Калькулятор дерев'яної балки

Методика розрахунку дерев'яної балки

Цей калькулятор дерев'яної балки виконує розрахунок прямокутної балки на прогин, міцність при згині та міцність при зсуві. Калькулятор дерев'яної балки на прогин і міцність враховує розміри перерізу, довжину прольоту, клас міцності деревини, схему опирання, рівномірно розподілене або зосереджене навантаження та власну вагу балки.

Результати містять прогин балки, допустимий прогин, нормальні та дотичні напруження, а також площу перерізу, момент інерції, момент опору, масу балки, навантаження від власної ваги, максимальний згинальний момент і максимальну поперечну силу. Ці значення допомагають оцінити міцність і несучу здатність дерев'яної балки перекриття та інших конструкцій.

Орієнтири та рекомендації

Норми та властивості деревини

Європейські стандарти. Властивості конструкційної деревини базуються на класах міцності, визначених у EN 338 «Конструкційна деревина — Класи міцності». Загальний підхід до перевірки дерев'яних елементів відповідає принципам EN 1995-1-1 «Єврокод 5: Проектування дерев'яних конструкцій — Частина 1-1: Загальні правила та правила для будівель». Пов'язаними стандартами щодо навантажень і розрахунку за граничними станами є EN 1991 «Єврокод 1: Дії на конструкції» та EN 1990 «Єврокод: Основи проектування конструкцій».

Властивості класів міцності деревини. Для кожного класу міцності використовуються власний середній модуль пружності, середня густина, характеристична міцність при згині та характеристична міцність при зсуві:

• C16: E0,mean = 8000 MPa, ρ = 370 kg/m3, fm,k = 16 MPa, fv,k = 3.2 MPa.
• C24: E0,mean = 11000 MPa, ρ = 420 kg/m3, fm,k = 24 MPa, fv,k = 4.0 MPa.
• C30: E0,mean = 12000 MPa, ρ = 460 kg/m3, fm,k = 30 MPa, fv,k = 4.0 MPa.

Розрахункова міцність. Характеристична міцність перетворюється на розрахункову за загальним співвідношенням Єврокоду 5:

fd = kmod·fk/γM

Калькулятор використовує фіксовані значення kmod = 0.7 та γM = 1.3. Це дає розрахункову міцність при згині 8.62 MPa для C16, 12.92 MPa для C24 і 16.15 MPa для C30. Відповідна розрахункова міцність при зсуві становить 1.72 MPa, 2.15 MPa і 2.15 MPa.

Коефіцієнт модифікації kmod. У EN 1995-1-1 цей коефіцієнт залежить від класу тривалості навантаження та умов експлуатації деревини. Калькулятор не змінює цей коефіцієнт автоматично та використовує фіксоване значення 0.7, що є одним з основних припущень розрахунку.

Прикладене навантаження. Калькулятор розглядає введене користувачем навантаження як уже визначену розрахункову дію. Коефіцієнти сполучення навантажень за EN 1990 та EN 1991 автоматично до введеного значення не застосовуються.

Характеристики перерізу балки

Площа перерізу. Для прямокутної балки шириною t і висотою h площа розраховується за формулою:

A = t·h

Якщо розміри введені в міліметрах, площа отримується в mm². Вона використовується для визначення маси балки, власної ваги та дотичного напруження.

Момент інерції. Жорсткість прямокутного перерізу при згині характеризується величиною:

I = t·h3/12

Значення I виражається в mm⁴ і безпосередньо впливає на прогин балки. Тому збільшення висоти балки значно сильніше підвищує її жорсткість, ніж таке саме відносне збільшення ширини.

Момент опору. Для перевірки напруження при згині використовується:

W = t·h2/6

Момент опору виражається в mm³ і пов'язує максимальний згинальний момент з напруженням у крайніх волокнах деревини.

Статичний момент площі. Для максимального дотичного напруження в прямокутному перерізі калькулятор використовує:

Q = t·h2/8

Одиниці навантаження та власна вага

Перерахунок навантаження. Для перетворення значень у кілограмах на силу використовується прискорення вільного падіння g = 9.80665 m/s2. Розподілене навантаження в kg/m перетворюється на силу на одиницю довжини, а зосереджене навантаження в kg — на ньютони. Значення, введені безпосередньо в kN/m або kN, розглядаються як силові величини.

Власна вага. Маса одного метра визначається за площею перерізу та середньою густиною вибраного класу міцності деревини. Розподілене навантаження від власної ваги розраховується як:

qsw = ρ·A·g·10-9

При A у mm² значення qsw отримується в kN/m. Власна вага завжди враховується як рівномірно розподілене навантаження, навіть якщо основне зовнішнє навантаження є зосередженим.

Маса балки. Для довжини балки L у міліметрах маса розраховується як:

m = ρ·A·L·10-9

Результат виражається в кілограмах.

Згинальний момент і поперечна сила

Сумарне розподілене навантаження. Для зовнішнього розподіленого навантаження силові ефекти розраховуються з використанням q = qext + qsw. При зовнішній зосередженій силі P розподіленою складовою q є власна вага балки.

Розрахункові силові фактори. У наведених нижче формулах q задається в kN/m, P у kN, а L у метрах. Максимальний згинальний момент отримується в kN·m, а максимальна поперечна сила — у kN:

• Шарнір-шарнір: Mmax = q·L2/8 + P·L/4, Vmax = q·L/2 + P/2.
• Защемлення-шарнір: Mmax = q·L2/8 + 3·P·L/16, Vmax = 5·q·L/8 + 11·P/16.
• Защемлення-защемлення: Mmax = q·L2/12 + P·L/8, Vmax = q·L/2 + P/2.
• Консоль: Mmax = q·L2/2 + P·L, Vmax = q·L + P.

