Metod för beräkning av balkböjning
Resultaten är ungefärliga. Kontrollera beräkningarna mot gällande standarder innan användning och rådgör med en specialist. Utvecklaren ansvarar inte för följderna av användning utan projektverifiering.
Kalkylatorn för balkböjning, nedböjning, hållfasthet och balkstyrka beräknar nedböjning och hållfasthet för en stålbalk under statisk jämnt utbredd last eller punktlast. Utifrån tvärsnittets dimensioner bestäms först dess geometriska egenskaper, därefter beaktas balkens egenvikt och maximalt böjmoment, tvärkraft, nedböjning, normalspänning och skjuvspänning beräknas.
Beräkningen gäller raka stålbalkar med konstant tvärsnitt, små deformationer och linjärelastiskt materialbeteende. Vid punktlast appliceras kraften mitt på spännvidden för balkar som är upplagda i båda ändar och vid den fria änden för en konsolbalk.
Riktvärden och rekommendationer
Beräkningsmodell
Balkens nedböjning. Beräkningen bygger på klassisk balkteori för böjning. En elasticitetsmodul för stål på E = 210000 MPa och tvärsnittets yttröghetsmoment I används. Ju större yttröghetsmomentet är, desto mindre blir nedböjningen vid samma spännvidd och last.
Tvärsnittsgeometri. Från de angivna dimensionerna beräknas tvärsnittsarean A i mm2, yttröghetsmomentet I i mm4, det elastiska böjmotståndet W i mm3 och det statiska momentet Q i mm3. Tvärsnittet behandlas som en idealiserad geometrisk form utan avrundningsradier eller lutande flänsar.
Det elastiska böjmotståndet bestäms från avståndet mellan neutralaxeln och den punkt i tvärsnittet som ligger längst bort:
W = I / ymax
För ett tvärsnitt som inte är symmetriskt kring böjaxeln beräknas först tyngdpunktens läge. För ett vinkelprofil antar beräkningen böjning i det plan som motsvarar den orientering som visas i kalkylatorn.
Material och stålegenskaper
Elasticitetsmodul. För alla stålkvaliteter används E = 210000 MPa. Detta värde används vid beräkning av balkens nedböjning och beskriver stålets styvhet inom det elastiska området.
Densitet. För att beräkna balkens massa och egenvikt används en ståldensitet på ρ = 7850 kg/m3 och tyngdaccelerationen g = 9.80665 m/s2.
Sträckgräns. För stålkvaliteterna S235, S275, S355 och S420 används respektive fy = 235, 275, 355 och 420 MPa. Dessa värden används vid kontroll av spänningarna. För en viss stålprodukt kan det verkliga värdet på fy bero på produktens tjocklek och tillämplig produktstandard.
Lastenheter och egenvikt
Utbredd last. Den kan anges i kg/m eller kN/m. Ett värde i kg/m behandlas som kgf/m och omvandlas till kraftenheter med g = 9.80665 m/s2:
1 kgf/m = 0.00980665 kN/m
Punktlast. Den kan anges i kg eller kN. Ett värde i kilogram behandlas som kilogramkraft:
1 kgf = 9.80665 N
Egenvikt. Först beräknas tvärsnittsarean A från de angivna dimensionerna, därefter bestäms balkens massa från dess volym och stålets densitet. Egenvikten omvandlas till en jämnt utbredd last som verkar längs hela balkens längd:
qself = ρ · A · g
Vid en yttre utbredd last är den totala utbredda lasten:
q = qext + qself
När en yttre punktlast P verkar, verkar balkens egenvikt fortfarande som den utbredda lasten qself. Balkens egenvikt ingår därför i alla kombinationer av upplag och last.
Böjmoment och tvärkraft
Inre krafter. Efter att den totala lasten har bestämts beräknar kalkylatorn det största absoluta böjmomentet M och den största tvärkraften V. Formlerna beror på upplagsvillkoren.
- Fritt upplagd:
M = qL2/8 + PL/4, V = qL/2 + P/2.
