Beräkna armerad betongbalk

Metod för beräkning av armerad betongbalk

Onlinekalkylatorn för beräkning av betongbalk utför dimensionering av armering samt hållfasthets- och bärförmågeberäkning för en rektangulär armerad betongbalk med enkel upplagning eller som konsolbalk. Utifrån angiven last, spännvidd, tvärsnittsdimensioner, betongklass och armeringsparametrar bestäms böjmoment, tvärkraft, erforderlig armeringsarea, lämplig stångdiameter och utnyttjandegrad. Dessa värden hör till de viktigaste parametrarna vid dimensionering och bedömning av en armerad betongbalks hållfasthet, armering och nedböjning.

Beräkningen utförs stegvis. Först kombineras den angivna lasten med balkens egentyngd, därefter bestäms snittkrafter, effektiv höjd och erforderlig armeringsarea. När en standarddiameter för armeringsstänger har valts kontrollerar kalkylatorn tvärsnittsgeometrin på nytt, verifierar att stängerna får plats i balken och beräknar bärförmågan vid böjning och tvärkraft.

Riktvärden och rekommendationer

Beräkningsgång

Laster och enheter. Tvärsnittsdimensionerna och balkens längd anges i millimeter. Före den konstruktiva beräkningen omvandlas längden till meter. En utbredd last används i kN/m och en punktlast i kN. Om lasten anges i kg/m eller kg omvandlar kalkylatorn den till kraft med tyngdaccelerationen 9.81 m/s2.

q = qkg · 9.81 / 1000

P = Pkg · 9.81 / 1000

Egentyngd. Egentyngden beräknas automatiskt från tvärsnittets verkliga dimensioner. Densiteten för armerad betong sätts till 2500 kg/m3.

g = b · h · 2500 · 9.81 / 109

I denna formel anges b och h i mm och resultatet g erhålls i kN/m. Vid utbredd last adderas egentyngden till den yttre lasten.

Böjmoment och tvärkraft

Fritt upplagd balk. För en jämnt utbredd last över hela spännvidden används standarduttrycken för maximalt böjmoment mitt i spannet och upplagsreaktionen.

MEd = (q + g) · L2 / 8

VEd = (q + g) · L / 2

Konsolbalk. Vid jämnt utbredd last uppträder de största snittkrafterna vid inspänningen.

MEd = (q + g) · L2 / 2

VEd = (q + g) · L

Punktlast. För en fritt upplagd balk antas punktlasten verka mitt i spannet. För en konsolbalk antas den verka vid den fria änden. Balkens egentyngd förblir en jämnt utbredd last.

MEd = g · L2 / 8 + P · L / 4

MEd,c = g · L2 / 2 + P · L

Lastfaktorer. Kalkylatorn applicerar inte de partiella faktorerna γG och γQ ytterligare på den angivna yttre lasten. Om en dimensionerande lastkombination krävs ska den bestämmas innan lasten matas in i kalkylatorn.

Betong och armeringsstål

Normgrund. Beräkningssambanden följer principerna i EN 1992-1-1, Eurokod 2: Dimensionering av betongkonstruktioner. Del 1-1: Allmänna regler och regler för byggnader. Relaterade dokument för laster är EN 1990, Eurokod: Grundläggande dimensioneringsregler för bärverk, och EN 1991-1-1, Eurokod 1: Laster på bärverk. Del 1-1: Allmänna laster, tunghet, egentyngd och nyttig last för byggnader. Betongens exponeringsklasser är kopplade till EN 206, Betong: Fordringar, egenskaper, tillverkning och överensstämmelse.

Dimensionerande betonghållfasthet. För alla betongklasser används materialfaktorn γc=1.5. Den grundläggande dimensionerande tryckhållfastheten erhålls genom att den karakteristiska hållfastheten fck divideras med 1.5. För klasser upp till C50/60 används dessutom αc=1.00; för C55/67 och högre används αc=0.95.

fcd = fck / 1.5

Parametrar för betongens spänningsblock. För klasserna C8/10-C50/60 används εcu=3.5‰, ω=0.810 och k2=0.416. För betong med högre hållfasthet reduceras dessa parametrar:

• C55/67: εcu=3.2‰, ω=0.754, k2=0.403.
• C60/75: εcu=3.0‰, ω=0.694, k2=0.380.
• C70/85: εcu=2.8‰, ω=0.642, k2=0.371.
• C80/95: εcu=2.8‰, ω=0.605, k2=0.366.
• C90/105: εcu=2.8‰, ω=0.590, k2=0.366.

Betongens draghållfasthet. Vid beräkning av minimiarmering används värden för fctm som beror på betongklassen. För C8/10-C25/30 är värdena respektive 1.2, 1.6, 1.9, 2.2 och 2.6 MPa; för C30/37-C50/60 är de 2.9, 3.2, 3.5, 3.8 och 4.1 MPa; och för C55/67-C90/105 är de 4.2, 4.4, 4.6, 4.8 och 5.0 MPa.