Для балок, опертих з обох кінців, зосереджена сила розташовується в центральній частині прольоту відповідно до вибраної розрахункової схеми. Для консолі сила прикладається до вільного кінця. Власна вага балки діє по всій її довжині.

Розрахунок прогину балки

Жорсткість при згині. Прогин визначається добутком E·I: чим більший модуль пружності деревини або момент інерції перерізу, тим меншою є деформація. У формулах прогину калькулятор використовує q у N/mm, P у N, L у mm, E у MPa та I у mm⁴, тому результат безпосередньо отримується в міліметрах.

Шарнірно оперта балка. Прогин від розподіленого та зосередженого навантаження розраховується за принципом суперпозиції:

f = 5·q·L4/(384·E·I) + P·L3/(48·E·I)

Балка, защемлена з обох кінців. Для балки, жорстко защемленої з обох кінців:

f = q·L4/(384·E·I) + P·L3/(192·E·I)

Консольна балка. Для розподіленого навантаження, що діє по всій довжині, та сили, прикладеної до вільного кінця:

f = q·L4/(8·E·I) + P·L3/(3·E·I)

Балка защемлення-шарнір. Для окремої дії розподіленого навантаження коефіцієнт максимального прогину становить 0.00541612:

fq = 0.00541612·q·L4/(E·I)

Для окремої дії зосередженої сили коефіцієнт становить √5/240 ≈ 0.00931695:

fP = 0.00931695·P·L3/(E·I)

Коли власна вага та зосереджена сила діють одночасно, положення максимального прогину не обов'язково збігається із серединою прольоту. Тому для схеми защемлення-шарнір калькулятор поєднує пружні лінії від обох навантажень і визначає максимальний абсолютний прогин уздовж балки.

Допустимий прогин

Критерій прогину. Допустиме значення визначається як довжина прольоту, поділена на коефіцієнт n:

flim = L/n

При автоматичному виборі коефіцієнт плавно змінюється залежно від довжини прольоту:

• до 1000 mm — n = 120;
• від 1000 до 3000 mm — лінійно від 120 до 150;
• від 3000 до 6000 mm — лінійно від 150 до 200;
• від 6000 до 24000 mm — лінійно від 200 до 250;
• від 24000 до 36000 mm — лінійно від 250 до 300;
• понад 36000 mm — n = 300.

Автоматично вибране значення використовується як практичний орієнтир для експлуатаційної придатності, а не як універсальна нормативна межа для всіх конструкцій. Якщо відома конкретна вимога проєкту, можна задати власне співвідношення L/n; збільшення n зменшує допустимий прогин і робить перевірку суворішою.

Перевірки міцності та оцінка результату

Нормальне напруження. Максимальне напруження при згині розраховується за моментом опору:

σm = Mmax/W

Умова міцності при згині виконується, якщо:

σm ≤ fm,d

Дотичне напруження. Максимальне дотичне напруження визначається за максимальною поперечною силою:

τ = Vmax·Q/(I·t)

Для прямокутного перерізу це співвідношення еквівалентне τ = 1.5·Vmax/A. Умова міцності при зсуві виконується, якщо:

τ ≤ fv,d

Запас міцності. Якщо перевірка міцності пройдена, відображений запас показує відносне співвідношення між розрахунковою міцністю та розрахованим напруженням:

Запас = (fd/σ - 1)·100%

Для перевірки на зсув замість σ використовується τ, а замість fd — fv,d. Прогин, згин і зсув перевіряються незалежно: виконання однієї умови не компенсує перевищення іншої.

FAQs

Чому однакова дерев'яна балка C24 прогинається менше, ніж балка C16?

Клас міцності деревини впливає не лише на допустиме напруження, а й на жорсткість матеріалу. Калькулятор використовує E = 8000 MPa для C16 та 11000 MPa для C24, тому за однакового перерізу, прольоту й навантаження розрахований прогин дерев'яної балки C24 буде меншим.

Чому дерев'яна балка може пройти перевірку на міцність, але не пройти перевірку на прогин?

Міцність і жорсткість характеризують різні аспекти роботи балки. Напруження при згині може залишатися значно нижчим за розрахункову міцність деревини, тоді як невелика жорсткість E·I при великому прольоті все одно може спричинити надмірний прогин. Тому для дерев'яних балок саме прогин може стати визначальною умовою навіть за достатньої несучої здатності.

Чому власна вага враховується, якщо основне навантаження є зосередженим?

Зосереджена сила описує лише зовнішню дію в одній точці. Сама дерев'яна балка має масу по всій довжині, тому її власна вага одночасно діє як рівномірно розподілене навантаження qsw і впливає на прогин, згинальний момент та поперечну силу.

Що означає запас міцності в результаті?

Запас показує, наскільки розрахункова міцність вибраного класу деревини у відносному вираженні перевищує розраховане напруження. Наприклад, запас 20% характеризує співвідношення між розрахунковою межею та поточним напруженням; це не означає автоматично, що зовнішнє навантаження можна збільшити рівно на 20%, оскільки в розрахунку також враховується власна вага балки.

Як вибрати допустимий прогин L/n?

Якщо конкретна вимога невідома, калькулятор дерев'яної балки на прогин і міцність використовує автоматичне орієнтовне значення залежно від довжини прольоту. Якщо проєктна документація, розрахункова вимога або застосовне правило встановлює конкретну межу, слід використовувати власне значення L/n. Чим більший знаменник n, тим суворішою є вимога до прогину.