- Inspänd-ledad:
M = qL2/8 + 3PL/16, V = 5qL/8 + 11P/16.
- Inspänd i båda ändar:
M = qL2/12 + PL/8, V = qL/2 + P/2.
- Konsolbalk:
M = qL2/2 + PL, V = qL + P.
Här är L balkens spännvidd, q den totala jämnt utbredda lasten inklusive egenvikt och P den yttre punktlasten. När den yttre lasten är utbredd gäller P = 0.
Maximal nedböjning av balken
Fritt upplagd balk. Maximal nedböjning från utbredd last och en punktlast mitt på spännvidden beräknas genom superposition:
d = 5qL4/(384EI) + PL3/(48EI)
Balk inspänd i båda ändar. Inspänning av båda ändarna minskar nedböjningen avsevärt:
d = qL4/(384EI) + PL3/(192EI)
Konsolbalk. Maximal nedböjning uppstår vid den fria änden:
d = qL4/(8EI) + PL3/(3EI)
Inspänd-ledad balk. Läget för maximal nedböjning beror på förhållandet mellan den utbredda lasten och punktlasten. Med endast utbredd last:
d = (39 + 55√33)qL4/(65536EI)
Med endast en punktlast mitt på spännvidden:
d = √5 · PL3/(240EI)
När en punktlast och den utbredda egenvikten verkar samtidigt adderas deras nedböjningskurvor. Maxvärdet bestäms därefter längs balkens längd eftersom dess läge inte nödvändigtvis sammanfaller med mitten av spännvidden.
Hur gränsen för nedböjning bestäms
Nedböjningsgräns. Den beräknade nedböjningen jämförs med en gräns uttryckt som L/n. Ju större koefficienten n är, desto mindre är den tillåtna nedböjningen:
dlim = L / n
Om användaren inte anger ett eget värde för n använder kalkylatorn ett inbyggt praktiskt riktvärde beroende på balkens spännvidd:
- för L ≤ 1000 mm: n = 120;
- för 1000 < L ≤ 3000 mm: n ökar linjärt från 120 till 150;
- för 3000 < L ≤ 6000 mm: n ökar linjärt från 150 till 200;
- för 6000 < L ≤ 24000 mm: n ökar linjärt från 200 till 250;
- för 24000 < L ≤ 36000 mm: n ökar linjärt från 250 till 300;
- för L > 36000 mm: n = 300.
Inom varje mellanliggande intervall ändras inte n stegvis utan interpoleras linjärt mellan de angivna gränsvärdena. Vid en spännvidd på 4000 mm blir till exempel n ≈ 166.7 och nedböjningsgränsen cirka 24 mm. Om användaren anger ett eget L/n-värde ersätter detta det automatiska riktvärdet.
Kontroll av hållfasthet
Normalspänning. Den maximala böjspänningen beräknas från maximalt böjmoment och elastiskt böjmotstånd:
σ = M / W
Villkoret för hållfasthet är:
σ ≤ fy / γM0
Kalkylatorn använder γM0 = 1.0. För stålkvaliteten S235 jämförs därför den beräknade normalspänningen exempelvis med 235 MPa.
Skjuvspänning. Den beräknas från maximal tvärkraft V, statiskt moment Q, yttröghetsmoment I och den relevanta materialbredden b:
τ = V · Q / (I · b)
Motsvarande gränsvärde är:
τlim = fy / (√3 · γM0)
Med γM0 = 1.0 motsvarar detta ungefär 135.7 MPa för S235, 158.8 MPa för S275, 205.0 MPa för S355 och 242.5 MPa för S420. Normalspänning och skjuvspänning kontrolleras separat mot respektive gränsvärde.
Hur resultatet ska tolkas
Styvhet. Den beräknade nedböjningen jämförs med dlim. Om d ≤ dlim uppfyller den valda balken det använda kriteriet för nedböjning. Om den beräknade nedböjningen överskrider gränsen krävs en styvare kombination av spännvidd och tvärsnitt eller ett annat specificerat L/n-kriterium.
