Калькулятор дерев'яної балки

Методика розрахунку дерев'яної балки

Цей калькулятор виконує орієнтовну перевірку дерев’яної балки прямокутного перерізу за прогином, міцністю на згин та міцністю на зсув. Він призначений для швидкої оцінки балок перекриття, лаг підлоги та консольних елементів при рівномірно розподіленому навантаженні або зосередженій силі.

Розрахунок базується на класичних формулах опору матеріалів і загальній логіці Єврокодів. Використані коефіцієнти та формули наведені нижче явно, щоб були зрозумілі припущення та спосіб отримання результатів.

Орієнтири та рекомендації

Нормативні посилання (ЄС). Логіка перевірок відповідає типовому підходу розрахунку за граничними станами згідно з EN 1990. Подання та обробка навантажень узгоджені з EN 1991. Для дерев’яних елементів основним нормативом є EN 1995-1-1 (Єврокод 5). У поточній версії калькулятор використовує інженерні спрощення і не формує розрахункові комбінації дій за EN 1990.

Схема балки та розрахункові коефіцієнти. Обрана схема опирання задає коефіцієнти для обчислення прогину та максимального згинального моменту при рівномірно розподіленому навантаженні:

• Шарнір-шарнір: коефіцієнт прогину m = 0.0130208333, коефіцієнт моменту m1 = 0.125001 ≈ 1/8.
• Закріплення-шарнір: m = 0.0054054054, m1 = 0.125 = 1/8.
• Закріплення-закріплення: m = 0.0026041667 ≈ 1/384, m1 = 0.08333333 ≈ 1/12.
• Консоль: m = 0.125 = 1/8, m1 = 0.5 = 1/2.

Розміри та одиниці. Геометрія перерізу вводиться в міліметрах: ширина t (мм) і висота h (мм). Проліт вводиться в міліметрах L (мм). Навантаження можна вводити в кг/м або кН/м (для рівномірно розподіленого) і в кг або кН (для зосередженої сили).

Характеристики перерізу. За значеннями t і h обчислюються:

• Площа: A = t·h (мм²).
• Момент інерції: I = t·h3/12 (мм⁴).
• Модуль опору: W = t·h2/6 (мм³).
• Статичний момент площі для зсуву в нейтральній осі (прямокутник): Q = t·h2/8 (мм³).

Модуль пружності для прогину. Для розрахунку прогину використовується сталий параметр E = 10000 МПа. Це типовий порядок величини для конструкційної хвойної деревини. У проєктуванні за EN 1995-1-1 значення E залежить від класу міцності та умов експлуатації, тому результати прогину тут слід вважати орієнтовними.

Клас міцності та розрахункова міцність на згин. Для перевірки нормальних напружень прийнято розрахункову міцність на згин Ryd (МПа):

• C16: Ryd = 8.62 МПа
• C24: Ryd = 12.92 МПа
• C30: Ryd = 16.15 МПа

Ці значення задані вже на розрахунковому рівні (з типовим урахуванням тривалості дії навантаження та запасу за матеріалом). Таке спрощення дозволяє напряму порівнювати обчислені напруження з допустимим розрахунковим рівнем без додаткових вхідних даних.

Перетворення одиниць (кг ↔ кН). Для перерахунку застосовується прискорення вільного падіння g = 9.81 м/с². Практично:

1 kN = 1000 N ≈ 1000/9.81 ≈ 101.97 kgf

При зміні одиниць числове значення навантаження перераховується так, щоб фізичне навантаження залишалося незмінним.

Власна вага балки. Калькулятор додає власну вагу як додаткове рівномірно розподілене навантаження. Прийнята густина деревини ρ = 550 кг/м³. Власна вага помітніша при великих прольотах і відносно малих корисних навантаженнях.

Рівномірно розподілене навантаження: прогин. Прогин обчислюється з використанням коефіцієнта схеми m:

f = m·q·L4 / (E·I·100) + m·qsw·L4 / (E·I·100)

Тут q - задане лінійне навантаження, qsw - лінійне навантаження від власної ваги, L - проліт, E - модуль пружності, I - момент інерції. Множники масштабу пов’язані з внутрішнім перерахунком одиниць, оскільки геометрія вводиться в мм.