Armeringsstål. För B500A, B500B och B500C sätts den karakteristiska sträckgränsen till fyk=500 MPa, materialfaktorn till γs=1.15 och elasticitetsmodulen till Es=200000 MPa. Den dimensionerande sträckgränsen blir därmed fyd=434.783 MPa.

Betongtäckskikt och effektiv höjd

Betongtäckskikt. Vid förenklat val utifrån exponeringsförhållanden använder kalkylatorn 20 mm för inomhusmiljö med normal luftfuktighet, 25 mm för inomhusmiljö med förhöjd luftfuktighet, 30 mm för utomhusexponering och 40 mm vid kontakt med mark.

Exponeringsklasser. Kalkylatorn använder följande fasta värden: X0 = 20 mm; XC1 = 30 mm; XC2, XC3, XC4 = 35 mm; XD1, XD2, XD3 = 50 mm; XA1 = 25 mm; XA2 = 30 mm; XA3 = 40 mm; XF = 40 mm; XS = 50 mm.

Effektiv höjd. Beräkningen utförs till centrum av den längsgående armeringsstången. När stångdiametern har bestämts erhålls därför den effektiva höjden genom att betongtäckskiktet och halva stångdiametern dras av från totalhöjden.

d = h - z1 - φ1/2

För det andra armeringslagret bestäms stångcentrumets läge på samma sätt:

d2 = z2 + φ2/2

Iterativ omberäkning. Stångdiametern påverkar den effektiva höjden, medan den effektiva höjden påverkar den erforderliga armeringsarean. Beräkningen börjar därför med en antagen diameter på 12 mm, väljer därefter en diameter, räknar om den effektiva höjden och upprepar processen. Högst 12 iterationer utförs.

Erforderlig area för huvudarmeringen

Normaliserat böjmoment. När det dimensionerande momentet har bestämts beräknas en dimensionslös parameter som beskriver utnyttjandet av betongtvärsnittet:

αm = MEd / (αc · fcd · b · d2)

Den interna beräkningen fortsätter endast så länge värdet ligger inom den använda modellens giltighetsområde. Gränsvillkoret är αm / (ω/k2) ≤ 0.25.

Inre hävarm. För ett giltigt tvärsnitt bestäms koefficienten ζ:

ζ = 0.5 + √(0.25 - αm / (ω/k2))

Den beräknade arean för dragarmeringen bestäms därefter från jämvikt för böjmomentet:

As,calc = MEd / (fyd · ζ · d)

Minimiarmering. Samtidigt beräknas den minsta arean för längsgående armering. Det största av de två normbaserade uttrycken används:

As,min = max(0.26 · fctm/fyk; 0.0013) · b · d

Slutligt krav. Huvudarmeringen måste uppfylla både böjningsberäkningen och kravet på minimiarmering.

As,req = max(As,calc; As,min)

När det andra armeringslagret beräknas

Gräns för enkelarmerat beteende. Om det extra armeringslagret är aktiverat bestämmer kalkylatorn den gräns över vilken en del av belastningseffekten måste tas upp av den andra gruppen stänger. För B500-stål är den dimensionerande flyttöjningen cirka 2.174‰.

ξlim = εcu / (εcu + 2.174)

αm,lim = ω · ξlim · (1 - k2 · ξlim)

Om αm ≤ αm,lim krävs ingen ytterligare beräknad armering. Om gränsen överskrids och det andra lagret är aktiverat beräknas dess erforderliga area.

Koefficient för det andra lagret. För denna del av beräkningen används ett tabellerat samband mellan koefficienten ξ och αm. Värdet interpoleras inom intervallet 0.04 till 0.40. Förhållandet d2/d begränsas till intervallet 0.04-0.16.

En ytterligare koefficient beror på stålklassen: 3 används för B500A, 5 för B500B och 10 för B500C. Det resulterande värdet begränsas till högst 1.

ks = min((ξ - d2/d) · kclass; 1)

Area för extra armering. Det andra armeringslagret tar upp den del av momentet som ligger över gränsen för enkelarmerat tvärsnitt. Dess area får inte heller vara mindre än det beräknade As,min.

As2 = max(As,min; (MEd - Mlim) / (ks · fyd · (d-d2)))

För en fritt upplagd balk under de laster som behandlas här ligger huvuddragarmeringen i tvärsnittets nedre del. För en konsolbalk ligger huvudarmeringen i den övre delen.

Val av armeringsstångens diameter

Standardserie för diametrar. När den erforderliga armeringsarean har bestämts returnerar kalkylatorn inte en godtycklig stångdiameter. Följande diametrar kontrolleras i ordning: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 32, 36 och 40 mm.