Balkstyrka. Normalspänning och skjuvspänning kontrolleras separat mot sina respektive gränser. När ett villkor är uppfyllt visar kalkylatorn även reserven i procent, beräknad från förhållandet mellan gränsspänningen och den beräknade spänningen:
reserv = (σlim/σ - 1) · 100%
Samma princip används för skjuvspänning med τ och τlim.
Relaterade europeiska standarder
EN 1990 "Eurokod: Grundläggande dimensioneringsregler för bärverk". Standarden fastställer allmänna principer för dimensionering av bärverk, inklusive kontroller av brottgränstillstånd och bruksgränstillstånd. Tillåten nedböjning beror på konstruktionens avsedda användning och tillämpliga brukbarhetskriterier, därför används den inbyggda L/n-skalan som ett praktiskt riktvärde i kalkylatorn.
EN 1991 "Eurokod 1: Laster på bärverk". Denna serie standarder beskriver principerna för att bestämma laster och andra påverkan på bärverk. Lasten som används vid balkberäkningen bör motsvara den aktuella lastsituationen.
EN 1993-1-1 "Eurokod 3: Dimensionering av stålkonstruktioner - Del 1-1: Allmänna regler och regler för byggnader". Standarden behandlar stålegenskaper som används vid hållfasthetskontroller, tvärsnittets bärförmåga och faktorn γM0. Kalkylatorn använder γM0 = 1.0.
EN 10025-2 "Varmvalsade produkter av konstruktionsstål - Del 2: Tekniska leveransvillkor för olegerade konstruktionsstål". Standarden anger mekaniska egenskaper för vanliga konstruktionsstål. De nominella värdena för fy som kalkylatorn använder för S235, S275, S355 och S420 bör bedömas tillsammans med den faktiska tjockleken och typen av stålprodukt.
FAQs
Varför kan en balk klara hållfasthetskontrollen men inte kontrollen av nedböjning?
Hållfasthet och styvhet är olika kriterier. Böjspänningen beror främst på förhållandet M/W, medan balkens nedböjning dessutom är mycket känslig för spännvidden och yttröghetsmomentet I. En stålbalk kan därför ha tillräcklig hållfasthet men ändå böjas mer än den valda gränsen.
Varför påverkar tvärsnittets höjd balkens nedböjning så mycket?
För ett rektangulärt tvärsnitt är yttröghetsmomentet I = bh3/12, vilket innebär att tvärsnittshöjden ingår i tredje potens. Även en måttlig ökning av höjden kan öka styvheten avsevärt och minska balkens nedböjning. Bredden påverkar också resultatet, men för denna tvärsnittsform är påverkan linjär.
Varför ska egenvikten tas med om den yttre lasten är mycket större?
Egenvikten verkar kontinuerligt längs hela balkens längd och skapar ytterligare böjmoment och nedböjning. För ett tungt tvärsnitt eller en stor spännvidd kan detta bidrag bli betydande. Kalkylatorn bestämmer egenvikten automatiskt från tvärsnittsarean, stålets densitet på 7850 kg/m3 och balkens längd.
Hur väljer jag nedböjningsgränsen L/n?
Om inget separat kriterium har specificerats kan det automatiska värdet i kalkylatorn för balkböjning, nedböjning och balkstyrka användas som ett praktiskt riktvärde. Det varierar gradvis från ungefär L/120 för korta balkar till L/300 för långa spännvidder. Om en specifik gräns som L/250 eller L/300 har fastställts för konstruktionen anger du motsvarande värde för n. Ju större n är, desto strängare är nedböjningsgränsen.
Varför kan beräknade tvärsnittsegenskaper skilja sig något från tabeller för stålprofiler?
Kalkylatorn bestämmer A, I och W direkt från de angivna dimensionerna för ett idealiserat tvärsnitt. Verkliga valsade profiler kan ha avrundningsradier, formdetaljer och tillverkningsmått som ingår i tabellerade tvärsnittsegenskaper. Därför kan små skillnader mot katalogvärden förekomma även när huvudmåtten är desamma.