Рівномірно розподілене навантаження: згин і напруження. Максимальний згинальний момент обчислюється з коефіцієнтом m1 і з урахуванням власної ваги:

M = (q/100)·L2·m1 + (qsw)·L2·m1

Нормальне напруження від згину (МПа):

σ = M / W

Умова міцності на згин:

σ ≤ Ryd

Поперечна сила та зсув. Для перевірки на зсув використовується максимальна поперечна сила. Для рівномірно розподіленого навантаження розрахунковий максимум (з внутрішнім перерахунком) дорівнює:

V = (q/100)·L/2 для більшості схем і V = (q/100)·L для консолі

Дотичне напруження для прямокутного перерізу обчислюється за формулою:

τ = V·Q / (I·t)

Граничну міцність на зсув задано спрощено як частку від розрахункової міцності на згин: τ ≤ 0.1·Ryd. Це консервативний орієнтир для швидкої оцінки без детальних параметрів щодо сорту, вологості та умов експлуатації.

Зосереджене навантаження: прогин. Для зосередженої сили P застосовується коефіцієнт, що залежить від схеми опирання. Прийняті значення:

• Шарнір-шарнір: k = 0.020833
• Закріплення-шарнір: k = 0.00912
• Закріплення-закріплення: k = 0.0052
• Консоль: k = 0.3333333

Прогин під дією зосередженої сили обчислюється так (як реалізовано, з внутрішнім масштабуванням для мм):

f = (k·P·L3)/(E·I)·10 + m·qsw·L4/(E·I·100)

Таким чином враховується прогин від сили P і від власної ваги.

Зосереджене навантаження: згин і напруження. Максимальний згинальний момент від сили P залежить від обраної схеми. Загалом калькулятор застосовує характерну формулу для схеми, далі обчислює σ = M/W і порівнює з Ryd. Це потрібно, тому що епюри моментів для консолі й для балки на двох опорах суттєво відрізняються.

Граничний прогин. Допустимий прогин задається як відношення ефективної довжини до коефіцієнта:

flim = Lx / k

Для консолі береться ефективна довжина Lx = 2·L, для інших схем Lx = L. Коефіцієнт k вибирається за діапазоном Lx (мм) з плавними переходами:

• якщо Lx ≤ 1000 мм, тоді k = 120
• якщо 1000 < Lx ≤ 3000 мм, тоді k змінюється лінійно від 120 до 150
• якщо 3000 < Lx ≤ 6000 мм, тоді k змінюється лінійно від 150 до 200
• якщо 6000 < Lx ≤ 24000 мм, тоді k змінюється лінійно від 200 до 250
• якщо 24000 < Lx ≤ 36000 мм, тоді k змінюється лінійно від 250 до 300
• якщо Lx > 36000 мм, тоді k = 300

Умова придатності до експлуатації: f ≤ flim. Такий підхід задає жорсткіші обмеження для малих прольотів і більш м’які для великих прольотів.

Як інтерпретувати результати. Прогин відповідає на запитання «наскільки просяде балка». Перевірка за σ показує запас міцності на згин, а перевірка за τ - запас на зсув. Якщо якась умова не виконується, типові рішення: збільшити висоту h, зменшити проліт, зменшити навантаження або змінити схему опирання.

FAQs

Чому прогин рахується зі сталим модулем пружності 10000 МПа?

Так отримують просту та повторювану оцінку без додаткових вхідних даних. За EN 1995-1-1 модуль пружності залежить від класу міцності та умов експлуатації, тому для проєкту слід використовувати відповідне значення E. Для попереднього підбору перерізу сталий E зазвичай дає правильний порядок величини.

Чи враховується власна вага дерев’яної балки?

Так, власна вага додається як рівномірно розподілене навантаження вздовж балки. Прийнята густина ρ = 550 кг/м³. При великих прольотах власна вага може помітно збільшувати і прогин, і напруження.

Що означає перевірка на зсув і чому межа задана як 0.1·Ryd?

Перевірка на зсув оцінює дотичне напруження τ, яке виникає від поперечної сили V. У цьому калькуляторі межу спрощено прийнято як τ ≤ 0.1·Ryd, щоб отримати швидкий і консервативний орієнтир без додаткових параметрів. EN 1995-1-1 розглядає зсув детальніше з урахуванням властивостей деревини та умов експлуатації.

Чому для консолі в обмеженні прогину використовується подвоєна ефективна довжина?

Консольні елементи зазвичай чутливіші до прогину з точки зору експлуатації та сприйняття жорсткості. Прийняття Lx = 2·L робить критерій прогину жорсткішим для консолей і зменшує ризик видимих або небажаних деформацій.

Які одиниці кращі: кг/м чи кН/м?

Обидві системи еквівалентні та перераховуються з використанням g = 9.81. У європейській інженерній практиці частіше використовують кН і кН/м, що узгоджується з Єврокодами (EN 1991). Якщо вихідні дані в «кілограмах», часто зручніше вводити кг і кг/м.