För varje diameter beräknas den totala tvärsnittsarean för det angivna antalet stänger:

As,prov = n · π · φ2 / 4

Urvalsprincip. Den första diametern i serien där den tillhandahållna armeringsarean inte är mindre än den erforderliga arean väljs. Resultatet avrundas därför alltid uppåt till nästa tillgängliga diameter. Om inte ens 40 mm-stänger ger tillräcklig area med det valda antalet stänger anger kalkylatorn att antalet stänger måste ökas.

Placering av armeringen i tvärsnittet

Minsta fria avstånd. När diametern har valts kontrollerar kalkylatorn att alla stänger får plats inom balkens bredd. Det fria avståndet mellan intilliggande stänger sätts till minst 20 mm och samtidigt minst lika med stångdiametern.

aclear = max(20 mm; φ)

Erforderlig bredd. Kontrollen tar hänsyn till betongtäckskiktet på båda sidor, diametern på samtliga stänger och de fria avstånden mellan dem.

breq = 2z + nφ + (n-1) · aclear

Armeringen anses få plats endast när breq ≤ b. Huvudarmeringen och det extra armeringslagret kontrolleras separat.

Maximal armering. För varje vald stånggrupp används en övre gräns som motsvarar 4% av hela betongtvärsnittets area.

As,max = 0.04 · b · h

Bärförmåga vid böjning

Faktiskt vald armering. När stångdiametern har valts upprepas beräkningen med den verkliga tillhandahållna armeringsarean. Kalkylatorn bestämmer det största böjmomentet MRd som denna armering kan motstå inom den använda beräkningsmodellen.

Numerisk sökning. Värdet MRd bestäms genom upprepad halvering av sökintervallet. Upp till 80 iterationer utförs, vilket gör resultatet praktiskt taget oberoende av ett manuellt valt söksteg.

Utnyttjandegrad. Den slutliga procentandelen är förhållandet mellan det dimensionerande böjmomentet och den beräknade bärförmågan vid böjning.

ηM = MEd / MRd · 100%

Ett värde upp till 100% innebär att den valda längsgående armeringen klarar böjningskontrollen. Ett värde över 100% innebär att den beräknade bärförmågan vid böjning överskrids.

Kontroll av tvärkraft

Längsgående armeringsgrad. Vid tvärkraftskontrollen används den verkliga tillhandahållna arean för den huvudsakliga längsgående armeringen. Armeringsgraden begränsas till ett maximalt värde på 0.02.

ρl = min(0.02; Asl / (b · d))

Storleksfaktor. Den effektiva höjden d används i millimeter:

k = min(2; 1 + √(200/d))

Betongens tvärkraftsbärförmåga. Koefficienten CRd,c=0.12 används. Kalkylatorn bestämmer huvudvärdet för bärförmågan och minimivärdet och använder därefter det större av dem.

vRd,c,1 = 0.12 · k · (100 · ρl · fck)1/3

vmin = 0.035 · k3/2 · √fck

VRd,c = max(vRd,c,1; vmin) · b · d

Bidraget från längsgående tryckspänning sätts till noll i denna kontroll. Utnyttjandet av tvärkraftsbärförmågan bedöms separat från bärförmågan vid böjning.

ηV = VEd / VRd,c · 100%

Vanliga frågor

Varför påverkar balkens egentyngd resultatet även om den yttre lasten inte ändras?

Balkens egentyngd beräknas från tvärsnittets bredd och höjd och adderas automatiskt till den påförda lasten. Större balkdimensioner kan därför öka bärförmågan, men samtidigt ökar även den utbredda last som verkar på balken.

Varför väljer kalkylatorn en annan stångdiameter när antalet armeringsstänger ändras?

Den erforderliga armeringsarean fördelas på det angivna antalet stänger. Ett större antal stänger kan ge den erforderliga arean med mindre diameter, men kalkylatorn kontrollerar också att hela gruppen får plats inom balkbredden med erforderliga fria avstånd.

Varför leder aktivering av extra armering inte alltid till ett andra armeringslager?

Det andra armeringslagret används endast när den beräknade gränsen för enkelarmerat beteende överskrids. Om huvudarmeringen kan ge den erforderliga bärförmågan inom den använda modellen förblir den erforderliga extra armeringsarean noll.

Vad betyder en utnyttjandegrad på 70% eller 110%?

Procentvärdet är förhållandet mellan dimensionerande lasteffekt och beräknad bärförmåga. Till exempel innebär 70% att ungefär sju tiondelar av den tillgängliga bärförmågan utnyttjas, medan 110% innebär att den beräknade bärförmågan överskrids med ungefär en tiondel.

Varför kan böjningskontrollen vara godkänd medan tvärkraftskontrollen inte är det?

Detta är oberoende kontroller. Bärförmågan vid böjning bedöms utifrån böjmomentet och den längsgående armeringen, medan tvärkraftsbärförmågan beror på betongen, den effektiva höjden och den längsgående armeringsgraden. Utnyttjandegraderna kan därför skilja sig avsevärt.