная нагрузка распределяется между соседними стропилами. При меньшем шаге D на каждую стропильную ногу приходится меньшая полоса крыши, поэтому уменьшаются линейная нагрузка, изгибающий момент и прогиб. Итоговое сечение при этом может стать меньше.

Как учитывать отрицательную ветровую нагрузку?

Отрицательное значение означает отсос от поверхности крыши. Калькулятор сохраняет знак ветрового давления и проверяет подъёмное действие отдельно, учитывая постоянный вес крыши и стропила как воздействие противоположного направления. Поэтому отрицательный ветер не следует вводить как положительное значение по модулю.

Почему длина стропильной ноги больше простой длины ската?

Геометрическая длина ската равна сумме наклонного пролёта и наклонного свеса. Итоговая длина заготовки дополнительно учитывает высоту рассчитанного сечения и вертикальные торцевые срезы через добавку h · tan(α). Поэтому изменение высоты стропила может немного изменить требуемую длину заготовки.

Почему рассчитанное сечение может не совпадать со стандартным размером пиломатериала?

Калькулятор определяет минимальное расчётное прямоугольное сечение и округляет размеры до целых миллиметров, а не до торгового сортамента конкретной страны. Полученный размер удобно использовать как нижнюю границу и затем выбрать ближайшее большее доступное сечение пиломатериала.